M E F Mthode matricielle des dplacements Concepts

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M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 1 v

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 1 v l'analyse des structures L'objectif de l'analyse des structures est de déterminer les deux champs inconnus : champ de déplacements et de contraintes pour une structure quelconque. On appelle structure, tout système mécanique en équilibre sous l'action de forces de surface ou de volume (en régime élastique). Structure Déformations Mécanisme Contraintes (création d'énergie de déformation) La théorie de l'élasticité permet d'exprimer les relations qu'il existe entre les différents champs inconnus. T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 2 v

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 2 v Classification des systèmes physiques Un système physique est caractérisé par un ensemble de variables qui peuvent dépendre des coordonnées d'espace et du temps. Certaines variables (d) sont connues, d'autres variables (u) sont inconnues ý propriétés physiques ý dimensions du système ý sollicitations ý conditions aux limites ý… ? déplacements ? vitesses ? températures ? contraintes ? … Un modèle mathématique du système permet d'écrire des relations entre u et d en utilisant des lois physiques. Ces relations constituent un système d'équations en u qu'il s'agit de résoudre. Le nombre de degrés de liberté (d. d. l) du système est le nombre de variables nécessaires pour définir u à un instant t donné. T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 3 Le

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 3 Le système est dit : Ø discret si il possède un nombre fini de degrés de liberté, Ø continu si il possède un nombre infini de degrés de liberté. L'analyse d'une structure (qu'il s'agisse d'un système discret ou continu) peut-être menée de la façon suivante : 1 - Idéalisation du système pour le rendre analysable (discrétisation) 2 - Formulation des équations constitutives (équations d'équilibre) 3 - Résolution des équations 4 - Interprétation des résultats T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 4 Pour

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 4 Pour certains problèmes, la première étape (idéalisation) est (presque) évidente. Structure réelle Théâtre national de Mannheim, 1953 Centre Georges Pompidou à Paris, 1977 Structure discrétisée Hangar construit à partir d’éléments préfabriqués en béton armé pour l’aviation italienne, 1940 Le comportement du système discret est représenté par un système d'équations algébriques. Résolution exacte (au sens de la discrétisation) T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 5 Pour

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 5 Pour d'autres structures, l'idéalisation n'est pas aussi immédiate (assemblage de plaques ou de coques. On est alors amené à exploiter des techniques d'approximation appropriées. Dans le cas de la M. E. F, le modèle est basé sur une subdivision du domaine continu en sous domaines de formes géométriques simples appelés éléments. Les éléments sont interconnectés entre eux par des points appelés nœuds. Structure réelle Transformation des équations pour obtenir un système d'équations algébriques solution approchée Structure discrétisée élément nœud T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 6 v

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base 6 v Démarche d'analyse d'un système discret (méth. matricielle des déplacements) étape 1 Idéalisation étape 2 Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément en fonction des déplacements Calcul élémentaire Calcul global étape 3 Assemblage des caractéristiques élémentaires étape 4 Calcul de la solution Cette étape est menée en utilisant des conditions de continuité des déplacements et d'équilibre des forces aux nœuds des éléments T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 7 Analyse statique

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 7 Analyse statique d'un système constitué de 3 chariots rigides P 1 P 2 P 3 k 4 k 3 k 5 k 1 1 k 2 2 3 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 8 Etape 1

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 8 Etape 1 : idéalisation P 1 u 1 P 2 u 2 P 3 u 3 k 4 1 k 3 3 2 k 5 k 1 k 2 Bilan : q 3 nœuds q 3 ddl : 1 ddl/nœud (u 1, u 2, u 3) q 5 éléments Système de 3 équations à 3 inconnues T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 9 Etape 2

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 9 Etape 2 : Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément v Elément n° 1 Ui(j), Fi(j) 1 F 1 (1) u 1 n° élément n° nœud (1) k 1 u 1(1)=F 1(1) k 1 v Elément n° 2 F 1(2) u 1(2) F 2(2) u 2(2) 1 2 k 2 / u 1 k 2 u 1(2) - k 2 u 2(2) = F 1(2) / u 2 k 2 u 2(2) - k 2 u 1(2) = F 2(2) ou sous forme matricielle : T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 10 v Elément

