MATEMATIKA ASAL KATA Asal kata MATHEIN artinya mempelajari

MATEMATIKA ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari matematika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

Berpikir matematis: Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat. 2

HIMPUNAN = GUGUS Silabus: • Definisi, pencatatan dan himpunan khas • Himpunan Bagian • Pengolahan (operasi) himpunan • Hubungan 3

1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambangkan a, b, c, … atau 1, 2, 3, … Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan seterusnya. 4

Dua cara pencatatan suatu himpunan a. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4. b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri 5

Cara pendefinisian sifat yang lain: J={x/2 <x<5} x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5 Himpunan khas: a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø” 6

Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3€P 4 € P. Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat 5€P 6€P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”. 7

2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya. 8

Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 } Himpunan bagiannya: a. Memilih semua unsur: X 4 = { 1, 2, 3, 4 } b. Memilih tiga unsur X 31 = { 1, 2, 3 } X 32 = { 1, 2, 4 } X 33 = { 1, 3, 4 } X 34 = { 2, 3, 4 } c. Memilih dua unsur X 21 = { 1, 2 }; X 22 = { 1, 3 } X 23 = { 1, 4 }; X 24 = { 2, 3 } X 25 = { 2, 4 }; X 26 = { 3, 4 } 9

d. Memilih 1 unsur: X 11 = { 1 }; X 12 = { 2 } X 13 = { 3 }; X 14 = { 4 } e. Tanpa memilih X 0 = { } Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2 n 1 elemen: 2 elemen: 3 elemen: 4 elemen: 1 1 2 2 himp bag 1 1 4 himp bag 1 3 3 1 8 himp bag 1 4 6 4 1 16 himp bag 5 5 10 10 5 1 32 himp bag Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton 10

• Latihan: 11

3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 } 12

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir S A B Sifat-sifat gabungan a. A U B = B U A Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B) 13

Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B 14

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A b. (A ∩ B) (hukum komutasi) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S A B 15

Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus 16

Komplemen A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp. bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A A’ 17

Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A d). A U B e) A ∩ B’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’ c) A ∩ B f) B ∩ A’ 18

Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € A B € € € € A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’ 19

Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y} 20

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3 4 1 Y 2 3 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) X x Y = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} 21

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y PR = {1, 2} malas = {3, 4} rajin 3 • H 1 • • H 4 • 2 • • 1 • 0 1 • H 2 • • 2 3 U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar • H 3 Terdapat 4 himp bag • 4 PR X Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah H 1 = {malas ttp pintar} H 2 = {malas dan krg mengerti} H 3 = {rajin ttp krg ngerti} H 4 = {rajin dan pintar} 22

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan • Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan • Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: • Wh = {1, 2, 3} 23

Kesimpulan: • Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. • X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } • Daerah hubungan Dh = { x / x € X} • Daerah hubungan: Wh = { y / y € Y} 24

SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan 2; -2; 1, 1; -1, 1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip Rasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0, 1492525 Bulat Irrasional √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0, 14925253993999… π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan ½; 2/7 dsb 25

2. Tanda pertidaksamaan • Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” • Tanda > melambangkan “lebih besar dari” • Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” • Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat • Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b • Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x. a ≤ x. b • Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x. a ≥ x. b • Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d 26

Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear 27

Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y) Dengan denah Venn sbb: X Y ◦ • Hubungan 1 - 1 Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR 28

Perhatikan juga contoh berikut: Y y = f(x) • x 1 y 1 • • • x 2 • xn 0 x 1 x 2 • y 1 • yn X X Y Gambar di atas, nilai x 1 dan x 2 dalam X, dihubungkan dengan nilai y 1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y. 29

Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x y aturan ditransformasi simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain 30

Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf). Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7 Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari. Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 } Dapat Anda jelaskan ? 31

Macam-macam fungsi a. Fungsi Polinomial Bentuk umumnya : y = a + bx + cx 2 +. . . + pxn y y Slope = a 1 x a 0 case c < 0 x a 0 Konstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1 Kuadratik, jika n = 2 y=a y = a + bx Y = c + bx + ax 2 32

y • Titik maksimum Titik belok • Fungsi kubik y = d + cx + bx 2 + ax 3 x y Titik maksimum Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx 2 + bx 3 + ax 4 Titik minimum x 33

b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. y Hiperbola: = (a/x), a > 0 y x 0 c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y Eksponensial y = bx , b>1 0 x 0 Logaritma y = logbx 34 x

