mastermodule mit uns knnen Sie rechnen Gernot Mhlbacher

master-module . . . mit uns können Sie rechnen! Gernot Mühlbacher BRUCHRECHNEN II * Anwendung, Übung Das Lernsoftware-Paket zu diesem Thema kannst du kostenlos herunterladen: http: //www. elearning-soft. de/downloads/master-modules/ Wollen Sie auch werben? www. e. Learning-Soft. de © 2019 Gernot Mühlbacher Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten, nicht kommerziellen Gebrauch gestattet. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 1

Lernen ist mehr als Verstehen! INFO bekannt? nächste Folie: 3 Mit den vier wichtigen Bruchrechenregeln wollen wir uns jetzt intensiv beschäftigen! Wenn du verstanden hast, dass die Regeln zu Recht gelten, dann kannst du noch lange nicht sicher mit ihnen umgehen. Der Lernvorgang ist erst dann beendet, wenn du nach dem ersten Verstehen auch später noch sicher und flüssig mit dem neu Gelernten umgehen kannst! 2 Die Folie 24 Wir wollen deshalb … … Beispiele rechnen. … typische Fallen vermeiden. … auf häufig auftretende Rechenfehler hinweisen. … typische Denkfehler vermeiden. … Ergebnisse im Voraus abschätzen, damit wir am Ende der Aufgabe erkennen können, ob wir auch richtig gerechnet haben. … Lösungswege vergleichen. gibt dafür zusätzlich eine Erklärung und Begründung! 2

Also: Auf geht‘s! Training Darstellung von Bruchzahlen Im nachfolgenden Kreisdiagramm steckt ein Fehler. Beschreibe ihn! 1/ 1/ 8 1/ 8 1 /8 1/ 1/ 1/ 8 8 1/ Von der ganzen Torte (acht Achtel / 8/8) nehme ich sechs Achtel (6/8) weg. 8 falsch! 1/ 8 8 Nimm das ‚AB zu Folie 3‘ Schreibe deine Meinung zuerst auf das Arbeitsblatt! KLICK!. . . dann siehst du die zutreffende Fehlerbeschreibung 8 8 8 Das übrig bleibende Tortenstück kann nur zwei Achtel (2/8) des Ganzen ausmachen. Die falscherweise restlichen drei Achtelstücke waren sichtbar deutlich zu klein. Hast du gleich gemerkt, dass es anfangs insgesamt neun ‚Achtelstücke‘ waren? 1 ≠ 9/8 richtig 2 3

Schätze! Erledige alle Arbeitsaufträge auf dem AB zu Folie 4! Wir haben lange Stöcke. gekürzt: Nicht immerfünf ist gleich es ganz einfach, den. Vier Wertwerden von Brüchen 1 7 5 ① aufeinzuordnen. /2, ② auf. Vor allem, /12, ③wenn auf , ④ auf 2/3 richtig der/8 Wert vieler der bisherigen Länge. Wie lang sind Bruchzahlen verglichen werden soll. sie dann wohl? ① ? ? ② ? ? ? ③ Liz ? ? ? ④ ⑤ ganzer Stock Gehe zum ‚AB zu Folie 4‘! Zwei Stöcke sind eindeutig erkennbar zuzuordnen. Schätze! Markiere den jeweiligen Bruchteil aufbringt dem Stock! Das Schätzen höchstens 2 klare Ergebnisse: Der größte Stock die‚AB Nummer ⑤ Gehe ist zum zu Folie 4‘ Kathi. Der kleinste. Rechne Stock istnoch die Nummer ① Liz, nicht! da alle anderen etwas sind als. Kindes der halbe Stock. Notiere zumgrößer Namen des entsprechend der Größe die Stocknummer! Denn: 7/12 und 5/8 sind mehr als die Hälfte. Wennsind du die fertig KLICK ! Nr. bist: 2, 4 (6/12 Weshalb und 4/8 wären genau die 3, Hälfte). als Begründung die Hälfte? nicht so leicht. Aber unsere Bei 2 größer /3 fällt die Erfahrung sagt auch, dass 2/3 mehr sind als die Hälfte. Alltag: Denke an ein 2/3 gefülltes Wasserglas. 2 Training: Schwerer: 1 Paul 4 Ben 3 Kathi Lea 5 2 Bei den Stöcken ②③④ hilft nur das (zeichnerische) Unterteilen. Stock ② : Wir unterteilen in 12 Teile und nehmen 7 davon. Stock ③: Wir unterteilen in 8 Teile und nehmen 5 davon. Stock ④: Wir unterteilen in 3 Teile und nehmen 2 davon. Ordne jetzt die Stöcke endgültig Verfahre entsprechend mit zu! Bei welchen Stöcken 3 hast den Stöcken unddu 4! die Kürzung AB falsch eingeschätzt? Kontrolle? KLICK! Denke im Alltag daran: Je mehr du deine Vorstellung von Bruchteilen schulst und je öfter du das Schätzen trainierst, desto besser werden die Ergebnisse! Nimm einen Stab beliebiger Länge. Schätze die Hälfte (ein Viertel)! Markiere mit einer Kreide! Miss nach! Nimm 2 gleiche Gläser! Fülle eines beliebig mit Wasser! Schütte 1/3 davon ins andere Glas! Vergleiche! 4

