Matematika 8 ronk Vrazy Mnoholeny a potn s

Matematika 8. ročník Výrazy Mnohočleny a počítání s nimi Creation IP&RK

Rozcestník – obsah materiálu Výraz, počítání s výrazem, závorky Výrazy s proměnnou Sčítání a odčítání mnohočlenů Mocniny – opakování Násobení mnohočlenu jednočlenem Násobení mnohočlenu mnohočlenem Druhá mocnina dvojčlenu, rozdíl druhých mocnin Rozklad na součin, vytýkání před závorku Použitý materiál - zdroj

Výraz, počítání s číselnými výrazy Typy výrazů: Ø číselný výraz: 5, 2 + 3. (3/4 – 1, 2) ØVýraz s proměnnou x: 2 x + 0, 7 – 4 x 2 ØVýraz s proměnnými a, b: 2 a – 3 b + 5 -7 ab ØVýraz s proměnnými k, l , m, n: 5 l -0, 5 k + 2. (m + n 3) Ø… Příklad: (2, 8 – 1, 4). 25 + 2, 5. 4 – (5, 5 – 3, 5)2= Řešení: 1) odstraníme závorky 1, 4. 25 + 2, 5. 4 -22 2) spočítáme mocniny a odmocniny 1, 4. 5 + 2, 5. 4 – 4 3) násobíme 7 + 10 – 4 4) sečteme, odečteme 13

Druhy závorek a počítání s nimi Ø Typy závorek • oblá závorka ( ) • hranatá závorka [ ] • složená závorka Ø Použití závorek Výraz ((5 – 3. (12 – 3, 5). 2 – 1, 5 ) : 3) - 1 přepíšeme raději do tvaru 5 – 3. 12 – 3, 5 . 2 – 1, 5 : 3 - 1 Postupné odstraňování závorek Odstraňujeme nejprve závorky kulaté, pak hranaté a na konec složené .

Příklad 1: (18 – 6). 2 + (4 + 3) + 62 = = 12. 2 + 7 + 62 = = 24 + 7 + 36 = = 24 + 43 = 67 Příklad 2: 100 - 24 - 42 + 18 - 6 - 2 2 + 20 - 3. 12 - 9 = = 100 - 24 - 16 + 18 - 42 + 20 - 3. 3 = = 100 – 8 + 18 - 16 + 20 - 9 = = 100 – 8 + 20 - 9 = = 114 – 9 = 105

Výrazy s proměnou: Výrazy od sebe rozlišujeme podle počtu proměných: ØVýraz s jednou proměnnou x: 2 x + 0, 7 – 4 x 2 ØVýraz se dvěma proměnnými a, b: 2 a – 3 b + 5 -7 ab ØVýraz se čtyřmi proměnnými k, l , m, n: 5 l -0, 5 k + 2. (m + n 3) Ø… Při zápisu výrazu obvykle vynecháváme symbol pro násobení. 12. x 12 x 5. a. b 5 ab 8. m. n 2 8 mn 2

Členy a koeficienty 18 x + 5 y – 8 x 2 + 9 2 a 2 + 5 b – 6 ab + 9 Členy 18 x + 5 y – 8 x 2 + 9 Koeficienty Proměnné: a; b Počet členů: 4 Čtyřčlen +2 a 2 + 5 b – 6 ab +9 Koeficienty: 2; 5; -6; 9

Jednočlen – skládá se z jednoho členu 2 x ; -5 v 3 ; 16 m 2 n ; -5 a 2 b 3 c Mnohočlen – skládá se z více členů Dvojčlen Trojčlen Čtyřčlen 2 a – 3 b -5 x + 7 v 3 - 2 v 2 a – 3 b + 7 -6 m 2 n + 5 m – n 3 x – 2 xy + 5 y 6 x – 8 y + 5 xy – 8 v 3 - 2 uv + z – 3 -5 a 3 b + 3 ab 3 -4 ab +a 2

Příklady: 1. Napiš součet čísel x a y zmenšená o 3. x+y-3 2. Napiš trojnásobek součtu čísel a, b a c zvětšený 5. 3. (a + b + c) + 5 3. Napiš desetinu součtu čísel k a l zvětšeného 3 krát. 4. Napiš odmocninu ze součinu čísel x a y zmenšená o 2.

