Matematick Morfolgia Matematick morfolgia forma tvar slovo slov

Matematická Morfológia

Matematická morfológia η μορφή = forma, tvar ο λόγος (τα λόγια) = slovo (slová) Morfológia = štúdium formy a štruktúry (zvieratá, rastliny) Matematická morfológia = nástroj na popis komponentov obrazu, tvaru, štruktúry Základ – teória množín

Použitie predspracovanie filtrovanie šumu, zjednodušenie tvarov, . . . segmentácia watershed, hrany, obrys, … popis štruktúry objektov kostra, konvexný obal, . . . kvantitatívny popis analýza tvaru (area, perimeter, . . . ), granulometria, súvislé oblasti. . .

A B l l l Základné definície Prvok množiny x A Prvok nepatriaci množine x A Prázdna množina – neobsahuje žiadny prvok Disjunktné množiny, ak A B= Podmnožina A B (x A x B) Zjednotenie A B = {x | x A x B } Prienik A B = {x | x A x B }

A B Množinové operácie Komplement Ac = {x | x A} Rozdiel A – B = A Bc = {x | x A x B} Posunutie Zrkadlenie Az = A + z = {x | x = a + z, a A} = {x | x = -a, a A}

Morfologické operácie Vzťah: obraz (množina) – štrukturálny prvok Výsledok: zmena, zmenšenie, zväčšenie množiny

Binárna morfológia

Štrukturálny prvok x x x x – počiatok súr. sústavy (0, 0) referenčný bod

Štrukturálny prvok tvar veľkosť orientácia pozícia vzhľadom k x Závisia od aplikácie, ovplyvňujú výsledok ŠP je (zvyčajne) oveľa menší ako obraz

Dilatácia Minkowského súčet Expanzívna operácia – zväčšuje množinu

Dilatácia B= x b 1 b 2 x x

Dilatácia b 3 B= x b 1 b 2 x x

Dilatácia x B= b 1 x x b 2

Dilatácia

Dilatácia

Vlastnosti dilatácie

Erózia Minkowského rozdiel ⊖ Kontraktívna operácia – zmenšuje množinu

Erózia SE=

Erózia SE=

Erózia

Erózia

Vlastnosti erózie A⊖B B⊖A A 1 A 2 (A 1 ⊖ B) (A 2 ⊖ B) B 1 B 2 (A ⊖ B 1) (A ⊖ B 2) A ⊖ (B C) = (A ⊖ B) (A ⊖ C) (A ⊖ B) ⊖ C = A ⊖ (B C) (A ⊖ B) B A (A B) ⊖ B

Príklad použitia Prahovanie Erózia 1 spojitý útvar 22 spojitých útvarov

Erózia Originál Erodovaný 1 x Erodovaný 2 x

Opakovanie dilatácia Zväčšuje množinu Vypĺňa diery, zálivy určitej veľkosti a tvaru erózia Zmenšuje množinu Odstraňuje štruktúry určitej veľkosti a tvaru Môže rozdeliť množinu – v závislosti na štrukturálnom prvku Interaktívne na http: //dip. sccg. sk/

Otvorenie

Vlastnosti otvorenia

Otvorenie A B= A⊖B A∘B

Otvorenie A B= A⊖B A∘B

Otvorenie

Otvorenie posúvame B po vnútornej strane hranice A A⊖B B A∘B

Uzavretie

Vlastnosti uzavretia

Uzavretie A B= A B A B

Uzavretie A B= A B A B

Uzavretie

Uzavretie posúvame B po vonkajšej strane hranice A A B ⊖B A B

Otvorenie - Uzavretie

Otvorenie - Uzavretie

Dualita

Aplikácia: filtrovanie šumu 1. erózia A⊖B 2. dilatácia (A⊖B) B= A∘B 3. dilatácia (A∘B) B 4. erózia ((A∘B) B)⊖B= (A∘B) B

Opakovanie otvorenie erózia + dilatácia • vyhladzuje kontúry • prerušuje tenké spojenia • maže tenké výčnelky uzavretie dilatácia + erózia • vyhladzuje kontúry • spája blízke oblasti • vypĺňa malé diery a tenké zálivy Zachovávajú (približnú) veľkosť množiny

Detekcia tvarov Otvorenie použitím daného štrukturálneho prvku Príklad 1: detekcia kruhov, čiar x x x