Training Das kg. V und Erweitern Gleichnamig machen und ordnen: Ordne durch Schätzen die Zahlen Die Aufgabenstellung von der vorigen Folie 1/ , eigentliche 7/ , 5/8 , 2/3 und 1 der Größe nach! 2 12 ➙‘AB zu Folie 5‘ könnte man mathematisch kurz so formulieren: . . . dann zurück zur Kontrolle Wenn man Papier und Schreibzeug zur Hand hat, dann Das Schätzen gestaltet sich ganz schön schwierig und. . . KLICK geht das schnell, indem man einen gemeinsamen nimmt Zeit in Anspruch. Bildliche Nenner (das kg. V) sucht und die Brüche durch Erweitern Darstellung: gleichnamig macht. Den gemeinsamen Nenner haben wir bei kleinen Zahlen gefunden, indem wir das Produkt aller Nenner gebildet Nimm ‚AB zu Folie 5‘! Suche das kg. V als haben. Hauptnenner mit Hilfe der kg. V als Hauptnenner: Primfaktoren-Zerlegung! Bei mehreren Bruchzahlen wenden wir ein 12 = 3 • 4 2 • 2 Kontrolliere schriftliches Verfahren an, in dessen Verlauf wirerst die dann deine 8 = in sog. 2 • Primfaktoren 42 • 2 Lösung!Auf diese KLICK Teil-Nenner zerlegen. Weise 2 erhalten wir = 2 das kg. V HN = 3 • 2 • 2 = 24 Ein Versuch durch Kopfrechnen: Wir nehmen den größten Teil-Nenner und untersuchen, Einer. Austesten lohnt sich: ob der Hauptnenner sein kann. Ist es schon die 12? 2 Manchmal die restlichen Teil-Nenner Nein: Die 8 istsind kein Teiler von 12. Dann verdoppeln wir • immal größten oder eben die 12. Teil-Nenner Kann 24 der HN sein? • in einem Vielfachen Glück: Die dreiseiner anderen Teil-Nenner sind in 24 enthalten. Sonst hätten wir es mit dem Dreifachen von 12 versucht! Der Bruch ist hier immer Teil eines Ganzen. ganzer Stock 3 = 3 1 ① ② ③ ④ ⑤ 5

Addition von Bruchzahlen ≈1 Richtige Lösung: Erfahrung: 2/3 ist etwas größer als 1/2. . . hingegen: 2/5 ist etwas kleiner als 1/2. Also muss die Summe nahe bei 1 liegen. Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! oder: Hast du eine Idee, wie man das Ergebnis im Voraus schätzen könnte? Notiere deinen Schätzwert! Drei häufige Ergebnisse: 4 8 oder 4 15 oder 1 115 Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. Berechne die Aufgabe auf deinem ‚AB zu Folie 6‘! Die zwei anderen Ergebnisse wurden mit typischen Fehlern bei der Anwendung der Additionsregel erreicht. Kannst du nachvollziehen, wie das jeweilige falsche Ergebnis zustande gekommen ist? Arbeitsblatt! 2 Andere Schreibweise: Du kannst die Fünfzehntel auch auf einem langen Bruchstrich Gegen die Regel! zusammenfassen: Bruchzahlen gleichnamig machen! Dann die Zähler addieren! Die Nenner belassen! Vergleiche mit der richtigen Lösung! Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt.

