Masalah Transportasi Transportation Problem Minggu 6 1 Masalah

Masalah Transportasi (Transportation Problem) Minggu 6 1

Masalah Transportasi Masalah transportasi umumnya berkaitan dengan masalah pendistribusian suatu produk dari beberapa sumber ke sejumlah tujuan dengan biaya yang minimum. 2

Rumusan Pemrograman Linier (1) Terdapat m sumber (misal: gudang) dimana produk disimpan. Terdapat n tujuan (misal: pasar) dimana produk dibutuhkan. Ketersediaan pasokan dari sumber : ai (i = 1, 2, …, m) Permintaan dari tujuan : bj (j = 1, 2, …, n) Biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j : cij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Jika suatu sumber i tidak dapat memasok suatu tujuan j, maka cij = M (M bilangan positif yang sangat besar) Permasalahannya adalah menentukan jumlah produk yang dikirim dari sumber i ke tujuan j (dinyatakan dengan xij) yang meminimumkan biaya transportasi (pengiriman) total. 3

Rumusan Pemrograman Linier (2) Minimasi dengan pembatas-pembatas: i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n 4

Masalah Transportasi dalam Bentuk Jaringan Sumber a 1 1 a 2 Tujuan cij 1 b 1 2 2 b 2 ai . . . bj am m n bn 5

Masalah Transportasi Standar/Seimbang (Standar/Balanced Transportation Problem) Minimasi dengan pembatas-pembatas: i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n 6

Masalah Transportasi Tak Seimbang (1) Minimasi dengan pembatas-pembatas: i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n, n+1 j = n+1 adalah tujuan fiktif dengan permintaan dan 7

Masalah Transportasi Tak Seimbang (2) Minimasi dengan pembatas-pembatas: i = 1, 2, …, m+1 j = 1, 2, …, n i= m+1 adalah tujuan fiktif dengan penawaran dan 8

Tabel Transportasi Tujuan D 1 Sumber S 2 Sm Permintaan D 2 c 11 x 11 Dn c 12 x 12 c 22 x 12 c 1 n x 1 n c 22 x 22 cm 1 Pasokan c 2 n x 2 n cm 2 a 1 a 2 cmn xm 1 xm 2 xmn b 1 b 2 bm an 9

②Pemecahan Masalah Transportasi 10

Algoritma Pemecahan Masalah Transportasi Langkah 0: Perumusan masalah dalam masalah transportasi standar Langkah 1: Penentuan solusi basis layak awal Langkah 2: Pemeriksaan optimalitas. Jika solusi optimal maka berhenti. Penentuan solusi basis yang baru dan ke langkah 2 11

Metode Penentuan Solusi Basis Layak Awal Northwest corner method Least cost method Vogel’s approximation method (VAM) 12

Metode Penentuan Solusi Basis Layak Awal (2) Sebuah perusahaan perlu mengangkut produknya dari tiga pabrik ke empat pasar dengan permintaan, penawaran dan biaya transport per unit produk ke tujuan adalah sebagai berikut Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 4 1 2 2 2 1 3 2 10 8 5 4 7 3 7 6 6 8 5 Permintaan 4 3 4 4 15 13

Algoritma Northwest Corner Mulai dari pojok barat laut tabel dan alokasikan sebanyak mungkin pada X 11 tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (artinya X 11 ditetapkan sama dengan yang terkecil diantara nilai S 1 dan D 1) Ini akan menghabiskan penawaran pada sumber 1 dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatnya, tak ada lagi barang yang dapat dialokasikan ke kolom atau baris yang telah dihabiskan dan kemudian baris atau kolom itu dihilangkan. Kemudian alokasikan sebanyak mungkin kekotak didekatnya pada baris atau kolom yang dapat dihilangkan. Jika baik kolom maupun baris telah dihabiskan, pindahlah secara diagonal kekotak berikutnya Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dengan keperluan permintaan telah dipenuhi. 14

Northwest Corner Rule (1) 4 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 3 4 3 7 5 4 15

Northwest Corner Rule (2) 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 3 1 3 4 0 7 5 4 16

Northwest Corner Rule (3) 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 3 1 0 3 4 0 6 5 4 17