Detekcia tvarov Príklad 2: detekcia jednotlivých prvkov plošného spoja diery štvorčeky kruhy

Detekcia tvarov hrubé spoje tenké spoje obdĺžniky

Text

Granulometria Otvorenie – kruh s priemerom 10, 15 a 25

Granulometria Otvorenie so zväčšujúcim sa SE: Distribúcia veľkosti granúl

vstup: štvorce veľkosti 1 x 1, 3 x 3, 5 x 5, 7 x 7, 9 x 9 a 15 x 15 pixlov erózia: ŠP 13 x 13 dilatácia: ŠP 13 x 13

Hit-and-Miss detektor tvarov A B = (A ⊖ B 1) (Ac ⊖ B 2), B 1 B 2 = , B 1 B 2 = B ”template matching”

Z Y A=X Y Z B 1 B 2 X A⊖B 1 AC⊖B 2 A X=(A⊖B 1) (Ac⊖B 2)

Hit-and-Miss X X X

Hit-and-Miss A B = (A ⊖ B 1) (Ac ⊖ B 2) X X X

Hit-and-Miss X X X

Hit-and-Miss koncové body B 1 B 2 B 2 izolované body B 1 B B 2

Hit-and-Miss Detekcia rohov Konvexné rohy

Opakovanie dilatácia ⊖ erózia ∘ otvorenie uzavretie hit-and-miss

Rekurzívna erózia Postupná aplikácia K – množina sa zmenšuje. . až zmizne (A ⊖ B) ⊖ C = A ⊖ (B C) erózia – zväčšujúci sa ŠP „rovnakého“ tvaru

ŠP B B B

Rekurzívna erózia

Ultimatívna erózia Ultimate Erosion (UE) = Rekurzívna erózia Zachováme objekty tesne pred zmiznutím

Rekurzívna dilatácia – zväčšujúci sa ŠP „rovnakého“ tvaru

Geodetické transformácie geodetická vzdielenosť d. X(x, y) geodetická (podmienená) dilatácia erózia

Podmienená dilatácia C A (A B) C

Geodetický vplyv Geodesic Influence (GI) = Rekurzívna podmienená dilatácia – rozdelí množinu iz. A(B 1) Zóny vplyvu (influence zones) Voronoiov diagram A B 3 B 1 zárodok B 2

UE a GI UE: rozdelí región, zachová zárodky GI: zo zárodkov rekonštruuje objekt

Distance Transform Operátor aplikovaný na binárne obrazy Úrovne šedej = vzdialenosť od najbližšieho okraja

Metriky Euklidovská City Block (Manhattan) Chessboard Original Euklidovská City block Chessboard

Metriky Euklidovská d=5 Manhattan (City-block) d=7 Chessboard d=4

Distance Transform Rekurzívna erózia – kým útvar nezmizne Vzdialenosť – číslo iterácie pri zmiznutí bodu Vhodné ŠP: štvorcový – chessboard krížový – city block kruhový – Euklidovská

Distance Transform

Morfológia pomocou DT erózia DT objektu dilatácia DT pozadia Efektívna implementácia iteratívnej E/D alebo E/D s veľkými ŠP

Hľadanie hranice dilatácia – erózia Algoritmy: Štandard: Externé: Interné:

Hľadanie hranice F K F F⊝K K

Hľadanie hranice F

Hľadanie hranice

Hľadanie hranice 8 -súvislá hranica 4 -súvislá hranica

Opakovanie otvorenie erózia + dilatácia • vyhladzuje kontúry • prerušuje tenké spojenia • maže tenké výčnelky uzavretie dilatácia + erózia • vyhladzuje kontúry • spája blízke oblasti • vypĺňa malé diery a tenké zálivy Zachovávajú (približnú) veľkosť množiny

Opakovanie dilatácia ⊖ erózia ∘ otvorenie uzavretie hit-and-miss

UE a GI Ultimatívna erózia (UE): rozdelí región, zachová zárodky Geodesic Influence (GI) Rekurzívna podmienená dilatácia : zo zárodkov rekonštruuje objekt

Hľadanie hranice dilatácia – erózia Algoritmy: Štandard: Externé: Interné:

Šedotónová morfológia

Obraz X = { (a; f. X(a)) | a En-1, f. X(a) R { } {- } } = n-dim graf Nosič (support): supp(X) = { a En-1, f(a) R } mimo: alebo - Pre nás n=3

