MATEMATICAS DISCRETAS M C FELMA LIZBETH GONZALEZ FLORES

MATEMATICAS DISCRETAS M. C. FELMA LIZBETH GONZALEZ FLORES

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS. n n n Conjuntos finitos, principio de Conteo. Se dice que un conjunto es finito si contiene exactamente m elementos diferentes en donde m denota algún entero no negativo. En caso contrario, se dice que el conjunto es infinito. Por ejemplo, el conjunto vacío y el conjunto de letras en el alfabeto español son finitos, mientras que el conjunto de los enteros positivos pares, {2, 4, 6, …} es infinito [2]. Si un conjunto A es finito, n(A) denotará el número de elementos de A. Algunos textos usan (A) en lugar de n(A).

… Lema: Si A y B son conjuntos finitos disyuntos, entonces (A B) = n(A) + n(B) n Demostración: Al contar los elementos de A B , primero contamos los que están en A. Hay n(A) de éstos. Los únicos otros elementos de A B son los que están en B, pero no en A. Pero como A y B son disyuntos, ningún elemento de B está en A, de modo que hay n(B) elementos que están en B, pero no en A. Por lo tanto, n(A B) = n(A) + n(B).

… También tenemos una fórmula para n(A B), aunque A y B no sean disyuntos. n Si A y B son conjuntos finitos, entonces A B y A B son finitos y n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces también lo es A B C, y n( A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n (A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C) n

Ejemplo Supongamos que 100 de los 120 estudiantes de matemáticas de una facultad toman por lo menos un idioma entre, francés, alemán y ruso. Suponga también que: n 65 estudian francés n 45 estudian alemán n 42 estudian ruso n 20 estudian francés y alemán n 25 estudian francés y ruso n 15 estudian alemán y ruso

… n Sean F, A y R los conjuntos de estudiantes que estudian francés, alemán y ruso, respectivamente. Queremos encontrar el número de estudiantes que estudian todos los tres idiomas, y encontrar el número correcto de estudiantes en cada una de las ocho regiones del diagrama de venn. U

… Tenemos: n(F A R) = 100, ya que 100 de los estudiantes estudian por lo menos uno de los idiomas. Substituyendo, 100 = 65 + 42 – 20 – 25 – 15 + n(F A R) y por lo tanto, n(F A R)= 8, o sea que 8 estudiantes estudian todos los tres idiomas.

… n Usamos ahora este resultado para llenar el diagrama de Venn. Tenemos: 8 estudian todos los tres idiomas 20 -8 = 12 estudian francés y alemán pero no Ruso. 25 -8 = 17 estudian francés y ruso pero no alemán 15 -8 = 7 estudian alemán y ruso pero no francés. 65 -12 -8 -17 = 28 estudian solamente francés. 45 -12 -8 -7 = 18 estudian solamente alemán. 42 -17 -8 -7 = 10 estudian solamente ruso. 120 -100 = 20 no estudian ninguno de los idiomas 28 + 10 = 56 estudiantes estudian exactamente uno de los tres idiomas.

Diagrama de Venn U 20

PRODUCTO CARTESIANO n Antes se señaló que un conjunto es una colección no ordenada de elementos; es decir, un conjunto queda determinado por sus elementos y no por algún orden particular de enumerar éstos. Sin embargo, a veces es necesario tomar en cuenta el orden. Un par ordenado de elementos, que se escribe (a, b), se considera distinto delpar ordenado (b, a), a menos, por supuesto, que a=b.

… n Dicho de otra forma, (a, b) = (c, d) si y sólo si a= c y b=d. Si X y Y son conjuntos, X y Y denota el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que x X y y Y. X x Y es el producto cartesiano[1].

… n n Dados conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: A X B : = { (a, b) | a A y b B} Se lee: Los pares del producto cartesiano de A x B, es un par tal que a es elemento del conjunto A, y b es elemento del conjunto B, así se forma el par (a, b).

. . . n Ejemplo 2. Un restaurante sirve cuatro entradas: r = costillas, n = nachos, f = queso fundido s=camarón, Y tres platos principales: c= pollo, b=filete de res, t = trucha Si A = {r, n, s, f} y M = {c, b, t}, el producto cartesiano A X M indica las 12 posibles comidas que constan de una entrada y un plato principal.

VECTORES Y MATRICES. Vectores. Es una lista lineal de valores. Ejemplo: (1, 2, 3) y (2, 3, 1) , contienen los mismos números, no son iguales, ya que los componentes correspondientes no son iguales. Si dos vectores, u y v, tienen el mismo número de componentes, su suma, escrita u + v, es el vector obtenido al sumar componentes correspondientes de u y v. u + v = (u 1, u 2, …un) + (v 1, v 2, …vn) = (u 1+v 1, u 2+v 2, …un+vn) n

… Matrices. n El término matriz fué utilizado por primera vez por los matemáticos ingleses Arthur Cayley (1821 -1895) y James Sylvester (1814 -1897) en el año de 1850, para distinguir las matrices de los determinantes. Cayley y Sylvester convirtieron las matrices en importantes instrumentos en la solución de problemas de las ciencias económicoadministrativas.

Concepto de matriz. n n n Podemos decir que una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. También se le llama arreglo de dos dimensiones. Una matriz con m filas y n columnas se dice que es una matriz m por n, escrito m. X n. La pareja de números m y n se llama tamaño de la matriz. Dos matrices, A y B, son iguales, escrito A = B, si tienen el mismo tamaño y si los elementos correspondientes son iguales.

… Ejemplo #1 El arreglo rectangular. 1 -3 4 0 5 -2 Es una matriz 2 x 3. Sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) Sus columnas son: 1 -3 4 0 5 -2 n

… Ejemplo #2 La tabla de posiciones en un torneo de fútbol. n PJ: partidos jugados n PG: partidos ganados n PP: partidos perdidos n PE: partidos empatados PJ PG PP PE Puntos Equipo A 3 3 0 0 6 Equipo B 3 2 1 0 4 Equipo C 3 1 2 0 2

… n El arreglo , que es una matriz: 3 3 2 1 0 1 2 0 0 0 6 4 2