Sčítání a odčítání mnohočlenů, opačný mnohočlen Při sčítání mnohočlenů nejprve vhodně sdružíme jednotlivé členy (= členy se stejnými proměnnými, případně se stejnými mocninami) a poté provedeme sčítání. 3 x 2 + 4 y 2 + 3 y + 5 x 2 + 8 x + 6 y 2 + x + 6= = (3 x 2 +5 x 2)+ (4 y 2 + 6 y 2)+ (8 x + x) + 3 y + (2 + 6)= = 8 x 2 + 10 y 2 + 9 x + 3 y +8 Pro sčítání platí komutativní a asociativní zákon!

Opačný mnohočlen Mnohočlen a opačný mnohočlen se liší jen opačnými znaménky u všech koeficientů. MNOHOČLEN OPAČNÝ MNOHOČLEN 5 a -5 a 3 b – 4 d -3 b + 4 d -5 x – 7 y + 2 5 x + 7 y – 2 4 x 2 – 9 y 2 + 3 xy -4 x 2 + 9 y 2 - 3 xy Součet mnohočlenu a mnohočlenu k němu opačnému je roven nule.

Odčítání mnohočlenů Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen opačný. Sčítat a odčítat můžeme jen členy se stejným proměnnými a ve stejných mocninách. 3 x 2 - 4 y 2 + 3 y - 5 x 2 - 8 x + 6 y 2 + x - 6= = (3 x 2 - 5 x 2)+ (-4 y 2 + 6 y 2)+ (-8 x + x) + 3 y + (2 - 6)= = -2 x 2 + 2 y 2 - 7 x + 3 y - 4

Příklady k procvičení: 1) (5 a – 7) – (8 a - 9) = 5 a – 7 – 8 a + 9 = -3 a + 2 2) 5 x 2 – (9 x 2 + 2 y 2) – 6 = 5 x 2 – 9 x 2 - 2 y 2 – 6 = -4 x 2 - 2 y 2 – 6 3) 12 a - 16 a 2 + 8 b – (b 2 – 3 b) – 6 b 2 = = 12 a - 16 a 2 + 8 b – b 2 + 3 b – 6 b 2 = = 12 a - 16 a 2 - 8 b + b 2 – 3 b + 6 b 2 = = -16 a 2 + b 2 + 6 b 2 + 12 a – 8 b – 3 b = = -16 a 2 + 7 b 2 + 12 a – 11 b

Počítání s mocninami - opakování Příklady k procvičení

Násobení mnohočlenu jednočlenem Mnohočlen vynásobíme jednočlenem tak, že jednočlenem vynásobíme každý člen mnohočlenu a výsledné jednočleny sečteme. Příklady k procvičení: 1) 3. (x 2 + 7 y – 4 xy + 8) = 3. x 2 + 3. 7 y – 3. 4 xy + 3. 8 = = 3 x 2 + 21 y – 12 xy + 24 2) 5 a 2 b. (a – 3 b 2 + 5) = 5 a 2 b. a – 5 a 2 b. 3 b 2 + 5 a 2 b. 5 = = 5 a 3 b – 15 a 2 b 3 + 25 a 2 b

