Maestra en Direccin Financiera Curso Matemtica Financiera Catedrtico

Maestría en Dirección Financiera Curso: Matemática Financiera Catedrático: Ing. Carlos Alberto Carrera Leal Correo Electrónico: ccarreraleal@yahoo. com Requerimientos académicos: calculadora, formulario, hojas cuadrícula.

Evaluación del curso: Ejercicios en clase Tareas para casa Examen parcial Participación en clase Zona total Examen final Nota total 35 puntos 30 puntos 05 puntos 70 puntos 30 puntos 100 puntos

Sugerencias: En un curso práctico la asistencia al mismo es parte fundamental del correcto aprendizaje en cadena que conllevan los temas, es importante su disciplina en asistir al mismo.

Sesión # 1 Interés Simple

Conceptos Básicos: Capital: es el monto que se invierte a un determinado tiempo e interés. Tiempo: plazo en el cual el capital estará invertido. Interés: valor que devengará el capital a un tiempo determinado. Monto: es el valor del capital más los intereses devengados en un tiempo determinado. Tasa de Interés: porcentaje al cual se invierte el capital.

Capital: se conoce también como el valor presente o actual del dinero, se puede calcular mediante la fórmula: M: Monto i: % de interés t: tiempo

Ejemplo # 1: Una persona participa en una “tanda” y le toca cobrar en el decimoctavo mes. Si dentro de 18 meses recibirá Q 30, 000. 00, ¿Cuál es el valor actual de su tanda, con un interés simple del 20% anual?

Interés: Es el valor que se obtiene de un capital invertido a un tiempo determinado, regularmente se puede calcular mediante la fórmula: C: Capital i: % de interés t: tiempo

Ejemplo # 2: Una persona obtiene un préstamo de Q 50, 000 y acepta liquidarlo año y medio después. Acuerda que, mientras exista el adeudo, pagará un interés simple mensual de 1. 5%. ¿Cuánto deberá pagar de interés cada mes?

Tasa de Interés: Es el valor porcentual al cual se invierte un capital durante un tiempo determinado, se puede calcular mediante las siguientes formulas:

Ejemplo # 3: ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 54% anual? Ejemplo # 4: Una persona compró un terreno el 1 de enero en Q 195, 000 y lo vendió 17 meses después en Q 256, 000, ¿Qué tasa de interés simple anual le rindió su inversión?

Plazo o Tiempo: Se define como la cantidad de días, meses o años durante el cual el dinero invertido generará un monto derivado de la tasa de interés, se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplo # 5: ¿En cuanto tiempo se acumularían Q 5, 000 si se depositan hoy Q 3, 000 en un fondo que paga 1. 2% simple mensual? Ejemplo # 6: ¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de Q 10, 000 depositado el 15 de mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 19% anual simple?

Sesión # 2 Descuento Comercial y Real Ventas a Plazo

Descuento: El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias y que consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en se recibe y la fecha de vencimiento.

Existen básicamente dos formas de calcular el descuento: 1. Descuento Comercial: en este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento, al utilizar las fórmulas se obtiene el valor neto de descuento aplicado. M = Monto i= Tasa de interés t= plazo o tiempo C = Capital o valor comercial del documento.

2. Descuento Real o Justo: A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa y no sobre el valor nominal, por lo tanto se utiliza la fórmula del Monto.

Ejemplo # 1: Se emite un pagaré a nombre del señor Alfredo Díaz con fecha de vencimiento el 15 de Agosto por un monto de Q 185, 000, si el banco realiza operaciones de descuento a 20% anual y si el Señor Díaz desea descontar el documento el 15 de junio, cual es el valor de la tasa de descuento aplicada al pagaré.

Ejemplo # 2: Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió Q 166, 666. 67. Si la tasa de descuento es de 30% y el pagaré vencía 4 meses después de su descuento, ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?

Ejemplo # 3: Una empresa descuenta un documento por el cual recibe Q 945. 05. Si la tasa de descuento es de 25% y el valor nominal del documento era de Q 1, 000 ¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento?

Aplicación ventas a plazo o préstamo prendario En el caso de compras realizadas a plazo, los abonos que se efectúan provocan un rédito el cual beneficia al proveedor aunque ya el cliente posee el producto, mientras que en un préstamo prendario depende del tiempo en el cual el objeto se encuentre el poder del prestamista así será la cantidad de Interés que se cancela.

Ejemplo # 4: Una persona acude a una casa de empeño con un televisor para lo cual presente factura. El valuador que examina la prenda le ofrece un préstamo de Q 1, 500 que es aceptado por el solicitante. Si esta institución carga 2. 5% mensual sobre el préstamo, ¿Cuánto deberá pagar el dueño del televisor para recuperar el aparato después de 50 días de otorgado el préstamo?

Ejemplo # 5: ¿Cuál sería el precio al contado de un automóvil que se pagó con: Un Enganche de Q 48, 500 Abono de Q 38, 500 realizado 6 meses después de la compra. Pago final de Q 35, 500 ocho meses después de la compra. Si el costo del préstamo fue de 2% mensual simple?

