mastermodule Gernot Mhlbacher mit uns knnen Sie rechnen

master-module Gernot Mühlbacher . . . mit uns können Sie rechnen! * Höhensatz * Kathedensatz . . . eng verknüpft mit den Lehrwerken: ‚Satz des Thales‘ ‚Satz des Pythagoras‘ . . . des Euklid Das Lernsoftware-Paket zu diesem Thema kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/downloads/ Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? 16 Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. © 2018 Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 0

1 STICHWORTVERZEICHNIS führt immer zum 16 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 . . . zum Suchen Lernen ist mehr als Verstehen Folie Nr. : Ähnliche Dreiecke 7 -9 Euklid (Leben) 2 Größenverhältnisse 7 Höhensatz (Beweise) Höhensatz (Berechnungen) Hypotenusen. Abschnitte Kathetensatz (Beweise) Kathetensatz (Berechnungen) Pythagoras (Satzgruppe des. . . ) Pythagoras-Beweis (Satz des. . . ) Streckenverhältnisse 20 21 22 Folie Nr. : 23 Verhältnisse (Rechnen mit. . . ) 7 Vier-Stufen-Prinzip 15 ? Folie Nr. : 3, 9 4, 11 -14 3 5 -8 10 -14 . . . mit uns können Sie rechnen! 2 9 7 24 25 26 27 28 29 30 Folien-Nr. anklicken! 1

Darstellung Euklids, Oxford University Museum Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria (Nordafrika) gelebt hat. In seinem Werk ‚Elemente‘ überblickte er das Wissen der griechischen Mathematik und der antiken Vorläufer. Damit verdanken wir ihm auch die Überlieferung des Wissens der vor ihm lebenden • Thales von Milet (um 600 v. Chr. ) und • Pythagoras von Samos (etwa 570 bis 510 v. Chr. ) Der Höhensatz und der Kathetensatz des Euklid wurden also nach diesem jüngsten der drei großen Griechen benannt. Es ist allerdings ungeklärt, ob sie von Euklid stammen. Sie bilden mit dem eigentlichen Satz des Pythagoras zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Euklid‘s Ruf gründet vor allem auf der geordneten Darstellung der damaligen mathematischen Erkenntnisse und auf dem strengen Vorgehen bei der Beweisführung in der Mathematik. Bild 1 1 Bildnachweis Wir wenden uns nun dem Höhensatz und dem Kathetensatz des Euklid zu. 2

. C WAS SAGT DER HÖHENSATZ AUS? In diesem rechtwinkligen Dreieck ABC wird eine Höhe h eingezeichnet (auf der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite). Sie soll vom Fußpunkt F durch den Scheitelpunkt des rechten Winkels (hier C) verlaufen. h 2 a b h . q A F p c B oder p • q Höhensatz: Der Flächeninhalt Quadrates mit der Nimm das ‚ABdes zu Folie 3‘! Seitenlänge h (Höhe des aus rechtw. Beantworte mit Hilfe dem. Dreieckes Internet die über der Hypotenuse) ist gleich groß Frage: Welche Aussage (in Worten) wird mit Flächeninhalt dem Höhensatz formuliert? wie der des Rechteckes mit den Seitenlängen p und q. Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Formel zum Höhensatz: • p h 2 == qq • p Auf dieser Formel beruht auch die oft gebrauchte kürzere Formulierung des Höhensatzes: Das Quadrat der Höhe h ist 3‘! gleich dem Nimm das ‚AB zu Folie Produkt der du Abschnitte p und q. Kannst diese Aussage auch als Formel niederschreiben? Aus der rein algebraischen Formulierung Fertig, dannist zurück Kontrolle!. . . KLICK! (Rechenrezept!) die zur geometrische Herkunft nicht mehr abzulesen. Vergiss diese nicht! 1 Für pden allgemeinen Beweis gilt: 1. �� ABC: a 2 + b 2 = c 2 2. �� AFC: b 2 = h 2 + q 2 3. �� FBC: a 2 = hh 22++pp 22 4. p + q = c |2 (p(p++q)q)2 2 = c 2 In 1. setzen wir 2. , 3. und 4. ein: a 2 + b 2 = c 2 2 1. binomische ( Nimm a 2 das ) + ‚AB ( bzu ) = 3‘! c 2 Folie Formel Suche im rechtwinkligen Dreieck ABC zwei h 2 + p 2 rechtwinklige + h 2 + q 2 Dreiecke! = p 2 + 2 • q • p + q 2 |-p 2 |-q 2 weitere Wende jeweils den Satz des Pythagoras darauf an! 2 h 2 = 2 q • p | : 2 Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Vollende jetzt auf deinem ‚AB zu Folie 3‘ den Beweis aus dem Gedächtnis! 3 Beweis. . . erbracht! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! KLICK!

