matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza Dipartimento di Matematica

matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza - Dipartimento di Matematica che cosa fa un matematico? calcoli, per esempio, 95247 3518, (a+b)9 a mano sono complicati, ma “so farli” esecuzione meccanica, senza sorprese (e se poi ho una calcolatrice. . . ) molto più interessante: problemi numeri primi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

quanti sono i numeri primi? Euclide: «esistono infiniti numeri primi» con un controllo diretto, non posso né verificare, né confutare 2 3 5 7 11 13 + 1 = 30 031 non è divisibile per 2, 3, 5, 7, 11, 13 ha un “nuovo” fattore primo: 30 031 = 59 × 509 calcoli e problemi situazioni analoghe per uno studente: “calcola il valore di …”, “dimostra che …”

come si dimostrano le proprietà nell’insieme N dei numeri naturali 0, 1, 2, … (con le consuete operazioni)? riportiamo la proprietà che stiamo esaminando a fatti noti teoria assiomatica accettiamo proprietà di base, assiomi o postulati e, a partire dagli assiomi, dimostriamo i teoremi fra le teorie assiomatiche per i numeri naturali, la più nota è l'aritmetica di Peano (PA)

x (0 ≠ x’) x y [x ≠ y x’ ≠ y’] x (x + 0 = x) x y [x + y’ = (x + y)’] x (x 0 = 0) x y (x y’ = x y + x) H(0) x (H(x) H(x’)) x H(x) gli assiomi, e di conseguenza anche i teoremi, esprimono fatti veri in N domanda cruciale: gli assiomi permettono di dimostrare tutto quello che è vero? congettura di Goldbach: ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi (4 = 2+2 12 = 5+7 22 = 3+19) se è vera, riuscirò a dimostrarla?

primo Teorema di Gödel (1931) Esiste almeno una formula G tale la mia teoria (es. : PA) non dimostra G, ma nemmeno ¬G. formula G indecidibile - teoria incompleta due possibilità: - la formula G è vera in N e ¬G è falsa - la formula G è falsa in N e ¬G è vera in ogni caso, esiste una formula che è vera in N ma non è un teorema la teoria non dimostra tutto quello che vorrei; forse, la congettura di Goldbach è vera ma non dimostrabile

il primo teorema di Gödel si dimostra costruendo una formula G tale che G ¬ Theor (G) G è una formula che, in un certo senso, dice «non esiste una dimostrazione di G» attenzione: il I teorema di Gödel vale solo se la teoria è coerente (o non contraddittoria) se dagli assiomi della teoria si potesse dedurre una contraddizione, allora ogni formula sarebbe un teorema gli assiomi di PA sono contraddittori? ?

la teoria è non contraddittoria se non c’è una dimostrazione di 2+2 = 5 ¬Theor (2+2 = 5) questa formula esprime la coerenza (non contraddittorietà) della teoria secondo Teorema di Gödel nella teoria (in PA) la formula ¬ Theor (2+2 = 5) non si può dimostrare diamo “un’occhiata” a parte della dimostrazione |– Theor (G)) |– Theor (G) Theor (¬ G) per le proprietà di G |– Theor (G) Theor (¬ G) Theor (G) |– Theor (G) Theor (2+2 = 5) perché ¬ G G equivale a 2+2 = 5 |– ¬ Theor (2+2 = 5) ¬ Theor (G) contronominale |– ¬ Theor (2+2 = 5) G per le proprietà di G

una conseguenza importante non c’è (non ci può essere) un procedimento generale di decisione per i problemi matematici (differenza fra calcoli e problemi) nessuno potrà mai realizzare un software che risponda a ogni domanda del tipo «è vera la congettura di Goldbach? »

abbiamo una “ragionevole fiducia” che la teoria PA sia non contraddittoria ci sono dimostrazioni, che non si possono tradurre nella teoria stessa dopo i Teoremi di Gödel, morte della logica? perdita della certezza matematica? NO, anzi