MATEMATICA FINANZIARIA AL A A 2006 2007 OBIETTIVI

MATEMATICA FINANZIARIA A-L A. A. 2006 -2007

OBIETTIVI • Il corso si propone di fornire gli strumenti e le nozioni di base della matematica finanziaria tradizionale per affrontare problemi di valutazione e scelta in ambito economico, finanziario ed aziendale. • Testi - Stefani S. , Torriero A. , Zambruno G. (2003), Elementi di matematica finanziaria e cenni di programmazione lineare, II Edizione, Giappichelli Editore, Torino (STZ) Materiale didattico integrativo: Eserciziari: - Angoli A. , Colli Frantone Bonzanini A. , De Dionigi L. , Matematica finanziaria: Esercizi svolti, Giappichelli, Torino 2000. -Bolamperti G. , Ceccarossi G. , Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di programmazione lineare, Esercizi, Giappichelli Editore, Torino.

PROGRAMMA Struttura del corso Argomenti Concetti chiave Studi di casi e applicazioni (alcuni esempi) Testi Ore di didat tica Ore di s t u d io Operazioni finanziarie Grandezze fondamentali, capitalizzazione e attualizzazione, regimi a interesse semplice, anticipato, composto. Equivalenza tra tassi. Forza di interesse. Scindibilità. Valutazione di importi monetari. STZ, cap. 1 STZ, par. 4. 5. 1 12 26 Rendite e costituzione di un capitale Generalità sulle rendite, montante e valore attuale dei vari tipi di rendita. Indici temporali. Esempi di rendite e di problemi di costituzione di un capitale. STZ, cap. 2 (par. 1, 2, 3, 4, 5, 6) , cap. 3 (par. 1, 2) 8 16 Problemi di valutazione Criteri di scelta: il pay-back, il risultato economico attualizzato (REA), il tasso interno di rendimento (TIR). Applicazioni dei criteri di scelta a investimenti reali e finanziari. STZ, cap. 4 4 10 Titoli obbligazionari Struttura per scadenza dei tassi di interesse, pricing di obbligazioni. Zero-coupon bond. Tassi spot e forward STZ , cap. 5 (par. 1, 2) 2 4 Ammortamenti Generalità sugli ammortamenti, Ammortamento italiano, francese, americano. Nuda proprietà e usufrutto. Applicazioni del concetto di ammortamento. Il leasing STZ, cap. 3 (par. 3, 4, 5, 6, 7, 8) 6 12

ORARIO • LEZIONI: • Mart Merc Ven 10: 15 -11: 50 14: 00 -15: 35 10: 15 -11: 50 • RICEVIMENTO: ufficio 71 martedì 15, 30 -17: 30

GENERALITA’ LEGGI FINANZIARIE • Operazione finanziaria • semplice • Complessa • Capitalizzazione e attualizzazione – Legge finanziaria di capitalizzazione e attualizzazione – Fattore di montante e di sconto • Grandezze fondamentali Interesse, sconto, tasso di interesse, tasso di sconto, intensità e intensità istantanea di interesse e sconto

OPERAZIONE FINANZIARIA • Qualsiasi operazione che dia origine allo scambio tra somme di denaro riferite ad epoche diverse. Esempi di operazioni finanziarie : ° Acquisto di BOT e successiva vendita alla scadenza ° Accensione di mutui ° Acquisti a pagamento rateale t=0 C 0 t=T CT C 0 e CT sono equivalenti finanziariamente, ovvero l’operazione è equa.

Operazione finanziaria SEMPLICE Scambio tra due importi a due epoche diverse. Esempio: rimborso di un prestito in un'unica scadenza t=0 t=T C 0 CT COMPLESSA Scambio tra più importi a scadenze diverse. Esempio: rimborso graduale di un prestito (BTP) t=0 C 0 t=1 C 1 t=T CT

Capitalizzazione e Attualizzazione • La capitalizzazione, cioè il differimento di una disponibilità, consente di determinare il valore futuro di un capitale, • l'attualizzazione o anticipazione, consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale con scadenza futura, cioè di anticiparne la disponibilità.

ESEMPIO CAPITALIZZAZIONE 0 T |----------------------------|---- C 0 =15000, 00 Euro CT= M = ? • 0 = 1/1/2006, T= 30/6/2006 • C 0 = Capitale iniziale • M = CT = Capitale finale = Montante All'epoca iniziale 1° gennaio 2006, si impiega un capitale di 15 000 euro per il periodo di tempo che termina in T (epoca di disinvestimento), quando si renderà disponibile il montante M.

ESEMPIO ATTUALIZZAZIONE 0 T |----------------------------|---- C 0= V= ? C T=15000 • 0 = 1/1/2006, T = 30/6/2006 • C 0 = V= Valore attuale • CT = Capitale finale Trovare il valore attuale di una cambiale di Euro 15000 in scadenza tra 6 mesi

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una qualsiasi funzione M = F(C, t) che esprima il montante M, noti il capitale C e l’epoca finale t, e che soddisfi i seguenti postulati: 1) F(C, t) definita per C 0, t 0 E' possibile calcolare il montante M per qualsiasi ammontare di capitale non negativo e per qualsiasi durata di impiego 2) F (0, t) = 0 Il montante di un capitale nullo è nullo.

