MATEMATIKA DASAR ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA 1 BARISAN ARITMATIKA

MATEMATIKA DASAR

ARITMATIKA

BARISAN ARITMATIKA

1. BARISAN ARITMATIKA �Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi suatu bilangan tetap �Bilangan tetap tersebut disebut pembeda (selisih antara dua suku berurutan) �Suku pertama ditulis U 1, sedangkan suku ke-n ditulis Un dan Pembeda ditulis b �Pembeda positif disebut barisan naik, sedang pembeda negatif disebut barisan turun

Contoh Barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, . . . U 1 =3 , U 2 =7 b = 7 -3 = 4 2. Barisan bilangan : 26, 23, 19, 16, . . . 1.

2. RUMUS SUKU KE-n BARISAN ARITMATIKA atau Keterangan Un = Suku ke-n U 1 = a = Suku pertama b = pembeda

Contoh Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmatika: 17, 15, 13, 11, . . . � a=17 ; b=(-2) ; n= 21 � U 21 = 17+ (21 -1)(-2) = (-23) 2. Diketahui suku ke-1 barisan aritmatika adalah 6 dan suku kelimanya 18, tentukan pembedanya! 1.

3. RUMUS SUKU TENGAH BARISAN ARITMATIKA �Jika banyaknya suku ganjil, suku yang ditengah disebut suku tengah (Ut )

DERET ARITMATIKA

�Deret diartikan sebagai jumlah dari suku 2 suatu barisan bilangan �Perhatikan barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, . . . dari barisan tersebut dapat dibuat deret aritmatika: Sn = 3 + 5 + 7 + 9 +. . . dengan demikian jika diketahui barisan bilangan aritmatika: U 1 , U 2 , . . . , Un maka dapat dibuat menjadi deret aritmatika: Sn = U 1 + U 2 +. . . + Un

�Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika : atau � Dimana setiap deret aritmatika berlaku:

CONTOH Diket deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 +. . . Jumlah 16 suku pertama adalah: � Berarti a = 3 ; b = 7 - 3 = 4 � Jadi 1.

BARISAN GEOMETRI

1. DEFINISI �Barisan geometri atau barisan ukur adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. �Bilangan tetap tersebut disebut pembanding atau rasio (p)

2. RUMUS SUKU KE-n BARISAN GEOMETRI atau Keterangan: U 1 = a = suku ke-1 Un = suku ke-n p = pembanding

CONTOH Carilah suku ke-11 dari barisan 2, 6, 18, . . . � a=2 ; p= 6/2=3 � Maka 1. Jika suku ke-1 dari barisan geometri adalah 27 dan suku ke-4 sama dengan 1, tentukan pembandingnya?

DERET GEOMETRI

BEBERAPA PENGERTIAN DERET 1. Deret berhingga (Sn) � Adalah deret yang banyaknya suku berhingga, atau disebut jumlah n suku pertama 2. Deret tak terhingga () � adalah deret yang diperoleh dari suatu barisan tak hingga, atau disebut jumlah sampai tak terhingga suku 2 barisan tak hingga

�Rumus jumlah suku yang pertama barisan geometri : rumus berlaku untuk 0< p< 1 , sedangkan untuk p yang lain berlaku

CONTOH Diket deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 +. . . tentukan jumlah 9 suku pertama dari deret tersebut! � p = 6/2 =3 ; a= 2 1.

ALJABAR

BENTUK ALJABAR �adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui �Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari.

BENTUK ALJABAR (2) Persamaan Linier 1 variabel � Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. � Contoh: X + 3 = 10. X + 3 – 3 = 10 – 3 (sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3) X=7 1.

BENTUK ALJABAR (3) 2. Pertidaksamaan Linier 1 variabel � Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda <, >, Pada persamaan linear berlaku ruas kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama , jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan negatif dan membalikan tanda.

UNSUR-UNSUR ALJABAR 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor � Variabel : lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas � Konstanta : suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel � Faktor : bagian dari bentuk yang diuraikan

UNSUR-UNSUR ALJABAR (2) Perhatikan bentuk 12 a + 2 b + 3 c + 8 �Variabel : a, b, c �Konstanta : 8 �Faktor dari 2 b => 1, 2, b, 2 b 2 b = 2. b = 1. 2. b

UNSUR-UNSUR ALJABAR (3) 2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis � Suku : variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih � Suku Sejenis : suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama (2 a dan 3 a) � Suku Tak Sejenis : suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama ( 2 x dan 2 x 2 )

UNSUR-UNSUR ALJABAR (4) �Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah dan selisih. contoh : 2 x, 4 y, … �Suku dua merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. contoh : 2 x-4 y, a²-5, … �Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. contoh : 2 x²+3 x-1, 3 x+4 y-xy, …

OPERASI HITUNG ALJABAR 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar � Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku yang sejenis. � Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku yang sejenis.

