MATEMATIKA ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi LOGO

Materi Pokok A R A K L J A A B B S A T R OPERASI BINER GRUP SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP SIKLIK

Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua Grup 1. Definisi 2. Teorema 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas Ke Materi Ketiga

Defenisi 1 Suatu himpunan G yang tidak kosong dan suatu operasi biner o yang didefinisikan pada G membentuk suatu grup bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut : 1. Operasi o pada G bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c ∈ G, maka (a o b) o c = a o (b o c) 2. G terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas, yaitu ada a ∈ G sedemikian hingga a o u = u o a = a untuk setiap a ∈ G.

Defenisi 1 3. Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner o dalam G, yaitu untuk setiap a ∈ G ada a-1 ∈ sedemikian hingga a o a-1 = a-1 o a = u. u adalah elemen identitas dari G. Jika himpunan G terhadap operasi biner o membentuk suatu grup, maka grup G ini dinyatakan dengan notasi (G; o). Tidak setiap grup memiliki sifat komutatif terhadap operasi binernya.

Defenisi 1 Jika grup (G; o) masih memenuhi sifat bahwa : 4. Operasi biner o pada G bersifat komutatif yaitu untuk setiap a, b, ∈ G maka a o b = b o a. Maka grup (G; o) disebut grup abelian (grup komutatif).

Contoh 1 1. Himpunan bilangan bulat B = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} terhadap operasi biner penjumlahan (+) (a) Sifat asosiatif dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan-bilangan bulat bersifat asosiatif (b) B terhadap operasi + mempunyai elemen identitas yaitu 0, sebab untuk setiap a ∈ B maka a + 0 = 0 + a = a (c) Setiap elemen B mempunyai invers terhadap operasi +, yaitu setiap a ∈ b ada a-1 = - a ∈ B sehingga :

Contoh 1 a + (-a) = (-a) + a = 0 Jadi B dengan operasi + merupakan suatu grup dan ditulis (B; +) suatu grup. (d) Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap a, b ∈ B maka a + b = b + a. Jadi (B; +) suatu grup abelian.

Contoh 1 2. D = {1, -1} terhadap operasi perkalian x, operasi x pada D merupakan operasi biner (mengapa ? ) (a) Sifat asosiatif perkalian pada D dipenuhi (Buktikan) (b) D terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas, yaitu 1. (c) Setiap elemen D terhadap operasi perkalian mempunyai invers, yaitu a 2 -1 = +1 dan (-1)-1 = -1 Jadi (D; x) suatu grup.

Suatu grup dengan operasi biner perkalian disebut grup multiplikatif dan jika operasinya penjumlahan disebut grup aditif. Banyaknya elemen suatu grup G ditulis dengan n (G) dan disebut order dari grup G. Suatu grup yang banyaknya elemen tak berhingga (infinite) disebut grup tak berhingga (grup infinte), sedang suatu grup yang banyaknya elemen berhingga disebut grup berhingga (grup finite)

Contoh 2 1. M = {1, 2, 3, 4} dan operasi perkalian modulo 5. Hasil operasi perkalian modulo 5 pada M ditunjukkan dalam tabel berikut : x 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Tampak pada tabel di atas bahwa operasi perkalian modulo 5 pada M merupakan operasi biner. Mengapa ?

Contoh 2 2. K = {a, b, c, d} dan operasi biner o pada k didefinisikan sbb : o a b c d a b d a c b d c b a c a b c d d c a d b Tunjukkan : a) Apakah o pada K bersifat asosiatif ! b) Apakah mempunyai sifat invers, dan c) Apakah dapat membentuk grup, buktikan !

Latihan Petunjuk : Untuk latihan soal dibawah tentukan benar ataukah salah pernyataan berikut. Jika benar buktikanlah dan apabila salah, mengapa ?

Latihan Soal 1. Himpunan bilangan rasional terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup ! 2. Himpunan bilangan real positif terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup ! 3. Himpunan bilangan bulat terhadap operasi pengurangan merupakan suatu grup ! 4. Himpunan T = {u, a, b} terhadap operasi biner o didefinisikan sbb : Himpunan T terhadap o u a a operasi o merupakan suatu u u a b grup a a b u b

Latihan 5. Perhatikan bangun dibawah ! R adalah rotasi dengan pusat dan sudut putaran 90° (berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam), ditulis R (0, 90°) = R; R o R = R 2 = R(0, 180°); R 2 o R = R 3 = R(0, 270°); R 4 = R(0, 360°) = I I menyatakan transformasi identitas yaitu baling-baling pada posisi semula. G = {I, R, R 2, R 3} terhadap operasi perkalian o merupakan suatu grup abelian.

Latihan 6. G = {(1), (1 2 3)} yaitu himpunan permutasi tiga elemen 1, 2, dan 3. Yang merupakan himpunan bagian dari S 3 adalah himpunan semua permutasi tiga elemen 1, 2, dan 3. Maka G terhadap operasi perkalian o pada permutasi merupakan suatu grup abelian. 7. M = {1, 4, 7, 13} adalah himpunan residu terkecil modulo 15. Maka M terhadap operasi perkalian modulo 15 merupakan suatu grup abelian.

LOGO Selamat Belajar