3) -7 x. (4 x 2 – 8 y + 6 y 2 – 6) = -7 x. 4 x 2 + 7 x. 8 y – 7 x. 6 y 2 + 7 x. 6 = = -28 x 3 + 56 xy – 42 xy 2 + 42 x 4) (9 x 2 + 27 x – 6) : 3 = 9 x 2 : 3 + 27 x : 3 – 6: 3 = = 3 x 2 + 9 x – 2 5) (4 x 2 y – 28 x + 16 xy) : 4 x = 4 x 2 y : 4 x – 28 x : 4 x + 16 xy : 4 x = = xy – 7 + 4 y 6) 8 a. (a 2– 4 ab) – 3 b. (6 a 2– 7 b)= 8 a. a 2 – 8 a. 4 ab – 3 b. 6 a 2 +3 b. 7 b = = 8 a 3 – 32 a 2 b – 18 a 2 b + 21 b 2 = = 8 a 3 – 50 a 2 b + 21 b 2 7) 4 x. (6 y – 8) – (81 x – 36) : (-9) = 24 xy – 32 x + 9 x - 4 = = 24 xy – 23 x - 4

Násobení mnohočlenu mnohočlenem Mnohočlen vynásobíme mnohočlenem tak, že každým členem prvního mnohočlenu vynásobíme každý člen druhého mnohočlenu a výsledné jednočleny sečteme. (2 x – 6). (3 y + 1) = 2 x. 3 y + 2 x. 1– 6. 3 y – 6. 1= = 6 xy + 2 x – 18 y - 6 (3 a + 4 b). (2 a + 9 b) = 3 a. 2 a +3 a. 9 b + 4 b. 2 a + 4 b. 9 b = = 6 a 2 + 27 ab + 8 ab + 36 b 2 = = 6 a 2 + 35 ab + 36 b 2

Příklady k procvičení: 1) (x 2 – 3 x). (y 2 – 4 x 2) = x 2. y 2 – x 2. 4 x 2 – 3 x. y 2 + 3 x. 4 x 2 = = x 2 y 2 – 4 x 4 – 3 xy 2 + 12 x 3 2) (2 a – 7 b). (3 a + 4 b – 6) = = 2 a. 3 a + 2 a. 4 b – 2 a. 6 – 7 b. 3 a – 7 b. 4 b +7 b. 6 = = 6 a 2 + 8 ab – 12 a – 21 ab – 28 b 2 +42 b = = 6 a 2 - 13 ab – 12 a – 28 b 2 +42 b 3) -(3 a + b). (3 a – b) = -3 a. 3 a + 3 ab – b. 3 a + b. b = = (-3 a – b). (3 a – b) = = -9 a 2 + 3 ab – 3 ab + b 2 = -9 a 2 + b 2

4) (2 a – 7 b). (3 a + 4 b – 6) = = 2 a. 3 a + 2 a. 4 b – 2 a. 6 - 7 b. 3 a – 7 b. 4 b + 7 b. 6 = = 6 a 2 + 8 ab – 12 a – 21 ab – 28 b 2 + 42 b = = 6 a 2 - 13 ab – 12 a – 28 b 2 + 42 b 5) (x 2 + 3 x - 2). (3 x 2 – 2 x + 5) = = x 2. 3 x 2 + x 2. 2 x - x 2. 5 + 3 x. 3 x 2– 3 x. 2 x + 3 x. 5 – 2. 3 x 2 + 2. 2 x – 2. 5) = = 3 x 4 - 2 x 3 + 5 x 2 + 9 x 3– 6 x 2 + 15 x – 6 x 2 + 4 x – 10 = = 3 x 4 + 7 x 3 - 7 x 2 + 19 x - 10

Druhá mocnina dvojčlenu: Pro druhou mocninu součtu dvojčlenu platí vzorec: Příklad: (3 x + 4 y)2 = (3 x)2 + 2. 3 x. 4 y + (4 y)2 = 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 Druhá mocnina prvního členu Dvojnásobek součinu prvního a druhého členu Druhá mocnina druhého členu (2 x + 4)2 = (2 x)2 + 2. 2 x. 4 + 42 = 4 x 2 + 16 x + 16 (2 x 2 + 4 y)2 = (2 x 2)2 + 2. 2 x 2. 4 y + (4 y)2 = 4 x 4 + 16 x 2 y + 16 y 2