O O . ho . M hn v x y . . Flexibilität mit Variablen Höhensatz z N ho 2 = x • y N M hn 2 = v • z Nimm das ‚AB zu Folie 4‘! Z S d s . . . Kontrolliere zunächst nach jeder Aufgabe (Bildschirm). . . bis du sicher bist! Fertig? . . . zurück zum Bildschirm! hq hy c Q hd 2 = v • w 1 o . u k K hm . . D C . hu . hd U . v i . F n X hy 2 = r • s T W w V hu 2 = i • k Y r R hq 2 = c • d E . Wende die vorgegebenen Variablen für die Bezeichnung der Höhen an und stelle die Höhensatz-Formeln für die jeweiligen Dreiecke der Reihe nach auf! M hm 2 = u • n . ha A p I ha 2 = o • p 4

DER KATHETENSATZ Experiment und Vermutung Der Kathetensatz setzt wiederum ein rechtwinkliges Dreieck voraus. Auch hier teilt der Fußpunkt F der Höhe h die Hypotenuse (hier c) in die zwei Teilstrecken q und p. c = 6, 5 cm AQ = b 2 AQ = 12, 96 cm 2 q= 2 cm b Variante 1 Diese Werte müssen mit denen auf dem Arbeitsblatt nicht übereinstimmen. b = 3, 6 cm Variante 2 AQ = a 2 AQ = 25 cm 2 a p AR = c • p AR = 25, 2 cm 2 q c Diese Werte müssen mit denen auf dem Arbeitsblatt nicht übereinstimmen. a= 5 c= 6 cm cm p = 4, 2 cm AR = c • q AR = 13 cm 2 Die beiden rechtwinkligen Dreiecke Variante 1: Nimm das ‚AB zu. ABC Foliesind 5‘! nicht deckungsgleich (kongruent). Vergleiche die. Kathete Maße! Sieh dir die Quadratfläche über der und die Rechteckfläche unterhalb der Es sindbnicht ganz verschieden ausfallenden Seite cbei genau Miss jeweils Längenmaße den an! Quadraten oder die Rechtecken, und berechne diekönnen: Flächen! die uns. Seitenlängen zu einer Vermutung verleiten Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Was fällt dir auf? 1 Beschreibe auf deinem AB, was dir an den Varianten 1 und 2 auffällt! Zurück? Forsche dann einmal im Internet Variante 2: Nimm das ‚AB zu Folie 5‘! nach, welche Aussagen du zum Stichwort Sieh dir die Quadratfläche über der Kathete ‚Kathetensatz‘ erfahren kannst! b und die Rechteckfläche unterhalb der Fertig, dann. . . KLICK! Seite c genau an! Miss jeweils die Seitenlängen berechne die Flächen! Jetzt wollen wirund genau formulieren und die Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Vermutung(en) beweisen. 5

Variante 1 und Variante 2 in einem Bild ⇓ verkleinerte Bilder AQ = a 2 b AQ = b 2 a Bearbeite (wenn‘s geht) in einem Zug das Beide Varianten führen zu der gleichen ganze ‚AB zu Folie 6‘! Vermutung, dem sog. Kathetensatz: c Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! In einem rechtwinkligen Dreieck ist > das Quadrat über einer Kathete genau so groß wie > das Rechteck, das so lang ist wie die Hypotenuse und so breit wie der anliegende Hypotenusenabschnitt. Den Sinn des Lehrsatzes musst du verstehen und bei Bedarf bereit haben!. . . nicht Formeln ohne Verstand dahersagen. Stelle dich darauf ein, dass die Flächen, Winkel oder die Längen oft mit anderen Variablen beschrieben werden. Zeichnungen oder Formeln musst du dann immer wieder auf die jeweils aktuell verwendeten Variablen anpassen. 1 RI RII Wir drehen das Rechteck von Variante 2 um 90°. . dann drehen wir das Rechteck von Variante 1 ARI = um 90°. c • q c ARII = c • p Wenn unsere Vermutung stimmt, dann gilt: b 2 = c • q a 2 = c • p Das wären dann die Formeln zum Kathetensatz. Aber: Noch fehlt der Beweis! 6