Addition von Bruchzahlen (Fortsetzung) Richtige Lösung: Drei denkbare Ergebnisse: oder Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. 2. Fehler: Gegen die Regel! Berechne die Aufgabe! Dann KLICK! Die zwei anderen Ergebnisse wurden mit typischen Fehlern bei der Anwendung der Additionsregel erreicht. Kannst du nachvollziehen, wie das jeweilige falsche Ergebnis zustande gekommen ist? Wie kommt man dazu, zu multiplizieren? Es gibt keinen vernünftigen Grund dafür…. und dennoch geschieht dieser unüberlegte Rechenschritt sehr oft! Vergleiche mit der richtigen Lösung! 2 Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt. 7

Eine Aufgabe führt uns zum Nachdenken: Für spätere Zeiten: Du. Ein hastgeübter sicher bemerkt, dass Rechner die gemischten Zahlen zuerst in schätzt relativ schnell: unechte Brüche verwandelt … oder: ➙ ‚AB zu Folie 8‘ Wenn du fertig bist: Vergleiche Du hättest den Rechenweg auch anders notieren können. hier dein Ergebnis! Versuche, ihn nachzuvollziehen! KLICK! … und dann auf den gemeinsamen Nenner gebracht wurden. Zum Beispiel: Siehst du das • 15 auch? • 15 Zu Beginn fand offensichtlich ein Platztausch statt: Geht das so einfach? Häufige Fehlerquelle! Offensichtlich hat dies zu keinem Fehler geführt! Weshalb ist das alles so erwähnenswert? Wenn zwischen zwei Zahlen oder zwei Variablen (Platzhaltern) kein Rechenbefehl geschrieben ist, so heißt dies in der Mathematik in der Regel: „Multipliziere!“ Beispiel: Volumen Quader c a b Formelsammlung: V = a b c Gemeint ist: V = a • b • c Zur Erklärung müssen wir uns einmal eine gemischte Zahl genau anschauen: … bedeutet eigentlich: Die Rechenaufgabe musst du dir so geschrieben vorstellen: + + Weshalb dürfen wir die Plätze also vertauschen, ohne einen Fehler befürchten zu müssen? Die Schreibweise bei gemischten Bruchzahlen ist die Summanden sind vertauschbar. berühmte Ausnahme. Hier ist die Addition gemeint! … und diese Ausnahme von der Regel führt oft zu Rechenfehlern! 8 2

Subtraktion von Bruchzahlen Man kann auch anders vorgehen: Wichtig bleibt: Immer zuerst gleichnamig machen! Hast du eine Idee, wie man das Ergebnis im Voraus schätzen könnte? Notiere -5 dem ‚AB 18 deinen Schätzwert!auf zu Folie 5 9‘! 13 = 118 - 5 = 1 18 2 18 = 1 218 Ungefähre Werte ergeben: 18 18 ~ 6 - ~2, 5 - 1, 5 ≈ 2 auf den Das Ergebnis müsste eher etwas 1 Ganzes in 18/18 langen Bruchstrich! unter 2 liegen. Weshalb wohl? Weshalb darfst du so vorgehen? Berechne die Aufgabe Zuerst diejetzt gemischten Zahlen in Denke an die Abmachung bei gemischten auf dem AB! unechte Brüche verwandeln! Zahlen: ‚Spezialisten‘ kommen auf die Idee: Überprüfe dann hier, ob Manche du richtig gerechnet hast! • zuerst die ganzen Zahlen verrechnen und. . . KLICK! • dann die Bruchzahlen zusammenfassen. Wieder musst du dir ein Plus-Zeichen zwischen den ganzen Zahlen und den Bruchzahlen vorstellen! ( ) ( mer 2 ) ( (-)kla m Dieses ist der grundsolide Rechenweg! (-)klammer er mm kla (+) Oder auf dem langen Bruchstrich: ) Zur Erklärung geeignet. Aber: Ein zu gefährlicher Rechenweg! Siehe oben! Gleichnamige Bruchzahlen subtrahiert man, indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner belässt.

