Matematica e apprendimento Osservatorio Dispersione Scolastica Distretto 3

Matematica e apprendimento Osservatorio Dispersione Scolastica Distretto 3, Termini Imerese

Quando non possiamo misurare … le nostre conoscenze sono misere e insoddisfacenti (Lord Kelvin) Fisico e matematico britannico (1824 -1907)

Concetto di numero Assegnare una numerosità a un insieme mediante simboli, i cosiddetti numeri arabi (per la nostra cultura)

Sumeri e Babilonesi Possedevano simboli numerici dal 3000 a. C. Testimonianza: tavolette di argilla conti commerciali Sistema numerico in base 10 e 60

Conoscenza numerica Insieme delle capacità che consentono di comprendere la quantità e di effettuare delle trasformazioni

Ipotesi dell’origine della percezione numerica Il linguaggio, se esistono le parole per esprimere numeri, si può essere certi che la cultura corrispondente dispone di tecniche per contare Il contrario non è vero, una lingua che non possiede parole specifiche per esprimere numeri non significa che chi la usa non sappia contare o non usa numeri

Origini della percezione numerica Linguaggio Ø Utensili e altri manufatti con incisioni che potessero sembrare delle operazioni Ø

Simboli numerici Ø Ø Ø Numerazione con tacche Principio dell’insieme Principio del valore posizionale

Prime forme di notazione numerica Notazione nulla nessuna informazione per l’osservatore esterno, ma con significato personale

Notazione numerica basata sulla corrispondenza biunivoca

Notazione convenzionale Uso di numeri o lettere

Rappresentazioni: Ø Ø Idiosincratica: priva di notazioni comprensibili Pittografica: riproduce gli oggetti della collezione Iconica: formata da segni grafici Simbolica: costituita da numeri arabi

Competenza scritta Dipende dallo sviluppo dei processi cognitivi specifici che permettono la costruzione di veri e propri sistemi simbolici, ovvero il legame fra il simbolo e il referente (Hiebert)

Altra ipotesi Utensili e altri manufatti in cui sono incisi segni che sembrerebbero rappresentare operazioni di conteggio Pitture e incisioni sulle pareti di grotte Prassi risalenti a più di cinquemila anni fa

Sviluppo e apprendimento dipendono contesto insegnamento

Teorie di sviluppo della conoscenza numerica • Studio sperimentali sugli animali • Studio sui bambini piccoli (paradigma dell’abituazione)

Piaget (1896 -1980) Saper contare e possedere il concetto di numero rappresentano abilità cognitive differenti

Teoria stadiale Fase sensomotoria (0 -2 anni) Fase preoperatoria (3 -4 anni) Uso dei simboli Fase operatoria (6 anni) Conservazione della quantità Fase delle operazioni logiche Identità quantitativa, reversibilità semplice, calcolo)

Sviluppo della conoscenza numerica preverbale • Starkey & altri • Gelman & Gallistel • Wynn Ipotesi innatista

Starkey & altri I bambini di sei mesi preferiscono immagini con più elementi (tre invece di due)

Gelman & Gallistel Bambini di due anni e mezzo sanno discriminare disegni con due o tre oggetti

La teoria dei principi del conteggio (Gelman e Gallistel) Il concetto di numero è innato Si evolve nelle procedure di calcolo attraverso Ø La corrispondenza uno Ø Il principio dell’ordine stabile Ø Il principio della cardinalità Ø Il principio dell’astrazione Ø Il principio dell’irrilevanza dell’ordine

La teoria dei contesti diversi (Fuson) I principi del calcolo si sviluppano attraverso: Ø Esercizio Ø Imitazione Ø Interazione con l’ambiente Necessaria acquisizione della corrispondenza uno

Paradigma della violazione delle aspettative (Wynn, 1992) Ø Ø Ø Esperimenti con oggetti in movimento Prevedibilità/sorpresa per la situazione Bambini di 5 mesi riescono a compiere delle semplici operazioni si tipo additivo (1+1) e sottrattivo (1 -1)

Possibili livelli evolutivi: Indagine Lucangeli (1999): Ø Sequenza di numeri usata come stringa di parole (Luca, 4 anni: “Uno, due, sette, quattro”) Ø Le parole-numero vengono usate in sequenza unidirezionali in avanti a partire dall’ 1 (Mario, 4 anni e 6 mesi: “Uno, due, tre, quattro”)

Ø Sequenza producibile da qualsiasi numero con relazioni numeriche di prima e dopo (Sara, 5 anni: “Vicino a 5 c’è 6 e poi 7 e 8”) Ø Parole-numero sono trattate come entità distinte (non occorrono più elementi concreti di corrispondenza biunivoca) (Lucia, 5 anni e 3 mesi: “ 4 è più di 3, 5 è più di 4”)

Ø Sequenza utilizzata in modo bidirezionale sulla quale e attraverso la quale è possibile operare in vari modi (Mattia, 6 anni e 5 mesi: “ 7, 8, 9, 10… 20, 19, 18”) Tale evoluzione non è da considerarsi rigida e precostituita, ma è il risultato di competenze cognitive ed apprendimenti significativi.

