Magnettechnik fr Teilchenbeschleuniger Grundlagen der Magnetostatik Maxwellgleichungen Koordinatensystem

Magnettechnik für Teilchenbeschleuniger Grundlagen der Magnetostatik • Maxwellgleichungen • Koordinatensystem im Beschleuniger • Potentialfunktion • Laplacegleichung • Berechnung von Magnetfeldern Quadrupolemagnete Vektorpotential Stromverteilung für Supraleitende Magnete • cos-teta Stomverteilung 1

Magnetostatik Magnetfeld gemessen in A/m Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig: In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt : Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist in der Grössenordung von einigen tausend. 2

Maxwellgleichungen 3

Maxwellgleichungen im Vakuum Es wird für das Vakuum angenommmen: • kein elektrischer Strom (keine Leiter für Elektronen) • keine Magnetisierung (kein magnetisches Material) • keine dielektrische Verschiebung und daher gilt: 1. Maxwellsches Gesetz 2. Maxwellsches Gesetz 3. Maxwellsches Gesetz 4

Maxwellgleichungen für Magnetostatik - zeitlich konstant 1. Maxwellsches Gesetz 2. Maxwellsches Gesetz (Induktionsgesetz) 3. Maxwellsches Gesetz (Grundgesetz der Elektrostatik) 4. Maxwellsches Gesetz (Grundgesetz der Magnetostatik) 5

Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum aus dem 1. Maxwellsches Gesetz aus dem 4. Maxwellsches Gesetz Ausserdem gilt mit : 6

Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers z s B v F x 7

Quadrupole: Fokussierung nur in einer Ebene Annahme im 2 -dimensionalem Fall: z und daher: x z-Komponente des Quadrupolemagnetfeld auf der x-Achse 8

Teilchenablenkung für Quadrupolmagneten Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung z z Sicht entlang der Teilchenbahn x s x Sicht von oben z s x 9

Berechnung des Magnetfeldes 10

Laplacegleichung 11

Berechnung des Magnetfeldes für einen Eisenmagneten Satz von Stokes: Gegeben: • vektorieller Ortsfunktion, wie z. B. • geschlossener Weg, der eine Fläche begrenzt Dann gilt für Bereiche, in denen kein Strom fliesst: 12

Skalares Potential ist konstant entlang der Eisenoberfläche An der Grenzfläche zwischen Luft und Eisen gibt es keine Feldkomponente tangential entlang des Eisens. Entsprechend der elektrischen Ladungen auf einer Metallplatte: es gibt keine Potentialdifferenz, und keine Feldkomponente entlang der leitenden Platte. Eisen Luft oder Vakuum 13

Berechnung des Feldverlaufs (2 -dimensional) z x Beispiel: Quadrupolfeld 14

Berechnung des Feldverlaufs (2 -dimensional) 15

Quadrupolmagnet Beispiel: Quadrupolmagnete zur Fokussierung von Teilchen haben ein linear ansteigendes Feld Bz(x) entlang der x-Achse: z x Beispiel: Quadrupolfeld 16

Feld eines Leiters in s-Richtung im Zentrum vom (x, z) z x 17

Feld eines Leiters in s-Richtung z z Raumpunkt P s x Leiter mit Strom in s-Richtung Strahlachse x 18

Feld eines Leiters in s-Richtung 19

Strom entlang eines leitenden Zylinders 20

Erzeugung von Dipol und Quadrupolfeldern - + + 21