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 10 v Elément n° 3 F 1(3) u 1(3) F 2(3) u 2(3) 1 2 k 3 v Elément n° 4 F 1(4) u 1(4) F 3(4) u 3(4) 1 3 k 4 v Elément n° 5 F 2(5) u 2(5) F 3(5) u 3(5) 2 3 k 5 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 11 Etape 3

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 11 Etape 3 : Assemblage des caractéristiques élémentaires P 1 u 1 P 2 u 2 P 3 u 3 k 4 k 3 1 3 2 k 5 k 1 k 2 F 1(1) F 1(2) F 1(3) F 1(4) 1. Equilibre des forces aux nœuds (équilibre statique de l'ensemble) F 2(2) F 2(3) F 2(5) ì F 1(1) + F 1( 2) + F 1(3) + F 1( 4 ) ï ( 2) ( 3) (5) í F 2 + F 2 ï F ( 4 ) + F ( 5) 3 î 3 F 3(4) F 3(5) = P 1 = P 2 = P 3 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 ì F 1(1)

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 ì F 1(1) + F 1( 2 ) + F 1( 3) + F 1( 4 ) ï ( 2) ( 3) ( 5) í F 2 + F 2 ï F ( 4) + F (5) 3 î 3 = P 1 = P 2 = P 3 En substituant les équations d'équilibre élémentaires ìk 1 u 1(1) + k 2 u 1( 2 ) - k 2 u 2( 2 ) + k 3 u 1(3) - k 3 u 2( 3) + k 4 u 1( 4) - k 4 u 3( 4 ) ï ( 2) ( 3) (5) ( 5) í- k 2 u 1 + k 2 u 2 - k 3 u 1 + k 3 u 2 + k 5 u 2 - k 5 u 3 ï- k u ( 4 ) + k u ( 4 ) - k u ( 5 ) + k u ( 5 ) 4 3 5 2 5 3 î 4 1 2. Continuité des déplacements : 12 = P 1 = P 2 = P 3 ìu 1(1) = u 1( 2 ) = u 1(3) = u 1( 4 ) ï ( 2) ( 3) ( 5) íu 2 = u 2 ïu ( 4) = u ( 5) 3 î 3 = u 1 = u 2 = u 3 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 ìk 1 u

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 ìk 1 u 1(1) + k 2 u 1( 2 ) - k 2 u 2( 2 ) + k 3 u 1(3) - k 3 u 2( 3) + k 4 u 1( 4) - k 4 u 3( 4 ) ï ( 2) ( 3) (5) ( 5) í- k 2 u 1 + k 2 u 2 - k 3 u 1 + k 3 u 2 + k 5 u 2 - k 5 u 3 ï- k u ( 4 ) + k u ( 4 ) - k u ( 5 ) + k u ( 5 ) 4 3 5 2 5 3 î 4 1 ì(k 1 + k 2 + k 3 + k 4 )u 1 - (k 2 + k 3 )u 2 - k 4 u 3 ï í- (k 2 + k 3 )u 1 + (k 2 + k 3 + k 5 )u 2 - k 5 u 3 ï- k u + (k + k )u î 4 1 5 2 4 5 3 æ k 1 + k 2 + k 3 + k 4 ç - k 2 - k 3 ç ç - k 4 è - k 2 - k 3 k 2 + k 3 + k 5 - k 5 13 = P 1 = P 2 = P 3 - k 4 öæ u 1 ö æ P 1 ö ÷ç ÷ - k 5 ÷ç u 2 ÷ = ç P 2 ÷ k 4 + k 5 ÷øçè u 3 ÷ø çè P 3 ÷ø On obtient donc le système d'équations recherché T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 14 Autre solution

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 14 Autre solution : écriture des matrices élémentaires avec l'ensemble des ddl. élément 1 élément 3 élément 2 élément 5 élément 4 å T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 15 Dans ce

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 15 Dans ce cas, on obtient la matrice de rigidité globale à partir de l'expression : 5 (e) = KG å K e =1 matrice de rigidité élémentaire tenant compte de la connectivité Cette expression est valable quel que soit le problème et le nombre d'éléments (à condition de travailler avec des ddl compatibles au niveau des matrices de rigidité élémentaires) Etape 4 : Résolution du problème Les rigidités et les forces externes étant connues, il suffit de résoudre le système linéaire obtenu. Remarque : lorsque les déplacements sont connus, on peut éventuellement calculer les efforts internes à partir des équations d'équilibre élémentaires. T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 16 Analyse d'un