Abilità Preverbali (Via analogica): la rappresentazione della quantità è indipendente dalla conoscenza verbale del numero Subtizing Stima Acuità Verbale: al nome del numero è associata la quantità Associare etichette alle quantità

Subtizing (S. Dehaene e J. P. Changeaux) Riconoscimento immediato di una piccola quantità (3 -4 elementi) senza ricorrere ai meccanismi di conteggio verbale

STIMA Processo di riconoscimento per quantità superiori alle 4 unità Ø Non molto accurata Ø

Acuità numerica • È la nostra capacità di discriminare fra insiemi di differenti numerosità quando il conteggio non è possibile

Conoscenza numerica INFLUENZA CULTURALE ISTRUZIONE NUCLEO CENTRALE INNATO

Modulo numerico Rappresentazione che fanno uso di parti del corpo Rappresentazione che fanno uso di aiuti esterni MODULO NUMERICO Simboli numerici Rappresentazione linguistiche

Contare (Butterworth, 1999) Primo collegamento fra le capacità innate del bambino e le acquisizioni matematiche più avanzate messe a disposizione dalla cultura

Errori più comuni nella fase di apprendimento: Sovra-conteggio Sotto-conteggio Omissioni Doppio conteggio Sequenza parole-numero errata

EPIDEMIOLOGIA In Italia Segnalazioni di circa 5 bambini per classe (20%) IARLD International Academy for Research in Learning Disabilities 2, 5% 0, 5 -1% disturbo del calcolo

… e tutto il “resto”? Circa il 90% riguarda difficoltà di apprendimento Cause ipotizzabili: atteggiamento emotivo-motivazionale degli alunni, ansia, resistenza al ragionamento matematico, relazione docente/discente, eterogenità dei compiti matematici e dei processi coinvolti, ecc.

Difficoltà di apprendimento ≠ Disturbi dell’apprendimento

Apprendimento Ø Ø Ø Processo attivo: mediato da conoscenze e strategie Costruttivo: si sviluppa gradualmente Dinamico: interazione fra informazioni vecchie e nuove

APPRENDIMENTO FATTORI BIOLOGICI FATTORI SOCIO AMBIENTALI CONSOLIDAMENTO FAMIGLIA E AUTOMAZIONE FATTORI RELAZIONALI MODALITÀ DI INSEGNAMENTO APPRENDIMENTO

Cognizione: Metacognizione: Memoria Attenzione Comprensione ragionamento Motivazione Stile attributivo Uso di strategie, ecc.

Disturbi dell’apprendimento Problematiche dello sviluppo cognitivo e dell’apprendimento scolastico non imputabili primariamente a fattori di handicap grave e definibili in base al mancato raggiungimento di taluni criteri rilevanti di apprendimento per i quali esiste un largo consenso

Difficoltà di calcolo Il profilo appare simile al disturbo L’intervento di recupero e potenziamento ottiene buoni risultati in breve tempo e normalizza il profilo

Disturbo Specifico Discalculia Basi neurologiche comorbilità -Altri disturbi specifici -ADHD specificità Appare in condizioni di adeguate abilità generali L’intervento di recupero e potenziamento, pur migliorando il profilo, non riesce a normalizzarlo. Criterio di discrepanza: deve emergere una discrepanza tra le capacità intellettive nella norma e l’abilità specifica che risulta deficitaria in rapporto all’età e alla classe frequentata.

Prestazioni

Da considerare: • Età del soggetto • Contesto: le abilità devono essere insegnate (e imparate) • Grado significativo di compromissione dell’abilità scolastica precisa • Esclusione di fattori esterni capaci di fornire una sufficiente motivazione per le difficoltà scolastiche

Area matematica Coinvolge diversi aspetti indipendenti e questi risultano dissociabili anche nell’ambito dei disturbi Abilità di calcolo Soluzione dei problemi

Processi della cognizione numerica Sintattici Lessicali Valore posizionale delle cifre Nome del numero Semantici Significato dei numeri attraverso una rappresentazione mentale ti tipo quantitativo

Quantità Aspetti semantici: individuazione della quantità Stima della Comparazione Seriazione Conteggio numerosità

Il processo lessicale Riguarda il nominare correttamente un numero attraverso una codifica bidirezionale tra il codice arabico e quello verbale e viceversa. Per indagare questa abilità: lettura e dettato di numeri.

Elaborazione sintattica è integra, mentre è compromessa quella lessicale ØIl lessico dei numeri è autonomo rispetto al linguaggio ØI meccanismi di elaborazione lessicale sono funzionalmente indipendenti da quelli di elaborazione sintattica ØL’accesso lessicale è influenzato dalla posizione ØI “dici” o “teens”, i numeri dall’ 11 al 19, costituiscono una classe lessicale distinta

Il processo sintattico Definisce la grammatica che regola il modo in cui possiamo comporre le cifre e il significato che queste assumono a seconda di come vengono combinate. Esempio: valore posizionale delle cifre.