OPERASI HITUNG ALJABAR (2) 2. Perkalian � Berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a. (b + c) = (a. b) + (a. c) � Berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a. (b – c) = (a. b) – (a. c)

OPERASI HITUNG ALJABAR (3) 3. Perpangkatan � Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama

OPERASI HITUNG ALJABAR (4) 4. Pembagian � Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

OPERASI HITUNG ALJABAR (5) 5. Substitusi pada Bentuk Aljabar � Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

OPERASI HITUNG ALJABAR (6) 6. � � � Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar Kelipatan Persekutuan ter. Kecil Faktor Persekutuan ter. Besar Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan: Ø Bilangan prima bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1, yaitu {2, 3, 5, 7, 11, . . . }. Ø Faktorisasi prima Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini diperlukan pohon faktor.

�Carilah KPK dan FPB dari 12 pq dan 8 pq 2 12 pq = 22 X 3 X p X q 8 pq 2 = 23 X 30 X p X q 2

�Carilah KPK dan FPB dari 12 pq dan 8 pq 2 12 pq = 22 X 3 X p X q 8 pq 2 = 23 X 30 p X q 2 KPK = 23 X p X q 2 = 24 pq 2 FPB = 22 X p X q = 4 pq

PECAHAN BENTUK ALJABAR 1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar � Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

PECAHAN BENTUK ALJABAR (2) 2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan pengurangan b. Perkalian dan pembagian c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

a. Penjumlahan dan pengurangan � Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebutnya. � Contoh: =

b. Perkalian dan pembagian �Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. �Contoh:

c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar �Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar �Contoh :

Contoh Soal 1. Nadia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 40 km/jam. Dari tempat yang sama, sejam kemudian Sinta mengenderai sepeda motor ke arah yang sama dengan kecepatan 56 km/jam. Tentukan setelah berapa jam perjalanan Sinta menyalip atau mendahului Nadia.

2. Irwansyah mempunyai selembar seng dengan panjang 80 cm dan lebar 60 cm. Ia ingin mengecilkan seng tersebut dengan memotong panjang dan lebarnya sama besar sehingga luas seng yang diperoleh menjadi setengah luas mula. Berapa panjang dan lebar seng yang harus dipotong?

3. Dalam suatu pertandingan harga karcis pada kelas utama dijual Rp 25. 000. - per orang, sedangkan kelas ekonomi Rp. 10. 000, -. Jika banyak karcis yang terjual 860 lembar, dengan pemasukan Rp. 13, 4 juta, tentukanlah jumlah penonton kelas utama.

GEOMETRI DAN PENGUKURAN

DEFINISI �Geometri adalah bagian matematika yang mempelejari bentuk-bentuk. Abstaksi dalam dunia nyata adalah tiga dimensi – panjang, lebar dan tinggi – dan secara umum meniadakan kualitas lain seperti warna atau kasar atau halusnya permukaan

GEOMETRI DATAR

K 0 NSEP DASAR 1. Definisi Ruas Garis � Jika titik A dan B pada garis AB, maka ruas AB adalah himpunan yang terdiri dari titik A, titik B dan semua titik yang terletak di antara A dan B.

K 0 NSEP DASAR 2. Definisi Kesejajaran �Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika kedua garis tersebut tidak mempunyai titik sekutu (titik potong).

K 0 NSEP DASAR 3. Definisi Aksioma Kesejajaran �Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada tepat satu garis h yang sejajar dengan g.

SUDUT �Sudut berkaitan dengan besar putaran. �Untuk mengukur panjang suatu benda dapat menggunakan penggaris berskala, akan tetapi untuk menghitung sudut, dapat menggunakan busur derajat untuk menghitung sudut ( busur derajat).

1. Sudut Suplemen (Pelurus), maka dikatakan AOC suplemen COB, atau COB suplemen AOC 2. Dua Sudut Kongruen , AOB kongruen dengan CPD (biasanya ditulis sebagai: AOB CPD) 3. Sudut Siku-siku, Sudut siku-siku adalah sudut yang kongruen dengan suplemennya. AOC COB dan AOC suplemen COB, maka AOC dan COB masing-masing merupakan sudut siku-siku

LINGKARAN �Lingkaran L, dengan pusat O dan jari-jari r adalah himpunan kedudukan titik-titik P yang berjarak sama dari O, yaitu panjang OP = r.