Northwest Corner Rule (4) 2 2 2 1 10 8 5 4 6 6 8 3 1 3 7 0 0 4 0 3 5 4 18

Northwest Corner Rule (5) 2 2 2 1 10 8 5 4 6 8 3 1 3 3 7 0 6 0 1 0 0 5 4 19

Northwest Corner Rule (5) 2 2 2 1 10 8 5 4 6 8 3 1 3 3 7 6 1 0 0 4 4 20

Northwest Corner Rule (6) 2 2 2 1 10 8 5 4 6 8 3 1 3 3 7 6 1 0 0 4 4 21

Northwest Corner Rule (6) Solusi Basis Layak Awal 2 2 2 1 10 8 5 4 6 8 3 1 3 3 7 6 1 4 3 4 4 3 7 5 4 Biaya transportasi total Z = 93 22

Algoritma Least Cost Pilih variabel Xij (kotak) dengan biaya trasport (cij) terkecil dengan alokasi sebanyak mungkin. Untuk cij terkecil, Xij = minimum [Si, Di]. Ini akan menghabiskan baris i atau kolom j. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau tidak dihilangkan) pilih nilai cij terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi. 23

Least Cost Rule (1) 4 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 3 4 3 7 5 4 24

Least Cost Rule (2) 2 2 2 1 3 4 10 8 5 4 7 6 6 8 3 4 0 7 5 1 25

Least Cost Rule (3) 2 2 2 1 3 10 8 5 4 1 7 4 6 3 6 4 8 0 6 5 0 26

Least Cost Rule (4) 2 2 2 1 3 10 8 5 4 7 4 1 6 3 4 6 0 8 0 2 5 0 27

Least Cost Rule (5) 2 2 2 1 3 10 8 5 4 7 4 1 6 6 8 3 4 0 0 0 2 2 0 28

Least Cost Rule (6) 2 2 2 1 3 10 8 5 4 7 2 4 1 6 6 8 3 2 0 0 0 29

Least Cost Rule (7) Solusi Basis Layak Awal 2 2 2 1 3 10 8 2 5 4 7 2 4 1 6 6 8 3 0 0 0 0 Biaya transportasi total Z = 79 30

Algoritma VAM Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost untuk setiap baris i dihitung dengan mengurangkan nilai cij terkecil pada baris itu dari nilai cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama. Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang serupa. Biaya-biaya ini adalah penalty karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapar nilai kembar, pilih secara sembarang). Alokasikan sebanyak mungkin kekotak dengan nilai cij minimum pada baris atau kolom yang dipilih. Untuk cij terkecil, Xij = minimum [Si, Dj]. Artinya penalty terbesar dihindari. Sesuaikan penawaran dan permintaan unutuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Hilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan. Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali kelangkah 1 dan hitung lagi opportunity cost yang baru. Jika semua penawaran dan permintaan, solusi awal telah diperoleh. 31

Vogel’s Approximation Method (VAM) (1) Penalti 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 4 3 4 4 5 4 3 3 3 1 7 1 5 0 32

Vogel’s Approximation Method (VAM) (2) Penalti 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 3 Penalti 1 3 4 4 3 2 1 4 0 7 1 5 0 33

Vogel’s Approximation Method (VAM) (3) Penalti 2 2 2 1 10 8 5 4 3 4 7 Penalti 6 6 1 3 4 3 2 1 8 0 3 3 5 0 0 34

2 2 2 1 10 8 5 4 3 3 7 1 4 6 3 6 1 8 Penalti Vogel’s Approximation Method (VAM) (4) 0 0 5 0 Penalti 35

Vogel’s Approximation Method (VAM) (5) Solusi Basis Layak Awal Pasokan 2 2 2 1 10 8 5 4 3 3 7 1 Permintaan 6 3 4 4 6 8 1 3 4 3 7 5 4 Biaya transportasi total Z = 68 36

Perbaikan Solusi Basis Layak Awal Perbaikan solusi basis layak awal Pemeriksaan optimalitas Penentuan solusi basis layak yang baru Metoda: Metoda u-v atau MODI (Modified Distribution Method) Metode stepping stone 37

Metode u-v (1) Untuk sembarang solusi basis layak, tentukan nilai ui (untuk semua i) dan vj (untuk semua j) sedemikian hingga untuk setiap variabel basis xij (Nilai ui dan vj bisa positif, negatif atau nol). Untuk variabel non basis: 38