Multiplikation von Bruchzahlen (Bruchzahl mal Bruchzahl) Überlegungen: 4 10 Ergebnis? Überprüfe , ob du richtig gerechnet hast! KLICK! 3/ davon sind 3/ 4 10 oder: 0, 75 • 0, 4 = 0, 300 Vier denkbare Ergebnisse: Schätze das Ergebnis zunächst einmal ein! Notiere es auf dem ‚AB zu Folie 10‘! Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. Gegen die Regel! Berechne die Aufgabe ‚AB zu Folie 10‘!. . . dann hier Kontrolle! KLICK Fehlerbesprechung: Das Ergebnis 5/9 wurde mit einem typischen Fehler bei der Anwendung der Multiplikationsregel erreicht. Kannst du nachvollziehen, wie der Fehler entstanden ist? AB Auch bei den zwei anderen falschen Ergebnissen wurde ganz einfach die Regel nicht beachtet! 2 Wie kommt man dazu, zu addieren? Es gibt keinen vernünftigen Grund dafür…. und dennoch geschieht dieser unüberlegte Rechenschritt sehr oft! Zwei (oder mehrere) Bruchzahlen multipliziert man, indem man alle Zähler und dann alle Nenner mit einander multipliziert. Also: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner 10

Training zur Multiplikation (gemischte Bruchzahlen) Rechne auf deinem ‚AB zu Folie 11‘! 1. sicherer Rechenweg: Verwandle gemischten Zahlen Überprüfe, obdie du richtig zuerst inhast! unechte Brüche! gerechnet KLICK! Über einen häufig vorkommenden Fehler sollten wir sprechen. Suche die Ursache! h! lsc a F g e f ä h r l i c h e r ! So man rechnen: Dersollte eigentliche Fehler: Und dabei die zwei Summen jeweils in 2. Rechenweg: Du ziehst die beiden Zahlen 2 und 3 (in Klammer setzen! ( )( ) Wirklichkeit Summanden) nach vorne! Auf einmal sind das Faktoren. Das geht= schon gar nicht! … und führt zum 5 3 falschen 10 Ergebnis. 6 + + + lsch! = h! lsc 2 Fa 12 6 a F 20 + 18 +heißt 5 … Fehler durchschauen 6 + = Rechne den Fehler vermeiden! 12 begonnenen Weg weiter! 7 43 6+ 9 ➙ ‚AB zu Folie 11‘ = 12 12 Jetzt käme es dir z. B. auch nicht mehr in den Sinn, so zu kürzen: 2 Noch eine Übung: ➙ ‚AB zu Folie 11‘ Eine Hilfe: Wenn zwischen Zahlen oder zwei Variablen Aufzwei welche Ursache (Platzhaltern) führst kein Rechenbefehl du das falschegeschrieben ist, so heißt dies in der Mathematik in der Regel: Multipliziere! Ergebnis zurück? ➙ ‚AB zu Folie 11‘ Beispiel: Volumen Formelsammlung: V = abc c Quader Gemeint ist: V = a • b • c a b Die Schreibweise bei gemischten Bruchzahlen ist die berühmte (unrühmliche) Ausnahme. … und sie führt oft zu Rechenfehlern! … bedeutet eigentlich: Dies ist eine Vereinbarung, die man oft übersieht! Das führt dann unweigerlich zu Fehlern! Teile aus ch! s l Summen kürzt Fa h! Das geht nicht, denn lsc a F man nicht! Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! 11

… und wenn du mit einer ganzen Zahl multiplizieren sollst? Kannst du diesen häufigen Fehler erklären? ‚AB zu Folie 12‘ • 2 Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, Nenner belassen! Falsch Berechne jetzt die Aufgabe Kürzen! auf dem ‚AB zu Folie 12‘! • 2 Mit 2 erweitert! Wert ändert sich also nicht! Hättest du das selbst können? Beim Multiplizieren mitmerken 2 müsste sich der Wert verändern! Hat er aber nicht! Das kann nicht sein! : 2 Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! : 2 1/ 1/ 8 8 8 1/ 1/ 1/ 8 8 1/ 1/ Achtung: Typischer Fehler! 8 8 8 Kannst du die Lösung bildlich erklären? ➙ ‚AB zu Folie 12‘. . . und noch eine Aufgabe: 3 1 Rechne dem Erst jetzt darfst auf du kürzen. 66 ‚AB zu Folie 12‘! Dann KLICK! Gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch verwandeln! Siehe Folie 11! Wähle diesen Weg, dann. Rechenweg. vermeidest du Fehler! Das ist der sichere Formuliere selbst, weshalb das nicht geht! Dann KLICK! Die gemischte Zahl ist eigentlich eine Summe! Eine bekannte Fehlerursache! So müsste man korrekt schreiben: ( ) = 60 + 30 5 = 66 Kürze nicht aus Teilen einer Summe! Wenn schon: Dann hättest du die Klammer regelrecht ausmultiplizieren müssen! Einzelne Summanden aus einer Summe sind keine Partner beim Kürzen! Deshalb: Gemischte Zahlen immer zuerst in unechte Brüche verwandeln! 12