Sistema del calcolo Per risolvere una qualsiasi operazione di calcolo dobbiamo considerare 3 aspetti fondamentali: • Segni dell’operazione • Procedure (es. composizione e scomposizione) • Fatti numerici (legati ai processi di memorizzazione)

Discalculia profonda Analisi degli errori Errori nei processi semantici Errori nel sistema del numero Processi sintattici Processi lessicali Nel recupero dei fatti aritmetici Discalculia procedurale Errori nel sistema del calcolo Nel mantenimento e recupero delle procedure Nell’applicazione delle procedure

Errori nel recupero dei fatti aritmetici* Principalmente legati alla memoria: Ø Memoria a lungo termine Ø Memoria di lavoro *Problemi elementari i cui risultati sono archiviati nella MLT, dalla quale possono essere richiamati senza ricorrere a particolari procedure di calcolo (Miceli, 1990)

Errori nel mantenimento e nel recupero delle procedure • Il non utilizzo di procedure facilitanti (es. nell’addizione, cominciare a contare dall’addendo più grande) • Il mantenimento attivo in memoria di risultati parziali

Errori nell’applicazione delle procedure • Errore di incolonnamento e nel posizionamento dei numeri • Applicazione del prestito nel riporto

Altri tipi di errori • Errori legati a difficoltà visuo-spaziali Compromissione: Ø Nel riconoscimento dei segni di operazione (+ x) Ø Nella rappresentazione della quantità Ø Nell’utilizzare la linea dei numeri Ø Nella percezione del valore posizionale Ø Nell’incolonnamento Ø Ecc. • Errori intelligenti (es. 107 scrive 100 e 7, 103 scrive 1003, più al posto di per)

Modello neuropsicologico del calcolo (Mc Closkey e Caramazza) Sistema di Sistema Comprensione del Calcolo Sistema di Produzione

Sistema di Comprensione Trasforma la struttura superficiale dei numeri in una rappresentazione astratta di quantità

Sistema di calcolo Assume questa rappresentazione come input, per poi “manipolarla” attraverso il funzionamento di tre componenti: i segni delle operazioni, i fatti aritmetici e le procedure del calcolo

Sistema di Produzione Fornisce le risposte numeriche

Parametri Accuratezza Indica il grado di conoscenza del dominio Velocità Indica il grado di automatizzazione del processo

Test Ac-Mt I parte accertamento generale delle abilità di calcolo

Operazioni scritte: procedure di calcolo e automatismi coinvolti Ø Giudizio di numerosità: comprensione semantica e lessicale Ø Trasformazione in cifre: elaborazione della struttura sintattica Ø Ordinamento di numerosità dal minore al maggiore e viceversa: riconoscimento delle quantità, confronto e ordine Ø

II parte: ØStilare un profilo individuale per correttezza e rapidità ØLa correttezza è espressa in numeri di errori

Ø Calcolo a mente: si annotano le strategie utilizzate Ø Calcolo scritto: analisi delle procedure Ø Enumerazione (in avanti e indietro): comprendere il ruolo di ciascun numero Ø Dettato di numeri: analisi dei meccanismi sintattici e lessicali Ø Recupero di fatti numerici: memorizzazione delle combinazioni numeriche

Percezione di competenza

Differenze tra:

Recupero e potenziamento L’intervento di recupero e potenziamento, sia in caso di difficoltà che di disturbo nell’area del calcolo è un aspetto cruciale per 2 motivi: 1. Consente di distinguere con maggiore certezza fra le due condizioni (se gli esiti dell’intervento di potenziamento sono positivi, si può propendere per una condizione di difficoltà piuttosto che di disturbo 2. Intervenire in maniera precoce e pertinente è un passo fondamentale verso la risoluzione delle problematiche legate all’apprendimento matematico.

Differenze tra riabilitazione e potenziamento Il termine riabilitazione si usa in situazioni di disturbo conclamato, per indicare un intervento volto: • Alla promozione di una competenza non comparsa, rallentata o atipica • Al recupero di una capacità che per cause patologiche è andata perduta • Alla possibilità di utilizzare formule facilitanti e alternative.

Il potenziamento, invece, è un concetto direttamente derivato da quello di “zona di sviluppo prossimale” di Vygotskij (1965). Designa un intervento volto a sostenere un normale sviluppo di un determinato processo o funzione, così da massimizzare le potenzialità

Colpa e vergogna a confronto (Moè, Lucangeli, 2010)

Strumenti compensativi per la matematica non tecnologici…

…e a bassa tecnologia

Strumenti compensativi per la matematica ad alta tecnologia

Che cosa fare: consigli generali per la preparazione

Idee e suggerimenti pratici