Metode u-v (2) Untuk variabel non basis: Kondisi optimalitas (masalah minimasi ) terjadi apabila untuk semua variabel non basis Jika kondisi belum optimal, variabel yang masuk basis adalah yang mempunyai paling negatif (masalah minimasi) 39

Misal Diberikan Solusi Basis Layak Awal dengan Least Cost Method 2 2 2 1 3 10 8 2 5 4 7 2 4 1 6 6 8 3 0 0 0 0 40

Penerapan Metode u-v Enam persamaan dengan tujuh variabel yang tak diketahui terdapat tak hingga solusi yang mungkin Untuk mendapatkan solusi, suatu nilai variabel tertentu dapat ditetapkan sebarang, dan nilai yang lain dapat dipecahkan. Misalnya, u 1 = 0 41

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 7 2 u 1 = 0 u 2 = 3 u 3 = 0 v 2 = 6 v 3 = 2 2 v 4 = 1 2 1 3 10 8 2 5 4 7 2 4 1 6 6 8 3 4 3 7 5 4 42

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 7 u 1 = 0 u 2 = 3 u 3 = 0 -5 2 v 2 = 6 -4 2 v 3 = 2 0 v 4 = 1 2 1 3 10 -1 8 2 5 4 7 2 6 4 1 4 6 7 8 3 4 3 7 5 4 x 11 masuk basis 43

v 1 = 7 u 1 = 0 u 2 = 3 u 3 = 0 v 2 = 6 2 v 3 = 2 2 v 4 = 1 2 + 1 3 10 8 2 5 1+ 4 7 2 4 6 6 8 3 4 3 7 5 4 = min(3, 2) = 2 x 21 keluar basis 44

Solusi 2 2 1 1 10 8 5 4 7 2 4 3 6 6 8 3 4 3 7 5 4 Biaya transportasi total Z = 69 45

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 2 u 1 = 0 2 v 3 = 2 2 v 4 = 1 2 2 1 1 10 u 2 = 3 u 3 = 5 v 2 = 1 8 5 4 7 2 4 3 6 6 8 3 4 3 7 5 4 46

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 2 u 1 = 0 u 2 = 3 u 3 = 5 2 v 2 = 1 1 2 v 3 = 2 0 v 4 = 1 2 2 1 1 5 10 4 8 5 4 7 2 6 4 3 -1 6 2 8 3 4 3 7 5 4 x 33 masuk basis 47

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 2 u 1 = 0 2 v 3 = 2 2 v 4 = 1 2 2+ 1 1 10 u 2 = 3 u 3 = 5 v 2 = 1 8 5 4 7 2 3+ 6 6 8 + 3 4 4 3 7 5 4 = min(1, 4, 2) = 1 x 14 keluar basis 48

Solusi 2 2 2 1 10 8 5 4 3 3 7 1 6 3 4 4 6 8 1 3 4 3 7 5 4 Biaya transportasi total Z = 68 49

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 2 u 1 = 0 v 3 = 1 v 4 = 0 2 2 2 1 10 8 5 4 3 u 2 = 4 u 3 = 5 v 2 = 1 3 7 1 6 3 4 4 6 8 1 3 4 3 7 5 4 Biaya transportasi total Z = 68 50

Pemeriksaan Optimalitas v 1 = 2 u 1 = 0 u 2 = 4 u 3 = 5 v 2 = 1 2 10 3 8 v 3 = 1 1 2 v 4 = 0 1 1 3 4 5 3 7 1 4 4 6 3 8 1 3 4 3 7 5 4 Solusi optimal 51

Solusi Optimal 2 2 2 1 10 8 5 4 3 3 7 1 6 3 4 4 6 8 1 3 4 3 7 5 4 Biaya transportasi total Z = 68 52

Review Sebuah Perusahaan Negara berkepentingan mengangkut pupuk dari tiga pagrik ke tiga pasar. Kapasitas supply ke tiga pabrik, permintaan pada ke tiga pasar dan biaya transport per unit adalah sebagai berikut Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 1 8 5 6 120 2 15 10 12 80 3 3 9 10 80 150 70 60 280 Permintaan Cari biaya transportasi minimum untuk memenuhi semua permintaan