Division von Bruchzahlen (Bruchzahl durch Bruchzahl) = Schreibe den Doppelbruch gleich anders auf dein ‚AB zu Folie 13/14‘! Vier denkbare Ergebnisse: Welches ist dein Favorit? Berechne die Aufgabe auf dem ‚AB zu Folie 13/14‘! Überprüfe dein Ergebnis hier! KLICK! Gratulation, wenn du richtig gerechnet hast! Die drei anderen (falschen) Ergebnisse entstanden durch typische Fehler bei der Anwendung der Divisionsregel. ‚Arbeitsblatt zu Folie 13/14‘ Es geht immer wieder darum, die Regeln richtig einzuhalten! Kannst du nachvollziehen, wie die falschen Ergebnisse entstanden sind? Prüfe dann hier auf dem Bildschirm! 2 1. häufiger Fehler: Gegen die Regel! Du hast den Kehrbruch (Kehrwert) der ersten Bruchzahl gebildet! Vergleiche oben mit der richtigen Lösung! Lies die unten stehende Regel noch einmal genau durch! Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. 13

(Fortsetzung von Folie 13) Richtige Lösung: 2. oft gemachter Fehler: Gegen die Regel! Beim Lösen wurden die Zähler und die Nenner addiert! Absolut gegen die Regel! Vergleiche oben mit der richtigen Lösung! Lies die unten stehende Regel noch einmal genau durch! Richtige Lösung: 3. oft gemachter Fehler: Gegen die Regel! Beim Lösen wurde der Kehrwert der zweiten Bruchzahl nicht gebildet. Vergleiche oben mit der richtigen Lösung! Lies die unten stehende Regel noch einmal genau durch! Du darfst glauben, dass diese Fehler immer wieder passieren! 2 Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. 14

Vier Grundrechenarten … … vier Beispiele Nimm das ‚AB zu Folie 15/16‘! Löse zuerst die Aufgabe 1 ! Nach KLICK kommt hier die Lösung. Dann Aufgabe 2 ! KLICK … usw. Besser: Gibt es einen sichereren Verwandle die gemischten Lösungsweg? Zahlen in unechte Brüche! 1 Denke daran: Eigentlich sieht die Aufgabe so aus! - 2 11 = 10 -1 - 1 = 10 11 10 - 1 +10 Diese Aufgabe gilt in einer Mathe-Arbeit als schwer. . wegen der Vorzeichen- und Klammer-Fallen ! Ein zweiter Rechenweg ist auf Der Minuend ist kleiner. Grund der Minuszeichen hoch Es Derwird Wegalso über ein dasnegatives riskant! Ergebnis geben. Achtung! Verwandeln inmal unechte Versuche, ihn zu verstehen! ler! h e f hen gelöst eic Klammern rz Brüche ist der sichere. Es gibt zwei Rechenwege. Der erste ist der sicherste. ße Gro r: Vo h a f Ge Wähle diesen Rechenweg besser nicht! 2 Denke immer an die besondere Regelung mit dem Plus-Zeichen + ! 15

Löse zuerst beide Aufgaben 3 und 4 ! Nach KLICK siehst du hier die Lösung der beiden Aufgaben. Kürzen! 3 Gehe auch hier wieder den sicheren Weg und bilde unechte Brüche! Kürze erst, wenn du mit dem Kehrwert multipliziert hast! 4 2 (=0, 69444…) Hier musst du ohnehin unechte Brüche bilden, sonst kannst du nicht den Kehrwert (Kehrbruch) des Divisors bilden. 16