Zum Verständnis der anstehenden Beweisführung 2. Größen in ein Verhältnis setzen: �� �� 1 2 �� �� 1 = 180° - 90° - �� = �� �� 2 = 180° - 90° - �� = �� �� Aber wir können sagen, dass die Höhen sich wie 4 zu 3 verhalten. C Meist nutzen wir die Bruch-Schreibweise: . 1. Teildreieck a F c h. T 2 44 m = 1, 3 3 m = Verhältniszahl Definition: Verhältniszahl Quotient zweier Maßzahlen �� �� 3 Wir schreiben als Verhältnisgleichung: h. T 1 : h. T 2 = 4 : 3 h. T 1 b 4 h. T 2 Wir sprechen: „h. T 1 verhält sich zu h. T 2 wie 4 zu 3. “ Unser eingangs benutztes rechtwinkliges Dreieck ABC kann man so aufteilen, dass drei rechtwinklige Dreiecke zu sehen sind: A h. T 1 Wir wissen nicht, wie hoch die Türme T 1 und T 2 sind. B (Dezimalzahl oder Bruchzahl) . wichtigen zum Eigentlich Merke haben dir wirdie zwei Größen Hinweise ins Verhältnis Thema ‚Größenverhältnisse‘! gesetzt. Weshalb sind nur noch die Maßzahlen Gehe am Ende der Folie zum Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! zu sehen? �� �� ‘AB zu Folie 7‘! Fasse dort die Aussagen C B. . . gekürzt! Wo sind die Maßeinheiten geblieben? a Gehe noch jetzt zum ‘ABzusammen! zu Folie 7‘! Fasse jetzt einmal F die Aussagen noch einmal zusammen! 3. Teildreieck Fertig, dann zur Kontrolle! h q Weiteres Beispiel (linkszurück / 1. Teildreieck) : . . . KLICK! Wenn wir die letzten 2 Dreiecke Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! �� �� Wir setzen die beiden Katheten ins Verhältnis drehen, dann werden wir sehen, dass A C b Nimm das ‚AB p zu Folie 7‘! 2. Teildreieck h Beschrifte die drei Teildreiecke! . a es sich um ähnliche Dreiecke (mit a : b = gleichenin. Winkeln ��, �� und ��=90°) 1. Ähnliche. Dreiecke: stimmen drei Winkeln ��, �� handelt. b und �� (hier: 90°) überein! Vergleiche! 1 = 5, 3 cm 3, 5 cm ≈ 1, 5 Die Maßeinheiten (gekürzt) schreiben wir nicht mehr. 7

Der BEWEIS des KATHETENSATZES 2. Teildreieck F . q A b 1. Teildreieck: c b = 6, 4 3, 5 C �� a 3. Teildreieck: b q ≈ 1, 8 = 3, 5 1, 9 ≈ 1, 8 Nicht die Größen sind gleichwertig, aber die Verhältniszahlen (die Werte der Brüche) entsprechender Größenpaare sind offensichtlich gleich. Den Beweis dafür könnte man gut mit dem Strahlensatz zeigen. Wir rechnen jetzt mit allgemeinen Zahlen (Variablen) weiter, um die Allgemeingültigkeit zu zeigen. 1. Beweis durch Gleichsetzen: c b Kathetensatz ⇔ b 2 = c • q Formel (Variante 1). . . über Kreuz multiplizieren! Schau dir jetzt die Beweisführung genau an! Du sollst diese aus dem Gedächtnis auf dem 1. Teildreieck: 2. Teildreieck: wenn der ‚AB zu Folie 8‘ nachvollziehen, 5, 3 c = 6, 4 Beweis erbracht ist. a ≈ 1, 2 = p 5, 3 a 4, 5 = ⇔ . . . über Kreuz multiplizieren! 1 a 2 = c • p B �� �� Anregung: In dieser Figur könnte der Strahlensatz zum Beweis der Verhältnisgleichheit entsprechen. Strecken dienen. 3 2 1 Wir haben den Kathetensatz mit Hilfe der Streckenverhältnisse in ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken bewiesen. Ohne Aufwand lässt sich jetzt nachfolgend auch der Satz des Pythagoras beweisen. . den hatten wir völlig anders bewiesen. (Siehe im Lehrwerk ‚Satz des Pythagoras‘ !) Mit den ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken können wir auch die allgemeine Gültigkeit des Höhensatzes nachweisen. (. . . ein anderer Weg als beim Beweis hier auf Folie 3) 2. Beweis durch Gleichsetzen: c a �� �� p h h �� �� F . 3. Teildreieck 1. Teildreieck Kathetensatz Formel (Variante 2) Geh jetzt zum ‚AB zu Folie 8‘! Beweis(e) erbracht! Wenn es dich interessiert: Folie 9 Wenn es dich nicht interessiert: Weiter Folie 10 8

. . . vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras Höhensatz Es gibt zahlreiche Wege des Beweises für den Höhensatz. Jetzt lernst du einen zweiten kennen. a 2 Die entsprechenden Streckenverhältnisse werden aus dem 2. und 3. Teildreieck ( Folie 7) entnommen. b 2 entsprechende Strecken im Schau c 2 =dir. Agenau +die Zeichnungen ARII RI auf Folie 3 an (bzw. das verkleinerte c • q + c • p c 2 =oben)! Abbild Der Beweisverlauf springt regelrecht Anwendung Kathetensatz (Folie 7): ins Auge. Geh + zum ‚AB zu Folie 9‘! c 2 = Wir haben den Höhensatz auf Folie 3 mit a 2 + b 2 = c 2 Hilfe des Satzes des Pythagoras bewiesen. Logisch: Dann können wir den Höhensatz Preisfrage: jetzt nicht verwenden, Weshalb hätten um wir den nicht. Satz den des Pythagoras zu beweisen. Da beißt sich der Höhensatz zum Beweis des Satzes Hund in den Schwanz! verwenden dürfen? des Pythagoras 1 Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! 2. Teildreieck: h p = 2, 9 4, 5 3. Teildreieck: ≈ 0, 6 q h = 1, 9 2, 9 ≈ 0, 6 Wie erwartet stimmen die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten überein. Allgemeiner. Beweis durch Gleichsetzen: h p = ⇔ . . . über Kreuz multiplizieren! h 2 = q • p Formel des Höhensatzes 9

n . Flexibilität mit Variablen Kathetensatz m O m v . M x o y o 2 s 2 = q • c z 2 = y • r . K t k . u T C o . m V X x 2 = y • s n M Y z = q • d i . . = d • v f 2 = d • w 1 r 2 k R s . D e 2 w . f r Q u y c . . e U q W v x s . r Kontrolliere zunächst nach jeder Aufgabe (Bildschirm). . . bis du sicher bist! Fertig? . . . zurück zum Bildschirm! E d . Wende die vorgegebenen Eckpunkte für die Bezeichnung der Strecken an und stelle die 2 Kathetensatz-Formeln für die jeweiligen Dreiecke der Reihe nach auf! F = n • z Z S v M m 2 = n • v Nimm das ‚AB zu Folie 10‘! w o z N n 2 = o • x m 2 = o • y d . n N . O i . A a p ha c v 2 = u • i t 2 = m • u i 2 = a • o w 2 = u • k k 2 = m • n c 2 = a • p I 10

ANWENDUNG des Höhen- und/oder Kathetensatzes Rechtwinkliges Dreieck MNO: Die Hypotenuse o misst 6, 5 cm. Die Hypotenusenabschnitte messen q = 4, 8 cm und p = 1, 7 cm. Berechne die Höhe ho und die Länge der Katheten! Überlegungsfigur: M O o m „ D N d hf q p „ „ e ho „q F Überlegungsfigur: f „ n Rechtwinkliges Dreieck DEF: Hypotenuse f = 5, 3 cm Kathete d = 4, 5 cm Kathete e = 2, 8 cm Berechne die Höhe h. F und die Hypotenusenabschnitte q und p! p „ E Berechnung: e 2 = f • q Berechnung: ho 2 = p • q ho 2 = 1, 7 cm • 4, 8 cm Nimm das zu 2 | √ Folie 11‘! ho 2 jetzt ≈ 8, 2 cm‚AB ho ≈ 2, 9 cm Führe die Berechnungen aus! d 2 = f • p 2, 82 = 5, 3 • q | : 5, 3 4, 52 = 5, 3 • p | : 5, 3 4, 52 = p 2, 82 = q 5, 3 p ≈ 3, 8 cm q ≈ 1, 5 cm Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! m 2 = o • p m 2 = 6, 5 cm • 1, 7 cm m 2 = 11, 1 cm 2 m ≈ 3, 3 cm 1 |√ n 2 = o • q n 2 = 6, 5 • 4, 8 n 2 = 31, 2 cm 2 | √ n ≈ 5, 6 cm hf 2 = p • q hf 2 = 3, 8 • 1, 5 hf 2 ≈ 5, 7 cm 2 hf ≈ 2, 4 cm |√ 11

