Mamy 9 jednakowych monet ale jedna spord nich

• Mamy 9 jednakowych monet, ale jedna spośród nich jest fałszywa, gdyż ma inną wagę od pozostałych. Ludzkie ręce jednak nie są w stanie wyczuć, która to z nich i czy fałszywa moneta jest lżejsza czy cięższa? Jak w trzech ważeniach, za pomocą zwykłej wagi szalkowej (bez żadnych odważników), wyłonić fałszywą monetę? Czy jest ona cięższa czy lżejsza?

Ustalmy możliwości rozwiązania • • Mamy dziewięć monet które dzielimy na trzy grupy A, B i C. Każda z grup ma odpowiednio 3 monety: A 1, A 2, A 3, B 1, B 2, B 3, C 1, C 2, C 3. Sposób znalezienia szukanej monety podzielony jest na przypadki: Ia), Ib), Ic)(nie istnieje), IIa), IIb), IIc)(nie istnieje), IIIa), IIIb), IIIc)(nie istnieje); Tak więc jest rozpatrzonych 9 przypadków z czego 3 nie są możliwe. Każdy z przypadków wyłania grupę A B lub C która posiada monetę o innej wadze, a w każdym 3°ważeniu wyszukuje także pojedynczą monetę, która jest różna od reszty.

Oto możliwości wagi monety: • 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Jest 18 możliwości wagi szukanej monety: A 1 -lżejsza od reszty; przypadek IIb); A 1 -cięższa od reszty; przypadek IIIb); A 2 -lżejsza od reszty; przypadek IIb); A 2 -cięższa od reszty; przypadek IIIb); A 3 -lżejsza od reszty; przypadek IIb); A 3 -cięższa od reszty; przypadek IIIb); B 1 -lżejsza od reszty; przypadek IIIa); B 1 -cięższa od reszty; przypadek IIa); 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. B 2 -lżejsza od reszty; przypadek IIIa); B 2 -cięższa od reszty; przypadek IIa); B 3 -lżejsza od reszty; przypadek IIIa); B 3 -cięższa od reszty; przypadek IIa); C 1 -lżejsza od reszty; przypadek Ia); C 1 -cięższa od reszty; przypadek Ib); C 2 -lżejsza od reszty; przypadek Ia); C 2 -cięższa od reszty; przypadek Ib); C 3 -lżejsza od reszty; przypadek Ia); C 3 -cięższa od reszty; przypadek Ib);

Po pierwsze. . . Przypadek a) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramiona są w równowadze (A=B), stąd w grupie C jedna z monet jest o różnej wadze. Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A opada, a z monetami C unosi się. Stąd wiadomo, że A=B>C więc w grupie C jedna z monet jest lżejsza od pozostałych. Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę C 1, a na drugie monetę C 2: Jeśli moneta C 1 będzie na równowadze z monetą C 2, tzn. że moneta C 3 jest lżejsza od pozostałych (C 1=C 2<C 3) Jeśli po stronie monety C 1 ramię uniesie się, a po stronie monety C 2 opadnie, tzn. że moneta C 1 jest lżejsza od pozostałych (C 2=C 3>C 1) Jeśli po stronie monety C 1 ramię opadnie, a po stronie monety C 2 uniesie się, tzn. że moneta C 2 jest lżejsza od pozostałych (C 1=C 3>C 2)

Po pierwsze. . . Przypadek b) • Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramiona są w równowadze (A=B), stąd w grupie C jedna z monet jest o różnej wadze. • Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami C opada. Stąd wiadomo, że A=B<C więc w grupie C jedna z monet jest cięższa od pozostałych. • Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę C 1, a na drugie monetę C 2: Jeśli moneta C 1 będzie na równowadze z monetą C 2, tzn. że moneta C 3 jest cięższa od pozostałych (C 1=C 2<C 3) Jeśli po stronie monety C 1 ramię uniesie się, a po stronie monety C 2 opadnie, tzn. że moneta C 2 jest cięższa od pozostałych (C 1=C 3<C 2) Jeśli po stronie monety C 1 ramię opadnie, a po stronie monety C 2 uniesie się, tzn. że moneta C 1 jest cięższa od pozostałych (C 2=C 3<C 1)

Po pierwsze. . . Przypadek c) • Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramiona są w równowadze (A=B), stąd w grupie C jedna z monet jest o różnej wadze. • Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C. Nie ma trzeciego przypadku kiedy to monety A i C są w równowadze, ponieważ zachodzi równanie A=B=C co jest sprzeczne z warunkami zadania, kiedy to jedna z grup monet ma inną wagę od reszty.

