Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Variabile casuale: variabile i cui valori non possono essere esattamente predetti. discreta: salti o interruzioni nei valori (conteggio…) continua: non ha salti o interruzioni (altezza…) (limite strumento di misura) Distribuzione di probabilità di V. C. discreta: Specificazione di tutti i valori possibili con le rispettive probabilità… Num. infarti ni pi pi 0 782/1464 0, 534 pi ≡ f i 1 389/1464 0, 266 2 218/1464 0, 149 1. pi ≥ 0 3 75 75/1464 0, 051 Totale 1464 24 maggio 2008 1, 000 per ogni i 2. ∑pi = 1 3. P(Ai o Aj) = pi + pj per ogni i e j 1

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I graficamente… Prob. Cumulata: F(x) = P(X≤ x) 24 maggio 2008 2

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I graficamente… Prob. Cumulata: F(x) = P(X≤ x) Num. infarti ni pi F(x) 0 782 0, 534 1 389 0, 266 0, 800 2 218 0, 149 0, 949 3 75 0, 051 1, 00 Totale 1464 1, 000 24 maggio 2008 3

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Distribuzione di probabilità per v. c. continue v. c. continua: p. e. altezza di un oggetto scala di misura: rapporti modalità: infinite! …tra due valori ne esisterà sempre un terzo che si trova in mezzo… Non è possibile specificare ogni singola p(xi) Si è soliti considerare la probabilità che il valore cercato e ignoto cada in un intervallo, ovvero p(a≤X≤b) con a<b 24 maggio 2008 4

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Piuttosto che di probabilità, si parla di funzione di densità di probabilità, f(x)… Densità di frequenza: Istogramma: 24 maggio 2008 5

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Ad ogni classe i di ampiezza di corrisponde una frequenza relativa fi… La classe i ha estremi [xi ; (xi+di)] → minore è di, più vicini saranno gli estremi → se di tende a zero, la classe tenderà al punto xi!! 24 maggio 2008 6

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I f(x) funzione di densità per X v. c. continua: 1. f(x) ≥ 0 2. Area = “∑” f(x) =1 3. Area (a-b) = P(a ≤ X ≤ b) 24 maggio 2008 7

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Funzione di ripartizione Funzione di probabilità cumulata: F(x) = P(X ≤ x) 24 maggio 2008 8

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I La distribuzione Normale Una variabile casuale si dice avere distribuzione di probabilità Normale se la funzione di densità è del tipo: 24 maggio 2008 9

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I f(x) σ μ X 1. Simmetria rispetto alla media 2. Media, mediana e moda coincidono 3. Dipende dai parametri μ e σ 24 maggio 2008 10

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I • μ è parametro di scala μ 1 24 maggio 2008 < μ 2 < μ 3 11

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I • σ è parametro di forma 24 maggio 2008 12

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Famiglia di distribuzioni Normali X ~ N(μ; σ2) → esistono infinite curve normali… La più importante: Distribuzione Normale Standard f(x) → z = (x - μ) / σ → Z ~ N(0; 1) → f(z) = (2π)^(-1/2)exp(-z 2/2) 24 maggio 2008 13

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Determinazione della probabilità… 1. Qual è la P(Z ≤ z 0)? • Tavola area tra -∞ e z z 0 24 maggio 2008 14

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I • Es. P(Z ≤ 0, 96) = 0, 8315 24 maggio 2008 15

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I 2. P(-z 0 ≤ Z ≤ z 0) = ? -z 0 24 maggio 2008 z 0 16

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I • Es. P(-2, 55 ≤ Z ≤ 2, 55) = 0, 9946 – 0, 0054 = 0, 9892 P(Z ≤ 2, 55) = 0, 9946 1 – P(Z ≤ 2, 55) = 1 – 0, 9946 = 0, 0054 24 maggio 2008 17

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Descrivere le tabelle di contingenza il caso 2 x 2 • Supp. 2 variabili X e Y ciascuna con 2 modalità/classi j Y i X y 1 y 2 x 1 n 12 n 1. x 2 n 21 n 22 n 2. n. 1 n. 2 n Tot. Distrib. Prob. X Tot. 24 maggio 2008 Y Tot. Distrib. Prob. Tot. y 1 y 2 x 1 π12 π1. x 2 π21 π22 π2. π. 1 π. 2 1 πij pij X Tot. nij Y Tot. y 1 y 2 x 1 p 12 p 1. x 2 p 21 p 22 p 2. p. 1 p. 2 1 18