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE 3) F(C, 0) = C Se la durata di impiego è nulla, il montante coincide con il capitale. Il contemporaneo investimento - disinvestimento non produce alcun vantaggio finanziario 4) 0 < C 1 C 2 ==> F(C 1, t) F(C 2, t) A parità di durata d'impiego, a capitale maggiore corrisponde montante maggiore 5) t 1 t 2 => F(C, t 1) F(C, t 2) A parità di capitale investito, il montante ad un'epoca successiva risulta non inferiore al montante di un'epoca precedente. Il capitale impiegato non perde valore nel tempo 6) F(C, t) = C F(1, t) A parità di durata d'impiego, il montante è proporzionale al capitale impiegato.

FATTORE DI MONTANTE • Definiamo fattore di montante la funzione f(t) = F(1, t) • Il fattore di montante è qualsiasi funzione f(t): - definita per t [0, T] - non decrescente (se derivabile, f'(t) 0) - tale che f(0) = 1 Ct = C 0 f(t) Il fattore di montante esprime anche il montante al tempo t di un capitale C unitario.

Leggi e regimi di capitalizzazione Ogni funzione f(t) che soddisfi le tre proprietà può essere assunta come fattore di montante e definisce una legge di capitalizzazione. Si definisce regime di capitalizzazione una famiglia di funzioni fattore di montante che dipendano da uno o più parametri • Esempio: regime f(t) = 1+at legge f(t) = 1+0, 1 t a>0, t [0, T]

Fattore di sconto o di attualizzazione • Il valore attuale V di un capitale C disponibile in un'epoca futura è proporzionale al capitale e dipende dalla durata dell'operazione di anticipazione. Sotto questa ipotesi si può scrivere V= C 0 = Ct g(t) • Dalla relazione di capitalizzazione C 0 f(t) = Ct g(t)f(t)=1 Le due leggi di attualizzazione e sconto si dicono coniugate

Proprietà del fattore di sconto • le proprietà del fattore di sconto si deducono immediatamente dalle proprietà di f(t). • Pertanto il fattore di sconto è qualsiasi funzione g(t): • definita per t [0, T) • tale che g(0) = 1 • non crescente (se derivabile, g'(t) 0).

INTERESSE E SCONTO INTERESSE Chi rinuncia oggi ad una disponibilità finanziaria, differendola nel tempo, richiede che gli venga corrisposto un adeguato compenso, detto Interesse: I = Ct C 0 SCONTO Chi richiede oggi la disponibilità di una somma che gli sarebbe dovuta ad una data futura, deve corrispondere un adeguato compenso, detto Sconto: S = Ct C 0

TASSO D’INTERESSE Indicando con i(t) il tasso di interesse sul capitale iniziale per la durata t Se la durata è unitaria (t = 1) i = i(1) = f(1) - 1 è il tasso unitario di interesse. Da cui f(1)=1+i (qualunque sia la funzione fattore di montante)

PERIODICITÀ DEL TASSO A seconda del periodo di riferimento si ha: ° Tasso mensile => unità di tempo: 1 mese ° Tasso trimestrale => unità di tempo: 3 mesi ° Tasso semestrale => unità di tempo: 6 mesi ° Tasso annuale => unità di tempo: 1 anno ° Tasso biennale => unità di tempo: 2 anni °. . . • Il tasso di interesse può quindi essere riferito all'anno o ad una sua frazione o ad un suo multiplo.

TASSO DI SCONTO • Indichiamo con d(t) il tasso di sconto sul capitale finale per la durata t Se la durata è unitaria (t = 1) è il tasso unitario di sconto. Pertanto la relazione tra d unitario e i unitario è la seguente:

Grandezze Fondamentali t t+Dt |----------------------------|---- Ct C t+Dt • • • Interesse: Sconto: Fattore di montante: Fattore di sconto: Tasso di interesse: Tasso di sconto: C t+Dt-Ct C t+Dt / Ct C t / Ct+Dt (Ct+Dt-Ct)/Ct+Dt

Grandezze Fondamentali t t+Dt |----------------------------|---- Ct C t+Dt • Intensità di Interesse: (Ct+Dt-Ct)/(Dt. Ct) • Intensità di Sconto: (Ct+Dt-Ct)/(Dt. Ct+Dt) • Intensità istantanea di interesse: • Intensità istantanea di sconto:

Esercizio 1 • Si stabilisca se la seguente funzione corrisponde ad una legge finanziaria di attualizzazione: Non corrisponde ad una legge finanziaria di attualizzazione, ma di capitalizzazione

Esercizio 2 • Calcolare il tasso unitario di interesse: • Calcolare l’intensità istantanea di interesse:

Esercizi per casa • Eserciziario Angoli, Colli Franzone Bolzanini, Dionigi (ACD): - Es. 2. 1 punto a - Es. 2. 2 punto b, c - Es. 2. 7 punto a • Eserciziario Bolamperti-Ceccarossi (B-C): - Es. 4, - Es. 12 punto a - Es. 13 punto a - Es 14 - Es. 15 punti a, b, d