Po drugie. . . Przypadek a) • Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami B opada. (A<B). • Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A jest w równowadze z monetami C. Stąd wiadomo, że A=C<B więc w grupie B jedna z monet jest cięższa od pozostałych. • Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę B 1, a na drugie monetę B 2: Jeśli moneta B 1 będzie na równowadze z monetą B 2, tzn. że moneta B 3 jest cięższa od pozostałych (B 1=B 2<B 3) Jeśli po stronie monety B 1 ramię uniesie się, a po stronie monety B 2 opadnie, tzn. że moneta B 2 jest cięższa od pozostałych (B 1=B 3<B 2) • Jeśli po stronie monety B 1 ramię opadnie, a po stronie monety B 2 się uniesie, tzn. że moneta B 1 jest cięższa od pozostałych (B 2=B 3<B 1)

Po drugie. . . Przypadek b) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami B opada. (A<B). Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami C opada. Stąd wiadomo, że B=C>A więc w grupie A jedna z monet jest lżejsza od pozostałych. Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę A 1, a na drugie monetę A 2: Jeśli moneta A 1 będzie na równowadze z monetą A 2, tzn. że moneta A 3 jest lżejsza od pozostałych (A 1=A 2>A 3) Jeśli po stronie monety A 1 ramię uniesie się, a po stronie monety A 2 opadnie, tzn. że moneta A 1 jest lżejsza od pozostałych (A 2=A 3>A 1) Jeśli po stronie monety A 1 ramię opadnie, a po stronie monety A 2 się uniesie, tzn. że moneta A 2 jest lżejsza od pozostałych (A 1=A 3>A 2)

Po drugie. . . Przypadek c) • Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami B opada (B>A). • Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C. Nie ma trzeciego przypadku kiedy to ramię z monetami A opada, a z monetami C unosi się, ponieważ zachodzi nierówność B>A>C co jest sprzeczne z warunkami zadania, kiedy to dwie grupy monet są równe a trzecia ma inną wagę.

Po trzecie. . . Przypadek a) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A opada, a z monetami B unosi się. (A>B). Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A jest w równowadze z monetami C. Stąd wiadomo, że A=C>B więc w grupie B jedna z monet jest lżejsza od pozostałych. Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę B 1, a na drugie monetę B 2: Jeśli moneta B 1 będzie na równowadze z monetą B 2, tzn. że moneta B 3 jest lżejsza od pozostałych (B 1=B 2>B 3) Jeśli po stronie monety B 1 ramię uniesie się, a po stronie monety B 2 opadnie, tzn. że moneta B 1 jest lżejsza od pozostałych (B 2=B 3>B 1) • Jeśli po stronie monety B 1 ramię opadnie, a po stronie monety B 2 się uniesie, tzn. że moneta B 2 jest lżejsza od pozostałych (B 1=B 3>B 2)

Po trzecie. . . Przypadek b) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A opada, a z monetami B unosi się. (A>B). Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A opada, a z monetami C unosi się. Stąd wiadomo, że B=C<A więc w grupie A jedna z monet jest cięższa od pozostałych. Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę A 1, a na drugie monetę A 2: • Jeśli moneta A 1 będzie na równowadze z monetą A 2, tzn. że moneta A 3 jest cięższa od pozostałych (A 1=A 2<A 3) • Jeśli po stronie monety A 1 ramię opadnie, a po stronie monety A 2 się uniesie, tzn. że moneta A 1 jest cięższa od pozostałych (A 2=A 3<A 1) • Jeśli po stronie monety A 1 ramię uniesie się, a po stronie monety A 2 opadnie, tzn. że moneta A 2 jest cięższa od pozostałych (A 1=A 3<A 2)

Po trzecie. . . Przypadek c) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A opada, a z monetami B unosi się. (A>B). Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C. Nie ma trzeciego przypadku kiedy to ramię z monetami A unosi się, a z monetami C opada, ponieważ zachodzi nierówność B<A<C co jest sprzeczne z warunkami zadania, kiedy to dwie grupy monet są równe a trzecia ma inną wagę.

~KONIEC~ • Opracowanie: • Klasa III b z Gimnazjum nr 1 Im. M. Kopernika w Szprotawie • Pod kierownictwem p. Marii Dec