Matematick zklady geoinformatiky Pro matematick zklady Pi tvorb

Matematické základy geoinformatiky

Proč matematické základy • Při tvorbě informačního systému je nutné mít postupy, jak analyzovat strukturu a obsah informací, definovat způsob zápisu údajů, optimalizovat a analyzovat postupy, definovat postupy výběru z databází, vytvořit postupy zpracování údajů. Pro geovědy typické komplexní úlohy (řada vazeb) • Využití postupů z matematických oborů: matematická logika, teorie množin, kombinatorika, teorie grafů, statistika a pravděpodobnost.

Matematika • Rozdělení na základní disciplíny: algebru, geometrii, matematickou analýzu a aplikovanou matematiku - formulace a analýza jazyka, axiomů a logických metod, na kterých je celá matematika založena

Algebra • Algebra je odvětví matematiky zabývající se abstraktními pojmy struktury (nějakého objektu) a vztahů (mezi nějakými objekty). • Její výsledky mají významné uplatnění nejen v samotné matematice, ale také ve fyzice nebo v nejrůznějších technických oborech. • elementární algebra - část algebry zabývající se řešením (především polynomiálních) rovnic a jejich soustav.

Lineární algebra • Lineární algebra je odvětví matematiky, které se zabývá vektory, vektorovými prostory, soustavami lineárních rovnic a lineárními transformacemi. • Aplikovaná lineární algebra se využívá například v přírodních vědách nebo sociálních vědách. • Vektorový prostor, dimenze, operátory, matice, transformace, …

Booleova algebra • Booleova algebra je algebraická struktura, která modeluje vlastnosti množinových a logických operací. • Booleova logika se zabývá logickými operacemi na množině {0, 1}. Jejím rozšířením je pak Booleova algebra.

Geometrie, topologie • Geometrie se týká prostorové části matematiky, tj. vlastností a vztahů mezi body, přímkami, rovinami, obrazci, tělesy a povrchy těles. • Topologie studuje strukturu geometrických objektů nejobecnějším způsobem.

Geometrie • • • Geometrie je jedna z matematických věd, která se původně zabývala vlastnostmi (tvar a velikost) a vzájemnými vztahy mezi geometrickými útvary (prostorových těles, ploch, bodů, přímek a rovin). Slovo geometrie je řeckého původu a znamená zeměměřičství. Ve starověkém Egyptě a Babylonii byla totiž geometrie využívána k vyměřování pozemků a stavbě objektů pravidelných tvarů. Pozdější studium geometrických útvarů, kterým se zabýval např. Thales, vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboru. Základy geometrie jako matematického oboru položil Euklides, který se pokusil zachytit abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic a axiomů. Podařilo se mu tak založit geometrii, kterou označujeme jako euklidovskou geometrii. Euklidovu geometrii dělíme na rovinnou a prostorovou. Později zavedl Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic, tzn. geometrické problémy je možné řešit algebraickými metodami. To také umožnilo zobecnění geometrických úvah na N-rozměrné Eukleidovské prostory (i pro N>3).

Geometrie • Dalším vývoj geometrie probíhal ve dvou hlavních směrech. • Prvým z těchto směrů bylo využití metod diferenciálního počtu k popisu geometrických útvarů. Tento přístup vedl zejména díky Gaussovi ke vzniku diferenciální geometrie • Druhý hlavní směr vývoje vedl úsilím geometrů jako Desargues, Poncelet, Möbius či Cayley k vytvoření projektivní geometrie, která zcela abstrahuje od pojmu metriky.

Geometrie v GIS • Geometrické útvary, vzájemné polohy geomtetrických útvarů, metrické vlastnosti geom. útvarů. • Geometrecká zobrazení – shodná, podobná, prostorová • Analytická geometrie • Modelování křivek – interpolace • Algoritmy nad křivkami – průsečík, transormace souřadnic, …

Topologie • Topologie (z řeckého topos - místo a logos - studie) je obor matematiky, opírající se o velmi obecný výklad pojmu prostor (topologický prostor). Studuje takové vlastnosti útvarů, které se nemění při oboustranně spojitých transformacích („blízké“ body se transformují opět v „blízké“ body). • V topologii nezáleží na geometrických vlastnostech, závislých na vzdálenosti, křivosti a podobně. Z hlediska topologie lze například v rovině považovat čtverec a kruh za rovnocenné, ale úsečku a kružnici nikoliv. • mnoho geometrických problémů nezávisí na přesném tvaru objektů, ale jen na vztazích, které mezi sebou objekty mají. Například kružnice a čtverec mají některé společné vlastnosti: Jsou to jednodimenzionální objekty (z topologického pohledu) a dělí plochu na dvě části. • Zobecnění dalo základ dalšímu odvětví matematiky, teorii grafů.

Matematická analýza • Matematická analýza (analysis = řešení, řešit) • Jejími základními pojmy jsou funkce, limita (posloupností a funkcí), derivace a integrál. Zahrnuje však také teorii míry, nekonečných řad a analytických funkcí. Metody matematické analýzy mají velký význam v přírodních a technických vědách.

Aplikovaná matematika • Aplikovaná matematika je odvětví matematiky zabývající se studiem těch oblastí matematiky, které se používají jako vhodný nástroj v nějakém nematickém oboru. • Rozvíjí matematické metody používané mimo samotnou matematiku, upřesňuje způsob, kterým je takové metody možné použít, a ručí za správnost jimi dosažených výsledků.

Aplikovaná matematika • aplikovaná matematika se neustále rozrůstá o další obory významné v současných empirických vědách. • zahrnuje široké spektrum oborů starších i modernějších, jako např. teorii pravděpodobnosti, matematickou statistiku, matematickou fyziku, počítačové vědy (computer science). • Zvláště díky rozvoji výpočetní techniky a jejího výpočetního potenciálu se mnohé z těchto oborů dále dělí. Příkladem může být matematická statistika; vedle klasické statistiky se rychle vyvinuly moderní statistické metody používané zvláště při popisu přírodních procesů

Aplikace v GIS Logika (matematická, výroková) Analýzy v GIS, odvozování modelů, analýzy závislostí, analýzy geodatabáze Teorie grafů využití v GIS – silniční síť, říční síť, inženýrské sítě, analýza na těchto sítích (vzdálenosti, dostupnosti, spojení, …) praxe – poruchy, záchranka, hasiči, . . .

Statistika • Statistická analýza geodat, metody interpolace (krigging), geostatistická analýza, • rozdíly mezi klasickou matematickou statistikou a analýzou geodat pomocí statistických a geostatistických postupů vyplývají z vlastností přírodních objektů a z reálných možností jejich zkoumání