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 16 Analyse d'un élément de tuyauterie p L 2 L 0. 5 L La tuyauterie doit être capable de résister à une charge importante P lorsque celle-ci est appliquée accidentellement. Analysez le problème T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 17 Etude simplifiée

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 17 Etude simplifiée : on s'intéresse au calcul du déplacement transverse au point d'application de la force. Cette force est supposée quasi-statique. modélisation par des éléments de type poutre / barre / ressort. analyse statique. Etape 1 : idéalisation e 1 : E I e 2 : 8 E I e 3 : kt 0. 5 L L 2 L e 4 : E S T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Matrices élémentaires 18 Matrice de

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Matrices élémentaires 18 Matrice de rigidité élémentaire d'une barre en traction - compression dans le plan y ui uj E, S x L E: module d'Young (N/m 2) – S: section (m 2) – L: longueur(m) Matrice de rigidité élémentaire d'une poutre en flexion dans le plan (type Bernoulli : pas de cisaillement transverse) y i vi E, I L j vj x E: module d'Young (N/m 2) – I: inertie de flexion (m 4) – L: longueur(m) T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 19 Le modèle

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 19 Le modèle devient : u 1 u 2 1 u 3 u 4 2 u 6 3 u 5 u 7 4 Bilan : 4 éléments : 2 poutres, 1 ressort de torsion, 1 barre 4 nœuds 7 ddl T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 20 Etape 2

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 20 Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément Elément 1 : poutre – (EI, L) Elément 2 : poutre – (8 EI, 2 L) T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 21 Etape 2

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 21 Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément (suite) Elément 3 : ressort de torsion – (kt) Elément 4 : barre – (E, S, 0. 5 L) T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 22 Etape 3

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 22 Etape 3 : Assemblage des matrices élémentaires T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 23 Etape 4

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 23 Etape 4 : Résolution du problème La solution est obtenue en résolvant le système d'équations linéaires : K GU G = PG u 1 u 2 1 avec U GT = (u 1 u 2 u 3 u 4 2 u 5 u 6 PGT = (0 0 - P 0 0 ) u 6 3 u 7 ) u 5 u 7 4 après avoir appliqué les conditions aux limites (conditions de déplacements imposés) : u 1 = u 2 = u 7 = 0 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K 24 q

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K 24 q On appelle matrice de rigidité d'une structure, la matrice K permettant d'exprimer l'énergie de déformation sous une forme quadratique des déplacements. 1 Edef = U T KU 2 q Les valeurs propres de la matrice de rigidité sont obtenues en résolvant le problème : i : ième valeur propre = l K i i : ième vecteur propre On peut écrire : Ti K i li = T i i li = Ti K i = 2 Edef si i est tel que : Ti i = 1 Les valeurs propres d'une matrice de rigidité représentent à un coefficient près l'énergie de déformation mise en jeu par les modes de déformation propres de la structure. T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K 25 q

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K 25 q Cas des structures libres (ou avec mécanisme) Dans ce cas, il existe un certain nombre ( 3 pour les problèmes 2 D, 6 pour les problèmes 3 D) de valeurs propres nulles. Elles correspondent à des modes de déplacement d'ensemble pour lesquels l'énergie de déformation est nulle. On les appelle des modes de corps rigide ou modes rigides. La matrice de rigidité d'une structure libre est donc semi définie positive Exemple : barre en traction - compression mode de corps rigide mode de compression pure T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Conditions sur U 26 Prise

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Conditions sur U 26 Prise en compte des conditions de déplacements imposés, 3 possibilités : Méthode de pénalisation application d'un "poids" numérique sur les coefficients de la matrice de rigidité Multiplicateurs de Lagrange Le système d'équation (KU=P) est complété par des équations de contrainte Méthode de la partition T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition 27 Principe

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition 27 Principe : q Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On obtient un système de la forme : K GU G = FG q Le vecteur des déplacements est décomposé (partition) suivant : æU a ö = U G çç ÷÷ èU b ø : déplacements libres (inconnus) : déplacements imposés (connus) q On applique cette partition sur le vecteur chargement et la matrice de rigidité æ Fa ö FG = çç ÷÷ è Fb ø æ K aa = K G çç è K ba : forces correspondant aux déplacements libres (connues) : forces correspondant aux déplacements imposés (inconnues) réactions K ab ö ÷÷ K bb ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition 28 En