DERIFATIF 1. 1. Pengantar Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang a. Fungsi b. Derivatif atau fungsi turunan c. Derivatif parsial dan d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi. Khusus tentang derivatif (kalkulus diferensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan 35

2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal 4) Revenue dan marginal revenue 5) Maksimisasi penerimaan dan profit. 6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan integral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan. 36

1. 2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: 2 x 2 + x - 3 h(x) = ------x-1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (perhatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu) 37

Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas faktornya, sehingga: 2 x 2 + x - 3 h(x) = ------- = x-1 (x-1)(2 x +3) ------= 2 x + 3 x-1 x 2 - 4 Demikian juga jika g(x) = -----, nilainya akan tak x-2 tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x – 2)(x + 2) g(x) = ---------- = x + 2. x-2 38

Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefinisi di titik x = 1. Untuk x ± 1, maka h(x) = 2 x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mendekati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5. y 5 ◦ 4 y = h(x) 3 2 1 0 1 x 39

Keadaan di atas, dicatat sebagai: 2 x 2 + x - 3 lim h(x) = lim ------- = 5 x 1 x-1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1 Demikian juga dengan g(x) di atas x 2 - 4 lim g(x) = lim ----- = 4. x-2 x 2 40

1. 3. Pengertian Derivatif Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x 0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: lim f(x) = f(x 0) x -> x 0 Y Y = f(x) diskontinu pada x = x 0 Y = f(x) Y=f(x) y 0 y 1 y 0 • Y = f(x) kontinu pada x = x 0 x ◦ • x 0

0 Sehingga f(x) – f(x 0) ---------- = x – x 0 0 Maka lim f(x) – f(x 0) disebut dengan derivatif ------x->x 0 x – x 0 fungsi f dititik x = x 0. Dengan mensubstitusi Δx = x – x 0, atau x = x 0 + Δx, untuk x-> x 0 berarti Δx ->0 atau: lim Δx-> 0 f(x 0 + Δx) – f(x 0) ---------Δx merupakan derivatif atau turunan fungsi. 42

Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y y 1 y Y = f(x) ◦ Δx x = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Δy x 1 Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x). Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) ---------------Δx 43

lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) Δx->0 --------------- Δx adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x 2 + 1, dititik x = 5. Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x 2 + 1 (-) 44

Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x 2 – 1 = x 2 + 2 xΔx + (Δx)2 + 1 – x 2 – 1 = 2 xΔx + (Δx)2 Δy/Δx = 2 x Δx + (Δx)2 Δx = 2 x + Δx lim Δy/Δx = lim 2 x + lim Δx Δx ->0 dy/dx = 2 x + 0 = 2 x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. 45

1. 4 Rules of differentiation Rule 1: Derivative of a power function. Fungsi pangkat (power function) y = xn y + Δy = (x + Δx)n – y Δy = (x + Δx)n – xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b)4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 = C(0, 4)a 4 + C(1, 4)a 3 b + C(2, 4)a 2 b 2 + C(3, 4)ab 3+C(4, 4)b 3 46

C(i, n) baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n) adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4) berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. n! C(i, n) = ------i ! – (n – i)! 47

n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1 Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx 2 + C(3, n)xn-3Δx 3 + C(4, n)xn-4Δx 4 + ………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn 48

Δy = (x + Δx)n – xn = xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx 2 + C(3, n)xn-3Δx 3 + 2 C(4, n)xn-4Δx 4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx 2 + C(3, n)xn-3Δx 3 + C(4, n)xn-4Δx 4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 50

Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx + 2 Δx C(3, n)xn-3Δx 2 + C(4, n)xn-4Δx 3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-2 Δy Lim ---- = lim nxn-1 atau Δx->0 Δx Δx->0 dy/dx = nxn-1 Contoh: y = x 5 dy/dx = 5 x 4. Mis C = total cost, q = output C = q 3 derivatif C thdp q = 3 q 2. 51

Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx 2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2 Δy = cx 2 + c 2 xΔx + c(Δx)2 – cx 2 = c 2 xΔx + c(Δx)2 Δy ---- = c 2 x + c(Δx) Δx Δy lim ---- = lim c 2 x , Jadi dy/dx = c 2 x Δx->0 Δx Δx->0 52

Contoh: y =f(x) = 5 x 2 f’(x) = 5(2)x 2 -1 = 10 x Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x) 53

Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x). Contoh: Cari derivatif f(x) = 7 x 4 + 2 x 3 – 3 x + 37 g(x) = 7 x 4; g’(x) = 28 x 3 h(x) = 2 x 3; h’(x) = 6 x 2 k(x) = -3 x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28 x 3 + 6 x 2 – 3. 54

Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x). h(x) f’(x) = g(x). h’(x) + h(x). g’(x) Contoh: y = f(x) = (2 x + 3)(3 x 2) g(x) = (2 x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3 x 2; h’(x) = 6 x Jadi: f’(x) = (2 x + 3)(6 x) + (3 x 2)(2) = 12 x 2 + 18 x + 6 x 2 = 18 x 2 + 18 x. 55

Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)] 2 56

Rule 6: Chain rule Fungsi berantai bentuknya sbb: y = f(u) u = g(x) Dicari derivatif y terhadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx. Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka dy = dy. du dx y = f(z) z = g(u) u = h(x) Dengan cara yang sama dy du dz dy = du dz dx dx 58

Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2 x Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15 y Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masalah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). 59

dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu dy/dx = 2 Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubahan x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit. 60

Contoh: Jika y = uv, dimana u = s 3 dan s = 1 – x. v = t 2 dan t = 1 + x 2 s 3, 3 s 2 u= du/ds = 1 – x ds/dx = -1 v = t 2, dv/dt = 2 t t = 1 + x 2 dt/dx = 2 x y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u. dv/dx + v. du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s 3(2 t)(2 x) + t 2(3 s 2)(-1) = 4 s 3 tx -3 t 2 s 2 = s 2 t(4 sx – 3 t) Substitusi, dy/dx = (1 -x)2(1+x 2)[4(1 -x)(x) – 3(1+x 2)] 61

Contoh: Jika y = (1 + x 2)3, dapatkan dy/dx. Dengan memakai derivatif fungsi berantai: Mis u = 1 + x 2, dan oleh karena itu y = u 3 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3 u 2)(2 x) = 6 x(1 + x 2)2. 62

1. 5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d 2 y/dx 2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x 3 – 3 x 2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2. 63

1. 5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, s. K, i, ) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain s. K = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung. 65

Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) Δx->0 Δx Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai: ∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x, y + Δy) – f(x, y) Δy->0 Δy 66

Contoh: Jika z = 3 x 2 + 2 xy – 5 y 2 , maka: ∂z/∂x = 6 x + 2 y ∂z/∂y = 2 x – 10 y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: Contoh: z = (x 2 + y 2)3 ∂z/∂x = f. X = 3(x 2 + y 2)2(2 x) = 6 x(x 2 + y 2)2 ∂z/∂y = fy = 3(x 2 + y 2)2(2 y) = 6 y(x 2 + y 2)2 ∂2 z/∂x 2 = f. XX = 12 x(x 2 + y 2)(2 x) = 24 x 2(x 2 + y 2) ∂2 z/∂y 2 = fyy = 12 y(x 2 + y 2)(2 y) = 24 y 2(x 2 + y 2) ∂2 z/ ∂y∂x = fyx = 12 x(x 2 + y 2)(2 y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24 xy(x 2 + y 2). ∂2 z/∂x∂y = fxy = 12 y(x 2 + y 2)(2 x) = 24 xy(x 2 + y 2) 67

Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx. Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2 z/∂x 2 atau ∂2 f atau fxx Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy fyx = fxy 68

Maksimum dan minimum y = f(x) akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 < 0 akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 > 0 akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 = 0 69

Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x 1, x 2), Maksimum jika fx = 0, fy = 0 Minimum jika fx = 0, fy = 0 fxx < 0, fyy < 0 fxx > 0, fyy > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 70

Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempunyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x 2 + 4 x + 7 dy/dx = -2 x + 4 = 0; nilai x = 2 d 2 y/dx 2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11 71

Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x 2 + xy + y 2 – 3 x + 2 Langkah-langkah: a. Derivatif pertama: fx = 2 x + y – 3 fy = x + 2 y b. fx = 0 dan fy = 0 2 x + y – 3 = 0 x + 2 y = 0 Dari 2 x + y – 3, didapat y = 3 – 2 x. Substitusi y = 3 – 2 x ke persamaan x + 2 y = 0 didapat x + 2(3 – 2 x) = 0; x + 6 – 4 x = 0 atau 3 x = 6 x = 2. 72

Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1 fxxfyy – (fxy)2 = 2. 2 – 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1). d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2 = 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1. 73

Penutup: TUHAN Maha Tahu tetapi tidak pernah memberi tahu ! Mengapa ? Manusia sudah diberi pikiran dan manusia adalah makhluk yang berpikir. Matematika merupakan sarana berpikir 74