Sesión # 3 Interés Compuesto

En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo de la operación. En el Interés compuesto en cambio los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.

Suponga que se depositan Q 100, 000 en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral (20% de interés anual). ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses? Suponga que se depositan otros Q 100, 000 en una cuenta de valores que paga 20% de interés convertible trimestralmente, ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses? (Nota: la tasa de interés nominal es la misma en ambos casos: 5% trimestral = 20% anual)

Período de Capitalización: El interés puede ser convertido en capital en forma anual, semestral, trimestral, mensual, etc. , A dicho periodo se le da el nombre de periodo de capitalización. Al numero de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un deposito bancario que paga 5% de interés capitalizable trimestralmente?

Monto Compuesto: Es el resultado que se obtiene al sumar el capital original el interés compuesto. Si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se desea conocer el monto M del cual se dispondrá al final del período, solo debe agregársele el interés I ganado.

Ejemplo # 1: Se depositan Q 50, 000 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?

Ejemplo # 2: Se depositan en una caja de ahorros Q 100, 000 a una tasa de interés de 4. 8% capitalizable mensualmente. a) ¿Cuál será el monto acumulado a interés compuesto en un período de 9 meses? b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de interés de 30% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál sería el pago que se debe efectuar al cabo de los mismos 9 meses?

Ejemplo # 3: Se obtiene un préstamo bancario de Q 1, 500, 000 a un plazo de un año y con interés de 12% convertible trimestralmente ¿Cuál es el monto que deberá liquidarse?

Monto Compuesto con Período de Interés Fraccionario: La fórmula original del Monto se deriva del supuesto que “n” es entero, en teoría puede aplicarse también en el caso de que “n” sea fraccionario, por lo que para calcularse se debe emplear la potenciación en forma directa con la calculadora.

Ejemplo # 4: Se decide liquidar el préstamo del ejemplo # 3 en forma anticipada luego del transcurso de 7 meses y medio, ¿Cuál es la cantidad que debe pagarse?

Sesión # 4 Valor Presente Tiempo Tasa de Interés

Valor Presente Compuesto: En ocasiones se conoce cual es el monto que debe pagarse o que se desea reunir y se quiere determinar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de interés determinado capitalizable en un tiempo exacto para llegar a tener ese monto.

Para calcular el valor presente o Capital en el momento preciso de la inversión se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo # 1: ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de Q 50, 000 dentro de 3 años y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente?

Ejemplo # 2: Juan Pérez desea adquirir una casa con valor de Q 850, 000. Le pidieron que entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de año y medio, al termino de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigente es de 6% anual capitalizable mensualmente?

Ejemplo # 3: Se otorga un préstamo de Q 2, 000 para liquidar una maquinaria y se firma un documento a plazo de un año con interés del 15%. A fin de recuperar el efectivo en forma inmediata, la empresa vendedora descuenta dicho documento en un banco a una tasa de 2% mensual. a) ¿Qué cantidad es la que se recibe? b) ¿Qué tasa de interés efectiva debe pagar la compañía para financiarse?

Tiempo: En el Interés Compuesto, el tiempo “n” se puede calcular en base a la fórmula del Monto, sin embargo se aplican Logaritmos para obtener así el valor de la potencia.

Ejemplo # 4: ¿En cuanto tiempo se duplicará una inversión de Q 1, 000 si se considera una tasa de interés a) De 36% anual convertible mensualmente? b) De 24% anual también convertible mensualmente?

Ejemplo # 5: ¿En cuánto tiempo reduce Q 1. 00 su valor adquisitivo a 50% dada una inflación anual de a) 50% b) 10%

Tasa de Interés: En el Interés compuesto se puede capitalizar la tasa indicada, sin embargo para calcular directamente el valor porcentual se debe aplicar la fórmula:

Ejemplo # 6: ¿A qué tasa de interés se deben depositar Q 15, 000 para disponer de Q 50, 000 en un plazo de 5 años? Considere que los intereses se capitalizan: a) Semestralmente b) Trimestralmente

Sesión # 6 ANUALIDADES SIMPLES

Concepto: Se denomina Anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales. Se conserva el nombre de anualidad por estar arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a períodos anuales de pago, algunos ejemplos de anualidades son: Los pagos mensuales por renta, el cobro quincenal de sueldos, los abonos mensuales a una cuenta de crédito, los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Monto: Como en el caso del trabajo con el Interés simple, el monto será el valor que se obtendrá de proyectar el pago de rentas a través de un tiempo determinado, esto por medio de la fórmula: M= monto; R= Renta o pago por período; i = tasa de interés; n= # de períodos.

Ejemplo # 1: ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran Q 100, 000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6% anual convertible mensualmente?

Ejemplo # 2: ¿Cuál es el monto de Q 20, 000 semestrales depositados durante 4 años y medio en una cuenta bancaria que rinde 12% capitalizable semestralmente?