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition 28 En développant les équations d'équilibre, on obtient : æ K aa çç è K ba ì K aa. U a + K ab. U b = Fa K ab öæU a ö æ Fa ö ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ Û í K bb øè U b ø è Fb = R ø î K ba. U a + K bb. U b = R Ø Le premier système d'équations permet d'obtenir les déplacements libres (Ua) : K aa. U a = Fa - K ab. U b ou U a = K aa 1 (Fa - K ab. U b ) Ø Les déplacements libres étant connus, on obtient les réactions avec le second système d'équations : R = K ba. U a + K bb. U b ü Cas particulier : TOUS les déplacements imposés sont nuls (Ub=0) K aa. U a = Fa ou U a = K aa 1 Fa R = K ba. U a T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 29 L Illustration

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 29 L Illustration sur une structure de type "poutre en flexion" P E, I Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On utilise le modèle : v 1 1 1 1 v 2 2 2 Bilan : 1 élément "poutre en flexion" 2 nœuds avec 2 ddl/nœud 4 ddl æ v 1 ö ç ÷ ç q 1 ÷ UG = ç ÷ v ç 2÷ çq ÷ è 2ø æ F 1 ö ç ÷ ç M 1 ÷ FG = ç F 2 ÷ çM ÷ è 2ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 30 Assemblage

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 30 Assemblage de la matrice de rigidité globale : 1 élément immédiat 12 6 L -12 6 L EI = KG L 3 6 L 4 L 2 -6 L 2 L 2 -12 -6 L 6 L 2 L 2 -6 L 4 L 2 v 1 1 v 2 2 Partition entre déplacements libres (Ua) et déplacements imposés (Ub). v 1 æ v 2 ö = U a çç ÷÷ èq 2 ø v 2 1 Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions. æ v 1 ö æ 0 ö = U b çç ÷÷ = çç ÷÷ è q 1 ø è 0 ø P 2 æ F 2 ö æ -Pö ÷÷ = çç ÷÷ Fa = çç èM 2 ø è 0 ø æ F 1 ö Fb = R = çç ÷÷ è M 1 ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 Partition de

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 Partition de la matrice de rigidité globale KG = Kaa Kab Kba Kbb v 1 1 v 2 2 12 6 L -12 6 L KG = EI L 3 6 L 4 L 2 -6 L 2 L 2 -12 -6 L 6 L 2 L 2 -6 L 4 L 2 v 1 1 v 2 2 KG = EI L 3 31 v 2 2 v 1 1 12 -6 L -6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 v 2 2 -12 6 L v 1 -6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 1 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 32 Calcul

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 32 Calcul des déplacements libres (ici tous les déplacements imposés sont nuls) K aa. U a = Fa EI L 3 12 -6 L 4 L 2 æ 4 L 2 æv 2 ö æ -Pö æ v 2 ö L 3 1 çç ÷÷ = çç ÷÷ Û çç ÷÷ = ´ ´ çç 2 èq 2 ø EI 12 L è 6 L èq 2 ø è 0 ø 6 L ö÷æ -Pö ÷çç 0 ÷÷ 12 øè ø æ -PL 3ö ç ÷ æ v 2 ö ç 3 EI ÷ Û çç ÷÷ = 2 è q 2 ø çç -PL ÷÷ è 2 EI ø Calcul des réactions. R = K ba. U a æ F 1 ö EI R = çç ÷÷ = 3 L è M 1 ø -12 6 L -6 L 2 L 2 æ -PL 3 ö æLö ç ÷ ç 3 EI ÷ Û æç F 1 ö÷ = - P ´ æç - 12 6 L ö÷ç 3 ÷ Û æç F 1 ö÷ = æç P ö÷ ççM ÷ ç PL ÷ 2÷ 1 ç -PL 2 ÷ 6 L 2 L L ç ÷ è ø è 1ø è ø 1 ç ÷ è 2 EI ø è 2ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 33 Vérification

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 33 Vérification des résultats Efforts Moments -P+P =0 action - PL + PL = 0 réaction Visualisation des résultats Effort tranchant Déplacements -P P P - PL 3 3 EI æ v 1 ö æ 0 ö çç ÷÷ = çç ÷÷ è q 1 ø è 0 ø Moment fléchissant - PL 2 PL 0 2 EI T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 L Structure