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Esempio Infarto sì Farmaco placebo 189 aspirina 104 Tot. 293 no L’aspirina, riduce la prob. 10845 11034 di avere un infarto? Confronto tra palcebo e aspirina 10933 11037 21778 22071 Infarto sì Farmaco Tot. 24 maggio 2008 Tot. no Tot. placebo 0, 009 0, 491 0, 500 somm. 0, 005 0, 495 0, 500 0, 014 0, 986 Prob. Congiunta pij Prob. Marginale di X pi. Prob. Marginale di Y p. j 1, 00 19

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Distrib. Condizionata: …dalla legge del prodotto: P(Y|X)=P(Y∩X)/P(X) P(Yj|Xi)=P(Yj∩Xi)/P(Xi) → πj|i= πij/ πi. πij= πj|iπi. Se X e Y sono indip. → πj|i = π. j → πij= πi. π. j Distrib. Prob. X Tot. 24 maggio 2008 Y Tot. y 1 y 2 x 1 π12 π1. x 2 π21 π22 π2. π. 1 π. 2 1 20

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Esempio Infarto sì Farmaco no placebo 189 10845 11034 aspirina 104 10933 11037 293 21778 22071 Tot. Infarto sì Farmaco Tot. 24 maggio 2008 Tot. no Tot. placebo 0, 017 0, 083 1, 000 aspirina 0, 009 0, 991 1, 000 Prob. sì|plac p 1|1 Prob. no|plac p 2|1 Prob. sì|asp p 1|2 Prob. no|asp p 2|2 21

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Rischio Relativo • Confronto tra proporzioni di gruppi differenti Infarto sì Farmaco no Tot. RR ≥ 0 placebo 0, 017 0, 083 1, 000 aspirina 0, 009 0, 991 1, 000 RR = 1 ←→ X indip. Y Tot. RR = π1|1 / π1|2 = 0, 017 / 0, 009 = 1, 89 la proporzione di coloro che ha sofferto di infarto è 1, 89 volte più alta per quelli che prendono il placebo rispetto a quelli che prendono l’aspirina Ovvero: la probabilità di avere un infarto è 1, 89 maggiore per chi usa il placebo rispetto a chi prende l’aspirina 24 maggio 2008 22

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Odds • Confronto di proporzioni dello stesso gruppo Infarto sì Farmaco no Tot. placebo 0, 017 0, 983 1, 000 aspirina 0, 009 0, 991 1, 000 Ωi = π1|i / π2|i Ωi ≥ 0 Tot. Ω 1 = π1|1 / π2|1 = 0, 017 / 0, 983 = 0, 017 Ω 2 = π1|2 / π2|2 = 0, 009 / 0, 991 = 0, 009 Tra coloro che prendono il placebo (aspirina) è poco verosimile che si presenti un infarto Ovvero tra quelli che prendono il placebo (aspirina) ogni 98 (99) senza infarto ce ne sono 2 (1) che presentano l’infarto. 24 maggio 2008 23

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Odds Ratio • Confronto di odds Infarto sì Farmaco no Tot. θ≥ 0 placebo 0, 017 0, 983 1, 000 θ=1 X indip. Y aspirina 0, 009 0, 991 1, 000 θ<1 y 1 è più verosimile in x 2 Tot. θ>1 y 1 è più verosimile in x 1 θ = Ω 1 / Ω 2 = 1, 89 L’odds della prima riga (ovvero del placebo) è quasi il doppio di quello relativo all’aspirina Ovvero l’evento (infarto) si verifica più verosimilmente nel primo caso (placebo) che nel secondo (aspirina) 24 maggio 2008 24

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Infarto sì Farmaco no Tot. placebo 0, 017 0, 983 1, 000 aspirina 0, 009 0, 991 1, 000 Tot. 24 maggio 2008 25

Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Se X e Y sono indipendenti, allora: πij = πi. π. j πj|i = πij / πi. = πi. π. j / πi. = π. j RR = π1|1 / π1|2 = π. j / π. j = 1 Ω 1 = π1|1 / π2|1 = π. 1 / π. 2 Ω 2 = π2|1 / π2|2 = π. 1 / π. 2 θ = Ω 1 / Ω 2 = 1 24 maggio 2008 26