SACHAUFGABEN(1) 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ In welcher Höhe h. T über der Brücke sind die Seile befestigt? Wie lang sind die Seile s 1 und s 2? C Überlegungsfigur: . Eine Brücke ist an einem Tragemast mit Drahtseilen aufgehängt. Zwei Seile bilden an der Spitze einen rechten Winkel. Das Seil s 1 ist 33 m vom Fuß des Mastes entfernt auf dem Brückenboden befestigt, das Seil s 2 endet 76 m entfernt an der entgegengesetzten Seite am Brückenboden. geg: p = 76 m s 2 s 1 q = 33 Nimm m jetzt das ‚AB zu Folie 12‘!h �� =Führe 90° die Aufgabe aus! 4 p gefr: Verfahre bei der Lösungqnach dem sog. s 1, s 2, -Stufen-Prinzip! h F A c B Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! Lösungsweg: c h (Höhensatz) s 1 / s 2 (Kathetensatz) 1. Stufe: „Sich ein Bild machen. “ 3. Stufe: „Rechnen bis zum Ergebnis“ Bei allen folgenden Sachaufgaben hilft zum Für den Fall, dass du keine Vorstellung hast: c = p + q = 76 m + 33 m = 109 m Finden und Durchführen des Lösungsweges 2 = p • q s 12 = c • p h ein Ausdruck der entwickelten s 22 Folie = c • q Bringst du diese 2 2 Vorstellung in h 2 = 76 m • 33 m saus 109 m • : 76 m s 1 = 109 m • 33 m 2 =der “Das 4 -Stufen-Prinzip“ Datei Übereinstimmung h 2 = 2508 m 2 | √ s 22 = 8284 m 2 | √ s 12 = 3597 m 2 | √ mit dem >HUK-Satz Übungen EF. pdf<. s 1 = 59, 97 m Aufgabentext? = 91, 02 m h ≈ 50, 08 m Außerdem findest du diesess 2 Thema auch in diesem Lehrwerk als Folie 15. ? 4. Stufe: „Probe“ c 2 = s 12 bitte + s 22 gleich einen„Antwortsatz“ Fertige Ausdruck! Für die Seiten des rechtw. Dreiecks ABC muss der Satz des Pythagoras gelten. 1 Der Tragemast ist 50, 08 m hoch. 11881, 04 = 11881, 04 Das kurze Seil misst 59, 97 m, das lange 91, 02 m. Der Rechenweg und die Berechnung waren richtig. 1092 = 59, 972 + 91, 022 12

2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Überlegungsfigur: w. D Diagonalweg Von den Eckpunkten A und C ausgehend trifft je ein 62, 61 m langer Zugangsweg w. Z im Punkt F 1 bzw. F 2 senkrecht auf den Diagonalweg und endet dort. Wie lang sind die befestigten Wegstrecken lges insgesamt? w. Z Zugangsweg geg: w. Z = 62, 61 m p = 56 m �� = 90° D gefr: lges = ? m lges gesamter Weg C . SACHAUFGABEN(2) b a w. Z q F 1 p w. D F 2 B Lösungsweg: w. Z von vorgehen! Vomunten Endeher (Ziel) a her gedacht: 3 lges = w. D + 2 • w. Z A 2 ↑ w. D = p + q 1 q mit ↑Höhensatz 1. Stufe: „Sich ein Bild machen. “ 3. Stufe: „Rechnen bis zum Ergebnis“ Vergleiche das Bilddu mitkeine dem. Vorstellung Text! Für den Fall, dass hast: 3 1 Nimm jetzt das ‚AB zu Folie 13‘! w. Z 2 = p • Führe q lges = w. D + 2 • w. Z die Aufgabe aus! : 56 der 2 Lösung nach dem sog. 4 62, 612 =Verfahre 56 • q | bei lges = 126 m + 2 • 62, 61 m w. D = p + q -Stufen-Prinzip! 2 62, 61 = q lges = 126 m + 125, 22 m w. D = 56 + 70 56 Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! lges = 251, 22 m w. D = 126 m q = 70 m 1 Der gesamte befestigte Weg misst 251, 22 m. 4. Stufe: „Antwortsatz“ Die eigentliche Berechnung (3. Stufe) war nicht mehr schwer. Suche deshalb noch einmal nach den größten Hürden, die du vom Gewinnen einer Vorstellung (1. Stufe) über die Umsetzung in die Mathematik bis zum Ausdenken des eigentlichen Lösungsweges (2. Stufe) überwunden hast. Merke dir das oft günstige Verfahren beim Auskundschaften des Lösungsweges: “Vom Ende her denken!“. . 13