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 L Structure de type "poutre en flexion" Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On utilise le modèle : 2 éléments "poutre en flexion" 3 nœuds avec 2 ddl/nœud 6 ddl L E, I v 1 1 1 Bilan : 34 M v 2 1 æ v 1 ö ç ÷ ç q 1 ÷ çv ÷ 2 UG = ç ÷ çq 2 ÷ ç v 3 ÷ çq ÷ è 3ø 2 2 v 3 2 3 3 æ F 1 ö ç ÷ ç M 1 ÷ çF ÷ 2 ÷ FG = ç çM 2 ÷ ç F 3 ÷ çM ÷ è 3ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 35 Assemblage

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 35 Assemblage de la matrice de rigidité globale : v 1 1 1 v 2 1 2 12 6 L -12 6 L EI K (1) = 3 L 2 6 L 4 L 2 -6 L 2 L 2 -12 -6 L 6 L 2 L 2 -6 L 4 L 2 v 3 2 3 3 v 1 1 v 2 2 EI = KG L 3 12 6 L -12 6 L EI K (2) = 3 L 6 L 4 L 2 -6 L 2 L 2 -12 -6 L 6 L 2 L 2 -6 L 4 L 2 v 2 2 12 6 L -12 6 L 0 0 6 L 4 L 2 -6 L 2 L 2 0 0 -12 -6 L 24 6 L 2 L 2 0 0 -12 6 L 8 L 2 -6 L 2 L 2 0 0 -12 -6 L 0 0 6 L 2 L 2 -6 L 4 L 2 v 1 1 v 2 2 v 3 3 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 v 1

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 v 1 Partition entre déplacements libres (Ua) et déplacements imposés (Ub). æ v 1 ö ç ÷ ç q 1 ÷ çv ÷ 2 UG = ç ÷ çq 2 ÷ ç v 3 ÷ çq ÷ è 3ø v 2 v 3 1 2 æq 2 ö = U a çç ÷÷ èq 3 ø æ v 1 ö æ 0 ö ç ÷ ç q 1 ÷ ç 0 ÷ = Ub ç ÷ = ç ÷ ç v 2 ÷ ç 0 ÷ ç v ÷ ç 0÷ è 3ø è ø æM 2 ö æ 0 ö ÷÷ = çç ÷÷ = Fa çç è M 3 ø èM ø æ F 1 ö ç ÷ ç M 1 ÷ = = Fb R ç ÷ ç F 2 ÷ çF ÷ è 3ø Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions. æ F 1 ö ç ÷ ç M 1 ÷ çF ÷ 2 ÷ FG = ç çM 2 ÷ ç ÷ F ç 3÷ çM ÷ è 3ø 36 3 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Et finalement,

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Et finalement, partition de la matrice de rigidité globale. KG = Kaa Kab Kba Kbb v 1 1 v 2 2 v 3 3 EI KG = 3 L 12 6 L -12 6 L 0 0 6 L 4 L 2 -6 L 2 L 2 0 0 -12 -6 L 24 0 6 L 2 L 2 0 -12 6 L 8 L 2 -6 L 2 L 2 0 0 -12 -6 L 0 0 6 L 2 L 2 -6 L 4 L 2 v 1 1 v 2 2 v 3 3 KG = EI L 3 37 2 3 v 1 1 v 2 v 3 8 L 2 2 L 2 6 L 2 L 2 0 2 L 2 4 L 2 0 6 L 0 12 6 L -12 0 v 1 2 L 2 0 6 L 4 L 2 -6 L 0 1 0 -12 -6 L 24 -12 v 3 6 L -6 L 0 0 0 -6 L 2 6 L -6 L 3 -12 12 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 38 Calcul

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 38 Calcul des déplacements libres (tous les déplacements imposés sont nuls). K aa. U a = Fa EI L 3 8 L 2 2 L 2 4 L 2 æq 2 ö æ 0 ö 2 EI çç ÷÷ = çç ÷÷ Û L èq 3 ø è M ø 4 1 1 2 æq 2 ö æ 0 ö çç ÷÷ = çç ÷÷ Û èq 3 ø è M ø æq 2 ö ML çç ÷÷ = è q 3 ø 14 EI æ - 1ö çç ÷÷ è 4ø Calcul des réactions. R = K ba. U a æ F 1 ö ç ÷ ç M 1 ÷ EI R=ç ÷= 3 L ç F 2 ÷ çF ÷ è 3ø 6 L 0 2 L 2 0 0 6 L -6 L ML ´ 14 EI æ - 1ö çç ÷÷ Û è 4ø æ F 1 ö æ - 3ö ç ÷ ç M 1 ÷ M ç - L ÷ çF ÷= ç 12 ÷ 7 L ç 2÷ ç ÷ ç- ÷ çF ÷ è 9ø è 3ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 æ F

