MAT2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennkisyysksitteen vikaantumismallit Hazardi

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi • tarkastellaan aikaväliä (0, t) joka jaetaan erillisiin t: n pituisiin osaväleihin • hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta • olkoon i: nnellä osavälillä vikaantuneiden laitteiden lukumäärä n(i) • olkoon Tji laitteen j toiminta-aika osavälillä i:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi missä m(i) = välin i alussa toimivien laitteiden lukumäärä

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Empiirinen kylpyammekäyrä

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tulkinta vs. elinajantiheysfunktion tulkinta

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure) • MTTF = vikaantumisajan odotusarvo • koska f(t) = -R’(t)

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure) • MTTF voidaan johtaa myös Laplace-muunnoksen avulla • lähestymistapa hyödyllinen esim Markov-malleista johdettujen vikaantumisaikajakaumien tapauksessa

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Keskimääräinen vikojen välinen aika, MTBF (mean time between failures) • laitteen toimintahostoria koostuu peräkkäisistä toiminta-ajoista (T) ja korjausajoista (Tr) • MTBF = vikojen välisen ajan odotusarvo = vikaantumisajan odotusarvo + korjausajan odotusarvo, edellyttäen, että peräkkäiset vikaantumisajat (ja korjausajat) ovat riippumattomia, samalla tavatalla jakautuneita satunnaismuuttujia • MTTR = mean time to repair

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Laitteen keskimääräinen vikaantumiskäyttäytyminen

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit POISSON-prosessi • Poisson-prosessilla on yhteys vikaantumismalleihin • Poisson-prosessiin (tai minkä tahansa piste- tai laskuriprosessin) intensiteeteillä on tulkinta luotettavuusteoriassa ja -tekniikassa • tietyin edellytyksin Poisson-prosessi on vikaantumisten lukumäärän malli • nyt tarkastellaan homogeenista Poisson-prosessia • monesti myös ns. epähomogeenisilla Poisson-prosesseilla on käyttöä luotettavuusmallina

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi OLETUKSET • Vikaantumistapahtuma A voi esiintyä millä hetkellä tahansa, ja todennäköisyys, että A esiintyy aikavälillä (t, t+dt) ei riipu t: stä on missä 0 ja funktiolle o( ) pätee:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi OLETUKSET • Todennäköisyys, että aikavälillä (t, t + dt] esiintyy enemmän kuin yksi tapahtuma on o(dt). • jos mitkä tahansa aikavälit (t 11, t 12], (t 21, t 22], … ovat erillisiä, niin tapahtumat ”A esiintyy aikavälillä (tj 1, tj 2]”, j = 1, 2, …. ovat riippumattomia

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi • merkitään N(t): llä aikavälillä (0, t) esiintyneiden tapahtumien lukumäärää ja olkoon • nyt pätee: eli

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi on luonnollista asettaa:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi • ensimmäisen tapahtuman esiintymishetken, T 1, jakauma • T 1 on siis eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi • p(n, t)?

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi • rekursio Eli Poissonin jakauma

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi • k: nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, jakauma • tiheysfunktio saadaan derivoimalla:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi • k: nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, tiheysfunktio saadaan derivoimalla • kysymys on gammajakaumasta

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Eksponentiaalijakauma

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Eksponentiaalijakauma on muistiton:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Weibulljakauma

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma • malli: laitteeseen kohdistuu shokkeja joiden välinen aika on ekponentiaalisesti jakautunut parametrilla • laite vikaantuu, kun siihen kohdistuu k: s shokki

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma • yleistys

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia • muita jakaumia • lognormaalijakauma (ln(T) ~ N( 2)) • Pareto-jakauma • inverse-gaussian • äärimmäisten arvojen jakaumat • Gumbel-jakaumat • erilaiset stokastisten prosessien perusteella johdetut jakaumat (rajajakaumana yleensä joku normaalijakauman versio) • jne.

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • IFR (increasing failure rate) ja DFR (decreasing failure rate) MÄÄRITELMÄ: Jakauma on IFR (DFR) jos -ln(1 -F(t)) on konveksi (konkaavi) välillä 0<t<F-1(t) • Huom! jos jakauma on jatkuva niin IFR (DFR) vastaa hazardifunktion kasvavuutta (vähenevyyttä)

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • IFRA (increasing failure rate average) ja DFRA (decreasing failure rate average) MÄÄRITELMÄ: Jakauma F on IFRA (DFRA) jos on kasvava (vähenevä) kun t • IFRA (DFRA) on heikompi ominbaisuus kuin IFR (DFR)

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • NBU (new better that used) ja NWU (new worse that used) • tarkastellaan jäljella olevan elinajan jakaumaa: MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NBU (NWU) jos

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • NBUE (new better that used in expectation) ja NWUE (new worse that used in expectation) MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NBUE jos 1. F: llä on äärellinen odotusarvo 2. on voimassa, että:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NWUE jos 1. F: llä on äärellinen odotusarvo 2. on voimassa, että:

MAT-2118 Luotettavuustekniikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • IFR => IFRA => NBUE • DFR => DFRA => NWUE • tietynlaiset järjestelmärakenteet säilyttävät jotkut em. ominaisuuksista