massaverdeling gravitatieveld Gravitatiewet mi mkg ri m Diskreet

massaverdeling gravitatieveld Gravitatiewet: mi [m]=kg ri m Diskreet: mi Continu: r dv [ ]=kg/m 3 P P [m]=kg ri P

Coördinaatsystemen Z Z ez ex ez ey z ez ex Z e er Y e e r ez ey er er r X (x, y, z) er (r, , z) e er (r, , ) e

Volume integraal: bol coördinaten d Z r dv=(rd ) (rsin d ) (dr) =r 2 sin d d dr dr rsin d

Voorbeeld: bol inhoud z Om de bol inhoud te bepalen integreer je de functie “ 1” over het bol volume: r=R r=0 Integratie domein: y r: : : [0, R] [0, 2 ] Integraal: x 4

Wet van Gauss De gravitatieflux De wet van Gauss Voorbeeld

Flux Fg g Waterkraan: O O g O Verband tussen: – open/dicht van de kraan – “flux” door oppervlak O O g

Gevolg wet van gravitatiewet do M Massa M in middelpunt bol Flux Fg door boloppervlak wordt: R De essentie: Fg =-4 GM geldt voor ieder omsluitend oppervlak; niet alleen voor bol met M in middelpunt! - g 1/r 2 - boloppervlak r 2

Wet van Gauss: Massa M omsloten door een boloppervlak M Massa M omsloten door willekeurig oppervlak Massa m buiten een willekeurig oppervlak M m

V. b. Gauss: bolvolume Bolvolume: |g| – massaverdeling: kg/m 3 – symmetrie: g bol, g(r) – “Gauss box”: bolletje R g r g Bol R r

Stelling van Gauss (wiskunde) De divergentie De stelling van Gauss Voorbeeld

Divergentie: Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss): g(x+dx, y, z) dz dy g(x, y, z) dx Compactere notatie via “divergentie”: Dus:

De link: wiskunde & natuurkunde M. b. v. gravitatiewet gevonden: M M. b. v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen gveld en massaverdeling omzetten in “differentiaal verband: M Wiskunde: Gauss Natuurkunde: gravitatie/Gauss

gravitatiepotentiaal Gravitatiewet: [m]=kg mi ri m r dv [ ]=kg/m 3 P P

Volume integraal: cilindercoördinaten Z dv=(dz) (rd ) dr =r dzdrd dz dr z r d 14

Voorbeeld: cilinder inhoud z Om de cilinder inhoud te bepalen integreer je de functie “ 1” over het cilinder volume: z=+h/2 Integratie domein: z z: r: : z= h/2 x r=0 [ h/2, +h/2] [0, R] [0, 2 ] y Integraal: r r=R 15

V. b. : hoeveel m 3 H 2 O ongeveer op aarde? Straal aarde: 6. 400 106 m Gemiddelde H 2 O laag: 103 m integratie domein: r: : : [Ri 6. 399 106 m, Ro 6. 400 106 m] [0, 2 ] Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6. 400 106 m: H 2 O 4 (6. 400 106)2 103 5. 15 1017 m 3 16