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 æ F 1 ö æ - 3ö ç ÷ ç M 1 ÷ M ç - L ÷ çF ÷= ç 12 ÷ 7 L 2 ç ÷ ç- ÷ çF ÷ è 9ø è 3ø Vérification des résultats -M 7 39 F 2 M F 1 F 3 On peut vérifier, pour les forces et les moments que : Réactions Action F 1 + F 2 + F 3 + 0 = 0 Réactions M 1 + F 2 L + 2 F 3 L + M = Visualisation des résultats (déplacements) æq 2 ö ML çç ÷÷ = è q 3 ø 14 EI æ - 1ö çç ÷÷ è 4ø Action -M 7 + 12 M 18 M +M =0 7 7 -ML 2 ML 14 EI 7 EI M T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 40 Visualisation

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 40 Visualisation des résultats (diagrammes) Ø Effort Tranchant æ F 1 ö æ - 3ö ç ÷ ç M 1 ÷ M ç - L ÷ çF ÷= ç 12 ÷ 7 L ç 2÷ ç ÷ ç- ÷ çF ÷ è 9ø è 3ø 9 M 7 L -3 M 7 L F 3 F 2 F 1 F 2 Ø Moment Fléchissant -M 7 F 1 2 M 7 M F 3 -M T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices 41 L'objectif

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices 41 L'objectif est d'établir la matrice de rigidité élémentaire d'un élément lorsque son orientation est différente de celle définie dans le repère de référence. La démarche est illustrée sur un élément de type barre. Dans le repère local R 1, la matrice de rigidité de l'élément est donnée par : ui* uj * x* K R 1 = ES æ 1 - 1ö çç ÷÷ 1ø L è -1 æ ui ö ç ÷ = U çu ÷ è jø * On souhaite formuler la matrice de rigidité de cet élément dans le cas où la barre à une orientation quelconque dans le plan (repère global R 2) y uj * x* vj uj ui* vi K R 2 = ? ui x æ ui ö ç ÷ ç vi ÷ = U çu ÷ j ç ÷ çv ÷ è jø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices y uj

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices y uj * x* vi uj ou encore sous forme matricielle : ui On peut écrire les relations entre les déplacements dans les 2 systèmes d'axes par : ìï ui* = ui cos q + vi sin q í * ïîu j = u j cos q + v j sin q vj ui* 42 x æ ui* ö æ cos q ç ÷=ç ç u* ÷ ç 0 è jø è U* sin q 0 0 cos q = T æ ui ö ç ÷ 0 öç vi ÷ ÷÷ç ÷ sin q øç u j ÷ çv ÷ è jø U Dans le repère local, l'énergie de déformation est donnée par : 1 E p = U *t K R 1 U * 2 Dans le repère global, l'énergie (identique) est donnée par : 1 E p = U t K R 2 U 2 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices U *t

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices U *t = U t. T t En substituant l'expression de U* en fonction de U dans 43 U * = TU 1 E p = U *t K R 1 U * 2 1 E p = U t. T t K R 1 TU 2 Expression que l'on compare à On en déduit 1 E p = U t K R 2 U 2 K R 2 = T t K R 1 T T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices 44 Pour

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices 44 Pour l'élément barre, on obtient : y vj vi ui K R 1 uj æ cos q T = çç è 0 x æ cos 2 q ç ES ç cos q sin q = K ç L ç - cos 2 q çè cos q sin q ES æ 1 - 1ö çç ÷÷ = 1ø L è -1 cos q sin q - cos 2 q sin 2 q - cos q sin q cos 2 q - sin 2 q cos q sin q 0 0 cos q - cos q sin q ö ÷ 2 - sin q ÷ ÷ cos q sin q ÷ ÷ sin 2 q ø 0 ö ÷÷ sin q ø æ ui ö ç ÷ ç vi ÷ = U çu ÷ j ç ÷ çv ÷ è jø ou encore : ES æ A - A ö çç ÷÷ K= Aø L è- A avec æ cos 2 q A = çç è cos q sin q ö÷ ÷ sin 2 q ø Attention : pas de ddl de rotation donc liaison pivot aux nœuds implicite T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 45 On considère