Denken und Vorstellungen führen zu Es. Rechenaufgabe(n): gibt zwei Lösungs-Gleichungen zu KLICK! dieser Aufgabe. Hast du eine davon? Bruchrechnen hat mit dem Alltag zu tun! Einfaches Beispiel: Klara und Felix packen ihre Satteltaschen für eine Fahrradtour. Die Mutter teilt einen ganzen Brotlaib für die Verpflegung. Klara bekommt die Hälfte. Felix erhält ein Drittel des Laibes. Wie groß ist der Rest-Anteil der Mutter? Die Mutter behält einen Rest für sich, denn 1/ 3 < 1 /2 ➙‘AB zu Folie 17‘ Kannst du kurz begründen, dass für Du. Mutter hast schon gerechnet. …… die überhaupt Prüfe dein Ergebnis? ein Anteil übrig bleibt? … KLICK! Oder: ➙‘AB zu Folie 17‘ In manchem Kopf ist beim Durchlesen sicher ein anderes Worauf kommt es bei deinen Vorstellungen auf jeden Fall an? -jedoch vergleichbares- Bild entstanden! Welche Frage wird jetzt interessant? Fertig? dann KLICK! Das Geschehen im Text der HN = 6 Sachaufgabe muss sich auf Wiezu heißt in 17‘ beiden Aufgaben der ➙‘AB Folie Die mathematischen Formen haben jeden Fall im Bild widerspiegeln! Hauptnenner (HN)? …… hierzu? KLICK! Wie heißt die Rechenaufgabe zum Ziel geführt. Zurück zur Sprache: (Versuche, die Aussagen im Text und die Frage Formuliere einen Antwortsatz! KLICK! 2 mit Antwortsatz: Hilfe der bildlichen Darstellung in eine Mathematik-Aufgabe zu übersetzen!) „Die Mutter behält 1/6 des Brotlaibes. “ Rechne! Bilder helfen zum besseren Verständnis! Das ‘ 4 -Stufen-Prinzip‘ Mit der Folie 7/8 des basic-modules >Erweitern, Kürzen. ppsx< hast du 1? (Ganzes) erstmals das ‘ 4 -Stufen-Prinzip‘ zum Lösen von Sachaufgaben kennen gelernt. 1/ 1/ ? 3 2 Du findest Anweisungen für diese Aufgabe unten auf dem Dies wäre eine Möglichkeit der Dabei sind die Brot-Anteile 1/ bildlichen Darstellung. ➙‘ 1. AB zu Folie 17‘. 17 wichtig, nicht die Personen! 2

Bruchrechnen hat mit dem Alltag zu tun! 1. Stufe: Kompletter Lösungsverlauf von Folie 17 Klara und Felix packen ihre Satteltaschen für eine Fahrradtour. Die Mutter teilt einen ganzen Brotlaib für die Verpflegung. Klara bekommt die Hälfte. Felix erhält ein Drittel des Laibes. Frage: Wie groß ist der Rest-Anteil der Mutter? für sich, denn 1/3 Die Mutter behält einen Rest Es gibt zwei Lösungs-Gleichungen zu dieser Aufgabe. Hast du eine davon? 1. Variante: 2. Variante: < 1 /2 Worauf kommt es bei deinen Vorstellungen auf jeden Fall an? Rechnung: Bilder helfen zum Klicke dich durch!HN = 6 besseren Verständnis! Alle 4 Stufen erscheinen Das Geschehen im Text der Sachaufgabe muss sich auf nacheinander , Teil jeden Fall im Bild widerspiegeln! r e ! ist d t raubt e f i u Dies wäre eine Möglichkeit der t e it! 2. S iste Z se Ze. . . oder: e bildlichen Darstellung. i D e me r die i i d d 2. Stufe: der. . . lass ? 1/ 2 2 2 3. Stufe: Die mathematischen Formen haben zum Ziel geführt. 4. Stufe: ? 1 /3 1/ noch 2. Stufe: Dabei sind die Brot-Anteile wichtig, nicht die Personen! Zurück zur Sprache: Antwortsatz: „Die Mutter behält 1/6 des Brotlaibes. “ 18