Obraz Binárny obraz f(x) = konštanta Šedotónový obraz f(x) – úrovne intenzity X Y: supp(X) supp(Y) f. X(a) f. Y(a) pre a supp(X) Množinové operácie min/max sup/inf

Obraz obraz 3 D reprezentácia

Obraz

Dilatácia h f H H(x) - "structuring functions"

Dilatácia

Dilatácia ilustrácia v 3 D Dilatácia vs. originál

Dilatácia Zjasňuje obrázok – zvyšuje intenzitu

Erózia h f H

Erózia

Erózia ilustrácia v 3 D Erózia vs. originál

Erózia Ztmavuje obrázok – znižuje intenzitu

DE zhrnutie D: Jasnejší obrázok Redukuje (odstraňuje) tmavé detaily E: Tmavší obrázok Redukuje (odstraňuje) svetlé detaily

Otvorenie

Otvorenie

Otvorenie

Otvorenie

Uzavretie

Uzavretie

Uzavretie

OU otvorenie uzavretie

Zhrnutie D U E O

OU zhrnutie O: odstraňuje malé svetlé objekty odstraňuje šum U: spája svetlé objekty redukuje malé tmavé oblasti

Príklad použitia (A∘B) B – filtrácia obrazu

Morfologický gradient Šedotónové obrazy tiež externý a interný gradient

Morfologický gradient Štandard Externý Interný

Morfologický gradient

Morfologické vyhladzovanie (A∘B) B

Top-hat transformácia Nástroj na segmentáciu – výber svetlých (tmavých) objektov z nekonštantného pozadia White Top-hat Transform (WTT): A – (A○B) Black Top-hat Transform (BTT): (A B) – A

Top-hat BTT WTT

Top-hat tophat + otvorenie = originál

Top-hat BTT WTT

Zlepšenie kontrastu (A + WTT) – BTT

Aplikácia: hľadanie ranvejí Originál Nájdeme dlhé objekty WTT Rekonštrukcia Prahovanie Výsledok

Aplikácia 2: hľadanie filariálnych červov Originál Kostra BTT Zmazanie krátkych objektov Odstránenie šumu Prahovanie Rekonštrukcia Výsledok

Vypĺňanie oblastí x=X 0 vnútorný štartovací bod kým Xk=Xk-1 Vyplnená oblasť A Xk Podmienená dilatácia

B: ŠP – závisí od susednosti A AC X 0 . . . X 2 X 1 X 6 X 7 A

Rekonštrukcia

Výber spojitých častí Y – spojitý komponent v množine A Počiatočný bod X 0 Y Xk=Xk-1 Y=Xk B: ŠP – závisí od susednosti

Výber spojených častí B: ŠP – závisí od susednosti

X 0 Y X 1 = X B A X 2 = XX X 3 = XXX X 4 = XXXX

Zužovanie Použitie HMT Sekvenčné zužovanie ((A ⊘ B 1) ⊘ B 2). . . ⊘ Bn {B 1, B 2, . . . , Bn} Golayova abeceda = typ L, E, M, D, C

Rozširovanie

Skeleton – kostra Kostra – redukcia bodov objektu Zachováva topológiu Stredy vpísaných kruhov 2 dotykové body Problém?

Kostra

Kostra Podmnožina kostry: Si(F) = (F ⊖i B) – ((F ⊖i B )∘B), i=1, . . . n n – posledná iterácia ( Sn+1(F)= ) B kruhový ŠP Kostra:

Kostra Rekonštrukcia: ak poznáme Si(F), ŠP B a n:

Kostra

Kostra - iné algoritmy Zužovanie Postupné zužovanie Zachovávame koncové body a spojnice Distance Transform

Konvexný obal Konvexná množina x 1, x 2 R x 1 x 2 R Konvexný obal (Convex Hull) množiny R Najmenšia konvexná nadmnožina R

Konvexný obal Pre i=1, 2, 3, 4 B 1 B 2 Konverguje k Di (Xk=Xk-1) B 3 B 4

Pruning Orezávanie – odstraňuje výčnelky 4 kroky X 1= A ⊘ {Bk} X 2= (X 1 ⊗ Bk) X 3= (X 2 ⊕ H) A X 4= X 1 X 3 B 1 + otočenie o 90º B 5 H

Watershed transformácia

Zhrnutie