POLIGON � Poligon-n A 1 A 2 A 3 … An, adalah himpunan titik yang terdiri semua titik pada ruas A 1 A 2 A 3. . . An– 1 An , yang membatasi suatu daerah cembung. Titik A 1, A 2, . . . , An masing-masing disebut titik sudut dan ruas , , … , masing-masing disebut sisi dari poligon tersebut. �Poligon-n beraturan A 1 A 2 A 3 …. An adalah poligon-n yang bersifat A 1 A 2 A 2 A 3 … An-1 An dan A 1 A 2 … An.

SEGITIGA �Segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi �Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga tersebut. �Tinggi harus tegak lurus dengan alas sekawan dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas. Dan harus Anda ketahui bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 1800.

JENIS-JENIS SEGITIGA a. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisisisinya • • • Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang. Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang. Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang. b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutsudutnya • • • Segitiga Lancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul.

KELILING SEGITIGA �Keliling suatu segitiga adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membentuk segitiga. Jika panjang sisi-sisi segitiga masing-masing adalah a, b, dan c, maka keliling segitiga tersebut adalah: �Keliling Segitiga, K = a + b + c LUAS SEGITIGA �Luas segitiga = = × alas × tinggi × a × t

SEGI EMPAT �Segi empat adalah poligon yang memiliki empat sisi. �Terdapat pula beberapa segiempat yang memiliki sifat-sifat istimewa, seperti halnya: persegi, persegipanjang, jajargenjang, belahketupat, layang, dan trapesium.

Persegi Panjang �Keliling : �Luas : 2. Persegi �Keliling : �Luas : 3. Jajaran Genjang �Luas : 1.

4. Belah Ketupat �Luas : 5. Layang-layang �Luas : 6. Trapesium �Luas :

GEOMETRI RUANG

KONSEP �Ruang dalam arti sempit terbentuk oleh adanya banyak bidang (minimal empat bidang). Kumpulan bidang tersebut terdapat istilah-istilah titik sudut, sisi, dan rusuk

LIMAS �Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh daerah polygon (yang disebut alas)

KERUCUT � Kerucut merupakan bentuk limas dengan alasnya berbentuk lingkaran, atau merupakan benda putar dari bidang segitiga. � r = jari-jari lingkaran s = panjang garis pelukis (panjang dari alas ke puncak kerucut). t= tinggi kerucut

PRISMA �Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar

TABUNG �Tabung merupakan benda ruang yang terbentuk oleh dua buah bidang yang berbentuk lingkaran dan sebuah bidang segiempat

KUBUS �Kubus adalah benda ruang yang memiliki enam bidang persegiempat (bujursangkar) yang sama dan sebangun

BALOK �Suatu balok terbentuk oleh tiga pasang bidang segiempat

BOLA �benda putar dari bidnag yang berbentuk lingkaran

PELUANG, PERMUTASI, KOMBINASI

PERMUTASI �Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan �Dalam permutasi urutan diperhatikan

Contoh �Diberi 5 angka 3, 4, 5, 6, dan 7 , buat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan bisa dibuat? �Jawab : 5!/ ((5 -3)! = 20

�Diberi 5 angka 3, 4, 5, 6, dan 7 , buat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan > 400 yang bisa dibuat? �Jawab: �karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4, 5, 6, dan 7 �karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angk dan 3 angka � jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 3 = 48 angka

�Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. �Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n 1) !

Contoh � 5 anak ingin makan bersama secara melingkar. Berapa cara untuk menyusunnya? �Jawab : (5 -1)! = 24 = 12

�Catatan: untuk obyek sejenis (dianggap sama persis) � 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya? Jawab : (5 -1)!/2 = 24/2 = 12

KOMBINASI �Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya �Misal, diminta memilih 3 orang diantara 5 orang yang hadir untuk melakukan wawancara kerja terlebih dahulu?

Contoh �Komandan batalyon diminta memilih 3 tentara diantara 5 untuk berangkat ke medan perang tanpa melihat siapa yang akan dikirim. Berapa carakah? �Jawab : 5!/ 3!(5 -3)! = 10 cara

PELUANG MATEMATIKA Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. Contoh: Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)! Jawab : S = { AAA, AAG, AGA, GAG, AGG, GGA, GGG} P = {AAG, AGA, GAA} 1.

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian �Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus

Contoh �Pada percobaan pelemparan 2 dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan jumlahnya 3! Jawab : S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, . . . , 61} maka n ( S ) = 36 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan jumlahnya 3, maka: A = {12, 21} dan n ( A ) = 2 �P(A) = 2/36 = 1/13

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika �Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k �Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0, 1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian �Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh �Pada percobaan pelemparan 2 dadu dilempar sebanyak 49 kali, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan jumlahnya 3! Jawab : S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, . . . , 61} maka n ( S ) = 36 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan jumlahnya 3, maka: A = {12, 21} dan n ( A ) = 2 �P(A) = 2/36 = 1/13 �Frekuensi = 49 * 1/13 = 3