Neue Sachaufgabe: (Im Gegensatz zu vorher wird jetzt ganz nüchtern und sachlich formuliert. ) Durch zwei parallel verlaufende Schnitte werden an. Geometrie. einer Kugel Hier handelt es sich um eine nüchterne Thematik aus der zwei K 1 undsich K 2 einem abgetrennt. Das. Kappen Problem könnte Feinmechaniker stellen, der technische Anteil oberen Kappe K 1: acht Fünfzehntel des Kugelvolumens Teile der aus Eisen herstellt. Anteil der unteren Kappe K 2: sieben Zwanzigstel des Kugelvolumes Welcher Bruchteil des ganzen Kugelvolumens bleibt für die dadurch entstehende Scheibe? 8/ K 1 15 x ? 2 ➙‘AB zu Folie 19‘! 7/ Übertrage die Informationen, die der Text liefert, auf die K 2 20 Gedankliche Erarbeitung einer Lösungsformel: Zeichnung! Das Volumen der Scheibe ergibt sich, ich vom ➙‘AB zu wenn Folie 19‘! VScheibe = ? Volumen der ganzen Kugel das Volumen Kappe 1 und Erkennst du der gedanklich das Volumen der Kappe 2 subtrahiere. Zusammenhänge, die zu einer Lösung führen könnten? ➙‘AB zu Folie 19‘!. . . dann hier KLICK! VS = VStelle - VArt - VK 2 Kugel eine K 1 Rechen-Rezept (eine Formel) für die das ➙‘AB zu Folie 19‘! Berechnung des Volumens VS der Scheibe auf! Ganze: Kannst du diese Gedanken in eine Ohne eine bildliche Rechne noch nicht! formelartige Schreibweise übersetzen? Darstellung des VS = Im Verlauf der vorigen Aufgabe wurdest du darauf hingewiesen, . . . dann Sachverhaltes hier KLICK! wie wichtig dieser Schritt (2. Stufe) immer ist! gelingt die gedankliche Erarbeitung Rechne jetzt! Wenn fertig, dann KLICK! 7 60 7 8 des Lösungsweges Probe: = + + = 1 20 oftmals überhaupt nicht! 60 60 15 Für die Scheibe bleiben genau 7/60 des gesamten Kugelvolumens übrig. Übe das Zeichnen bei Rahme jetzt auf deinem ‚AB zu Folie 19‘ einfacheren Bildern die vier Schritte nach dem ‚ 4 -Stufenfrühzeitig! 19 Prinzip‘ verschiedenfarbig ein!

4 -Stufen-Prinzip zu ‚Neue Sachaufgabe‘ (Folie 19) KLICK!. . . und das ‘ 4 -Stufen-Prinzip‘ wird nach und nach sichtbar gemacht. Stufe 1 Durch zwei parallel verlaufende Schnitte werden an. Geometrie. einer Kugel Hier handelt es sich um eine nüchterne Thematik aus der zwei K 1 undsich K 2 einem abgetrennt. Das. Kappen Problem könnte Feinmechaniker stellen, der technische Anteil oberen Kappe K 1: acht Fünfzehntel des Kugelvolumens Teile der aus Eisen herstellt. Anteil der unteren Kappe K 2: sieben Zwanzigstel des Kugelvolumes Welcher Bruchteil des ganzen Kugelvolumens bleibt für die dadurch entstehende Scheibe? Sich ein Bild machen: 8/ K 1 15 xx Stufe 2 ? Gedankliche Erarbeitung einer Lösungsformel: Das Volumen der Scheibe ergibt sich, wenn ich vom Volumen der ganzen Kugel das Volumen der Kappe 1 und das Volumen der Kappe 2 subtrahiere. VS = VKugel - VK 1 - VK 2 Stufe 3 VS = das Ganze: 7 60 7 8 = + + 20 60 = 60 60 15 Für die Scheibe bleiben genau 7/60 des Kugelvolumens VS übrig. Stufe 4 2 Probe: Das ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘ wird dir noch oft helfen, Sachaufgaben (oder Textaufgaben) zu erschließen. Du wirst immer wieder Beispiele erleben!. . . es wird dir immer leichter fallen, diese Hilfe zu nutzen! K 2 7/ 20 VScheibe = ? Ohne eine bildliche Darstellung des Sachverhaltes gelingt die gedankliche Erarbeitung des Lösungsweges oftmals überhaupt nicht! Übe das Zeichnen bei einfacheren Bildern frühzeitig! 20