Druhá mocnina dvojčlenu: Pro druhou mocninu rozdílu dvojčlenu platí vzorec: Příklad: (3 x - 4 y)2 = (3 x)2 - 2. 3 x. 4 y + (4 y)2 = 9 x 2 - 24 xy + 16 y 2 Druhá mocnina prvního členu Dvojnásobek součinu prvního a druhého členu Druhá mocnina druhého členu

Příklady: 1) (5 a 2 + a)2 = (5 a 2 )2 + 2. 5 a 2. a+ a 2 = 25 a 4 + 10 a 3+ a 2 2) (8 a 2 b + 2 b 3)2 = = 64 a 4 b 2 + 2. 8 a 2 b. 2 b 3 + 4 b 6 = 64 a 4 b 2 + 32 a 2 b 4 + 4 b 6 3) (7 a – 2 b 2 )2 = 49 a 2 – 2. 7 a. 2 b 2 + 4 b 4 = 49 a 2 – 28 ab 2 + 4 b 4 4) (-2 x + 6 xy)2 = (6 xy -2 x)2 = 36 x 2 y 2 – 2. 6 xy. 2 x + 4 x 2 = = 36 x 2 y 2 – 24 x 2 y + 4 x 2

Rozdíl druhých mocnin: (a + b). (a – b) = a 2 + ab –b 2 = a 2 – b 2 Platí vzorec: Příklady: 1) (3 x + 2 y). (3 x – 2 y) = 9 x 2 – 4 y 2 2) (6 a 2 - 4). (6 a 2 + 4) = 36 a 4 – 16 A obráceně: 3) 25 c 2 – 16 d 2 = (5 c – 4 d). (5 c + 4 d) 4) 49 x 2 – 36 = (7 x – 6). (7 x + 6)

Rozklad mnohočlenů na součin pomocí vytýkání před závorku: Mnohočlen je součet jednočlenů. Pokud se nám tento součet podaří vyjádřit jako součin, říkáme, že jsme mnohočlen rozložili na součin. Příklad: Uprav na součin 15 x 3 – 6. Postup: 1) najdeme největšího společného dělitele mnohočlenu 3 2) Napíšeme ho před závorku - vytkneme 3) Vydělíme jím všechny členy mnohočlenu 3. (5 x 3 – 2) Řešení: 15 x 3 – 6 = 3. (5 x 3 – 2)

Příklady: Uprav na součin: 1) 10 a 4 – 20 a 2 + 50 a = 10 a. (a 3 – 2 a + 5) 2) 21 y 2 – 18 = 3. (7 y 2 – 6) 3) 12 x 4 – 24 x 3 – 36 x 2 = 12 x 2. (x 2 – 2 x – 3) 4) 6 ax + 12 bx = 6 x. (a + 2 b) 5) 15 a 4 b 2 – 25 ab 2 + 45 a 3 b 4 = = 5 ab 2. (3 a 3 – 5 + 9 a 2 b 2) = = 5 ab 2. (9 a 2 b 2 + 3 a 3 – 5)

Sčítanec + sčítanec = součet Menšenec – menšitel = rozdíl Činitel * činitel = součin Dělenec : dělitel = podíl ZPĚT

ZPĚT

Při hledání inspirace na tvorbu materiálu pro výuku počítání s mocninami a mnohočleny jsem narazil na školní web: www. zsondrejov. cz A zde na velmi pěkné poznámky z hodin matematiky. Autorkou těchto poznámek je paní učitelka Věra Hudcová. Jednotlivé materiály se mi natolik líbily, že jsem si je „dovolil“ upravit a přesunout do prezentace. Autorce za vypracování patří velký dík . Jednotlivé díly naleznete zde: http: //www. zsondrejov. cz/index. php? kde=101 ZPĚT