SACHAUFGABEN(3) 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Berechne die Gesamthöhe des Gebäudes! 1. Stufe: „Sich ein Bild machen. “ Für den Fall, dass du keine Vorstellung hast: A 1 . Die längeren Sparren messen von der Außenkante der Mauern bis zur Dachspitze s 1 = 20 m. Überlegungsfigur: s 1 h. D h. H = 7 m Höhe Halle s 1 = 20 m Sparrenlänge q h. H hges geg: Eine quadratische Sporthalle mit einer bebauten Grundfläche von A = 625 m 22 erreicht an jeder Stelle im Inneren eine Raumhöhe von h. H = 7 m. Die Sparren s 1 und s 2 des aufgesetzten Satteldaches sind ungleich lang und bilden an der Dachspitze einen rechten Winkel. p a a gefr: hges = ? m hges gesamte Höhe Lösungsweg: (vom Ziel her (rückwärts verfolgt) abhandeln!) 4 3 2 hges = h. D + h. H Pythagoras: h. D 2 = s 12 - p 2 p mit Kathetensatz: s 12 = a • p 1 a = √A 3. Stufe: „Rechnen bis zum Ergebnis“ 3 h. D 2 = s 12 - p 2 2 = ‚AB Nimm 2 jetzt sdas zu Folie 14‘! a • p 1 1 h. D 2 = 202 - 162 Führe die 20 Aufgabe aus! 2 = 25 • p | : 25 a = √A Verfahre bei 4 202 der Lösung nach demh sog. 2 = p D = 144 | √ a = √ 625 -Stufen-Prinzip! 25 p = 16 m h. D = 12 m a = 25 m Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! 4 hges = h. D + h. H = 12 + 7 hges = 19 m Die gesamte Höhe des Gebäudes misst 19 m. 4. Stufe: „Antwortsatz“ Die eigentliche Berechnung (3. Stufe) war nicht mehr schwer. Suche deshalb noch einmal nach den größten Hürden, die du vom Gewinnen einer Vorstellung (1. Stufe) über die Umsetzung in die Mathematik bis zum Ausdenken des eigentlichen Lösungsweges (2. Stufe) überwunden hast. Merke dir das oft günstige Verfahren beim Auskundschaften des Lösungsweges: “Vom Ende her denken!“. 14

DAS ‚ 4 - S T U F E N - P R I N Z I P ‘. . . e i n K r e i s l a u f beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Ø Hintergrund sollt eine wirklichkeitsnahe Geschichte sein. „Modellieren“. 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ • Was ist der Kern des Problems • Zusammenhänge suchen und herstellen, • übersetzen in mathematische Sprache (z. B. Zahlen, Symbole, Tabellen, textliche Aussage, ☞ Zeichnungen, Gleichungen, Überlegungsfiguren das wären die Modelle. eigentliche ‚Modellbildung‘ • In Ruhe durchlesen. Ist die Frage schon gestellt? • Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? • Kann ich mir das vorstellen? • Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? • Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen. “ . . . dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff • Entscheidungen zum Lösungsweg . . . wird zum K R E I S L A U F , wenn Lösung falsch. 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. • Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z. B. Grundrechenarten/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen. . . bis zum Ergebnis kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. • • • 1 15

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen Balles im Text mit eines der bildlichen öffnest du deine Hände und Darstellung! LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du n Hinweise zum Beispieledurch n o und häufiges ati Üben im Training m des Handballvereins. r fo In e u e N lt we erricht m U nt. z. B U Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen 1 hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 16