Kritisch nachdenken! (1) In vielen Köpfen sitzt fest: „Beim Multiplizieren wird das Ergebnis größer als der Ausgangswert. “ Kann es sein, dass wir diesen aus der Grundschulzeit stammenden ersten Eindruck nicht mehr in Frage gestellt haben? Stimmt das denn immer? F 2 > 1 F 2 < 1 2 11 • 5 • 7 • 3 = 21 4 • 2, 1 = 8, 4 25 • F 2 1= 1 = 25 10 • 0 = 0 35 • 0, 3 ≈ 11, 67 9 • 2/ 3 = 6 21 • 3/ 7 = 9 F 1 5, 25 (Produktwert) = Ergebnis • Faktor 2 (Ausgangswert) Faktor 1 Multiplikation F 2 = 57, 75 E 4 2/5 22 Erfahrung aus der Grundschule: Ist der Faktor 2 (F 2) größer als 1, dann ist das Ergebnis größer als der Ausgangswert (Faktor 1 bzw. F 1). Weshalb werden beim Multiplizieren mit echten Brüchen die Ergebnisse wider Erwarten immer kleiner als die Ausgangswerte? Jede Bruchzahl beinhaltet zwei Rechenbefehle. 2 3 Diese neue Erfahrung konnten wir erst machen, seit wir mit echten Brüchen rechnen. Geteilt-Operator 3 … kannst du dir auch so geschrieben denken: Ergebnis unverändert Ist der Faktor 2 (F 2) kleiner als 1, dann ist das Ergebnis kleiner als der Ausgangswert (Faktor 1 bzw. F 1). : 3 Beispiel: anwachsen schrumpfen Mal-Operator 2 • 2 oder (Vertauschungs 3 • 5 : 7 Dazu die Erklärung: -gesetz !) 3 : 7 • 5 Da bei echten Bruchzahlen der Geteilt-Operator immer mächtiger sein muss als der Mal. Operator, wird der Wert des (zu multiplizierenden) Faktor 1 (also der Maloperator auch immer kleiner als der Geteilt-Operator) auch schrumpfen. Ausgangswert schrumpfen Ergebnis 21

Kritisch nachdenken! (2) Divisor > 1 Divisor < 1 2 (Quotientwert) Ergebnis Divisor (Ausgangswert) Dividend In vielen Köpfen sitzt fest: „Beim Dividieren ist das Ergebnis kleiner als der Ausgangswert. “ Stimmt das immer? Kann es sein, dass wir diesen aus der Grundschulzeit stammenden ersten Eindruck nicht mehr in Frage gestellt haben? Weshalb werden die Ergebnisse immer größer als die Ausgangswerte, wenn der Divisor Division kleiner als 1 ist (echter Bruch!)? Erfahrung aus der Bruchzahlen sind immer dann kleiner als 1, : = wenn der Wert des Zählers ( • - Operator) Grundschule: kleiner ist als der des Nenners (: -Operator). Ist der Divisor 9 7/12 : 3 5/6 = 2 1/2 größer als 1, dann Dezimalzahlen sind auch Bruchzahlen mit dem Die Regel für das Dividieren durch ist das Ergebnis Nenner 10, 1000, … (z. B. : mit 0, 3 dem = 3/10) Bruchzahlen sagt: „Multipliziere 6 : 1 2/ = 4 2/ 5 7 3, 99 : 2, 1 = 1, 9 8 : 4 = 2 25 Divisor : 1 = =1 25 10 : 0, 1 = 100 35 : 0, 3 ≈ 116, 7 21 : 3/ 6/ : 7 3/ 7 4 = 49 = 1 1/7 kleiner als der Ausgangswert (Dividend). schrumpfen Kehrwert (Kehrbruch)! Rollentausch: Dazu die Erklärung: Ergebnis unverändert anwachsen Ist der Divisor kleiner als 1, dann ist das Ergebnis größer als der Ausgangswert (Dividend). Diese neue Erfahrung konnten wir erst machen, seit wir mit echten Brüchen rechnen. Aus dem 5 -Operator wird ein : 5 -Operator, aus dem : 6 -Operator wird ein 6 -Operator. 0, 75 : 0, 83 anwachsen = 0, 9 Weil jetzt der Mal-Operator mächtiger ist als der Geteilt-Operator. (Siehe Rollentausch!) 22

Fachbegriffe einprägen! … damit du die Fachsprache überhaupt verstehen kannst. Addition Subtraktion Summe Differenz + - 1. Summand + 2. Summand Subtrahend - Minuend = Summenwert (hier 61/10) = Differenzwert (hier -11/10) Produkt Division Produkt Quotient • : 1. Faktor Multiplikator • 2. Faktor Dividend Lösungen zu den vier Beispielen findest du ab Folie 34. : Divisor Multiplikant = Produktwert (hier 9) = Quotientwert (hier ~ 5/7) Operator: Dieses Fremdwort bedeutet in der Mathematik soviel wie: ‚Mathematische Vorschrift‘ (Auftrag, Befehl). Im Rahmen des Bruchrechnens haben wir es oft zu tun mit dem 2 Mal-Operator z. B. : ( • 3) oder dem Geteilt-Operator z. B. : (: 5) 23

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen eu N Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen eines Balles im Text mit der bildlichen öffnest du deine Hände und Darstellung! beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel ndurch Hinweise e n und häufiges tio Üben im a m Training des Handballvereins. r fo n I e lt we erricht m U nt. U z. B Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen 2 hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 24