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 45 On considère le treillis plan représenté ci-dessous. Il est modélisé par des éléments de type "barre". Les caractéristiques matérielles sont identiques pour toutes les barres (E, S). Les nœuds 1 et 2 sont encastrés. Y 2 3 barre 3 45° barre 4 barre 2 X 1 1. 2. 3. 4. 5. barre 1 Noeuds X Y 1 0 0 2 0 L 3 3 L L 3 4 L 0 4 Établir la matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements sans tenir compte de la barre n° 4 Calculer le déterminant de cette matrice, conclusions. Calculer et représenter la déformée de la structure complète (barre 4 prise en compte). Calculer et représenter les réactions aux encastrements. Calculer les contraintes dans chaque élément. T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 46 q Calcul

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 46 q Calcul des matrices de rigidité élémentaires ü Élément 1 : ü Élément 2 : 3 2 4 1 ü Élément 3 : 3 2 1 4 ü Élément 4 : T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 47 Matrice de

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 47 Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (SANS barre n° 4) q 2 3 3 ddl imposés : 2 1 1 ddl libres : 4 La structure n'est pas statiquement stable (présence de pivots implicites aux nœuds). La représentation devrait être : T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 48 Matrice de

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 48 Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (AVEC barre n° 4) q 45° 3 2 4 1 3 2 1 ddl imposés : ddl libres : 4 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q 49 La

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q 49 La résolution du système linéaire donne les déplacements recherchés K aa. U a = Fa æ u 3 ö æ 0. 52 ö ç ÷ ç v 3 ÷ PL ç - 4. 16 ÷ çu ÷ = ç ÷ 0 ES 4 ç ÷ ç÷ çv ÷ è 4. 16 ø è 3ø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q 50 Calcul

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q 50 Calcul des réactions aux encastrements R = K ba. U a nœuds 1 - 4 nœuds 1 - 3 u 3 v 3 nœuds 2 - 3 u 4 v 4 u 1 v 1 u 2 v 2 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q La résolution

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q La résolution R=Kba. Ua donne : q Vérification 51 S forces suivant x (aux erreurs d'arrondi près) S forces suivant y T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q 52 Calcul

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse q 52 Calcul des contraintes D'après la théorie de l'élasticité, on sait que et Dans le cas de la barre, on a : D=E et La déformation locale étant identique sur toute la longueur de la barre, on peut l'assimiler à la déformation moyenne soit : Dans le repère local : où sous forme matricielle : Dans le repère global : e xx = 1 (- cos q L - sin q cos q æ ui ö ç ÷ ç vi ÷ ) q sin ç ÷ çu j ÷ çv ÷ è jø T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 53 ü Élément

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 53 ü Élément 1 : s (1) = 0 ü Élément 2 : s (2 ) = 0 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 54 ü Élément

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 54 ü Élément 3 : s (3) = 0. 52 P S ü Élément 4 : s (4 ) = - 1. 63 P S T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 55 q Visualisation

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 55 q Visualisation des résultats : déformée et réactions æ u 3 ö æ 0. 52 ö ç ÷ ç v 3 ÷ PL ç - 4. 16 ÷ ç u ÷ = ES ç ÷ 0 ç 4÷ ç ÷ ç÷ çv ÷ è 4. 16 ø è 4ø æ R 1 x ö æ 1. 22 ö ç ÷ ç R 1 y ÷ ç 0. 71÷ = ç R ÷ Pç ÷ 0. 52 ç 2 x ÷ ç ÷ çR ÷ 0 è ø 2 y è ø 0. 52 -0. 52 0. 71 2 3 1 4 1. 22 -4. 16 T. Tison 2004

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 56 q Visualisation

M. E. F : Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse 56 q Visualisation des résultats : contraintes æs 1 ö æ 0ö ç ÷ s 0÷ ç 2÷ Pç = ç s ÷ S ç 0. 52 ÷ ç 3÷ ç ÷ ç÷ çs ÷ è 1. 63 ø è 4ø 3 4 2 1 T. Tison 2004