Ejemplo # 3: El doctor González deposita Q 100 al mes de haber nacido su hijo. Continúa haciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 años para, en ese dia, entregarle lo acumulado como herencia. Si durante los primeros 6 años de vida del hijo la cuenta pagó 9% anual convertible mensualmente y durante los 12 años restantes pagó 1% mensual, ¿Cuánto recibió el hijo a los 18 años?

Valor Presente: Se puede determinar el valor actual de una renta depositada o pagada en un período de tiempo, retornando el Monto al capital que tendría el inversionista en el tiempo cero, se calcula en base a la formula:

Ejemplo # 4: ¿Cuál es el valor actual de una renta trimestral de Q 4, 500 depositada al final de cada uno de siete trimestres, si la tasa de interés es de 9% trimestral?

Ejemplo # 5: ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de Q 1, 000 que se pagan al final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual de 16% convertible trimestralmente?

Ejemplo # 6: ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil: a) Pagar Q 260, 000 al contado o b) Q 130, 000 de enganche y Q 12, 000 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón de 18% convertible mensualmente?

Sesión # 7 ANUALIDADES SIMPLES Valor de la Renta Plazo Tasa de Interés

Renta: Se conoce como renta al pago periódico que se realiza a intervalos iguales, de las fórmulas originales de Monto y Capital se puede despejar de la siguiente forma:

Ejemplo # 1: Una persona adquiere hoy a crédito una computadora cuyo precio es de Q 19, 750 y conviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si se le cobran 1. 8% mensual de interés?

Ejemplo # 2: ¿Cuánto debe invertir el señor Juárez al final de cada mes durante los próximos 7 años en un fondo que paga 13. 5% convertible mensualmente con el objeto de acumular Q 100, 000 al realizar el último depósito?

Plazo: El plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del número de períodos de pago “n”, mediante las siguiente fórmulas:

Ejemplo # 3: ¿Cuántos pagos de Q 607. 96 al final del mes tendría que hacer el comprador de una lavadora que cuesta Q 8, 500, si da Q 2, 550 de enganche y acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo?

Ejemplo # 4: Una persona desea acumular Q 300, 000. Para reunir esa cantidad decide hacer depósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde 12% anual convertible trimestralmente. Si deposita Q 5, 000 cada fin de trimestre , ¿dentro de cuanto tiempo habrá acumulado la cantidad que desea?

Tasa de Interés: El valor de la tasa de interés porcentual es la única variable que no puede despejarse, es decir no hay forma de calcularlo directo, se debe trabajar en base a la interpolación lineal lo cual implica un proceso algebraico específico basado en las fórmulas de Monto y Capital.

Ejemplo # 5: Una persona debe pagar hoy Q 350, 000. Como no tiene esa cantidad disponible, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de Q 62, 000, el primero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de interés va a pagar?

Ejemplo # 6: ¿A que tasa nominal convertible semestralmente se acumulan Q 500, 000 en el momento de realizar el último de 15 depósitos semestrales de Q 10, 000?

Sesión # 8 ANUALIDADES ANTICIPADAS

En este caso el pago o abono de la anualidad se hace por anticipado, es decir al inicio del período por lo que el valor del Monto y el Capital se calculan en base a un fórmula modificada tanto en el valor del período como en la tasa de Interés.

Monto: Tomando en consideración que este valor involucra las variables utilizadas en las anualidades simples, se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo # 1: Encuentre el monto de 6 pagos semestrales anticipados de Q 14, 500 si el interés es de 19% convertible semestralmente.

Valor Actual: De la misma forma que el Monto, la forma de calcular el Capital se realiza tomando como referencia la fórmula base utilizada en la Anualidad Simple.

Ejemplo # 2: Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar Q 2, 750 de renta por anticipado. Como desea librarse del compromiso mensual de la renta, decide posponer una renta anual equivalente y también anticipada. Si se calculan los intereses a razón de 15. 60% convertible mensualmente, ¿de cuanto deberá ser la renta anual?

Renta: En este caso la renta o anualidad se calcula tomando como base ya sea el Monto o el Capital, según las fórmulas siguientes:

Ejemplo # 3: En una tienda se vende una bicicleta por Q 1, 800 al contado o mediante 5 abonos mensuales anticipados. Si el interés que aplica la tienda es de 32. 4% convertible mensualmente, calcule el valor de pago.

Ejemplo # 4: La señora Gavaldón debe pagar Q 90, 000 dentro de 2 años y para reunir esa cantidad, decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 1. 2% bimestral de interés. ¿De cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero?

Plazo: Se calcula mediante los valores de monto y capital, tomando como referencia la base logarítmica de la fórmula:

Ejemplo # 5: La Señora Ramírez piensa jubilarse luego de reunir Q 2, 000 mediante depósitos mensuales de Q 5, 000 de las ganancias que obtiene de su negocio. Si invierte sus depósitos a una tasa de interés de 0. 25% mensual e inicia a partir del dia de hoy, ¿En Cuanto tiempo reunirá la cantidad que desea?

Ejemplo # 6: ¿A qué tasa de interés anual, 6 depósitos anuales anticipados de Q 25, 000 equivalen a un valor actual de Q 75, 000?