Lunit frazionaria 1 DEFINIZIONE Lunit frazionaria con n

L’unità frazionaria 1 DEFINIZIONE. L’unità frazionaria – (con n ≠ 0) rappresenta una sola delle n parti uguali in cui è n stato diviso l’intero. ESEMPIO Sono unità frazionarie: 1 2 1 4 1 8 ognuna di esse indica che l’intero è stato diviso rispettivamente in 2, 4, 8 parti. Rappresentazione 1 2 I numeri razionali 1 4 1 8 1

La frazione come operatore DEFINIZIONE. La frazione è un operatore che divide l’intero in tante parti uguali, quante ne indica il denominatore, e ne prende in considerazione tante quante ne indica il numeratore. ESEMPIO 5 Numeratore 8 Denominatore Linea di frazione Termini della frazione Rappresentazione 5 8 I numeri razionali r 0 1 2 2

La classificazione delle frazioni DEFINIZIONE. Le frazioni proprie sono frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore. ESEMPIO Rappresentazione 2 3 DEFINIZIONE. Le frazioni improprie sono frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore. ESEMPIO 8 5 È una quantità maggiore della grandezza stessa. I numeri razionali Rappresentazione 1 1 1 1 5 5 5 5 intero 3

La classificazione delle frazioni DEFINIZIONE. Le frazioni apparenti sono frazioni che hanno il numeratore uguale o multiplo del denominatore. ESEMPIO 3 3 8 4 e Esse rappresentano quantità intere. Rappresentazione 1 1 1 3 3 3 4 4 4 4 intero 2 interi I numeri razionali 4

Le frazioni equivalenti DEFINIZIONE. Due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne rappresentano sempre una parte uguale. ESEMPIO 2 3 Rappresentazione 4 6 6 9 2 3 Le tre frazioni rappresentano la stessa grandezza, per questo si dicono equivalenti. 4 6 6 9 I numeri razionali 5

Le frazioni equivalenti ESEMPIO Le frazioni 4 6 e 6 9 si originano dalla frazione 2 3 moltiplicando contemporaneamente numeratore e denominatore per una stessa quantità (rispettivamente per 2 e per 3). 2 3 2 2 4 6 2 3 6 9 3 3 4 6 Dividendo per uno stesso numero il numeratore e il denominatore delle due frazioni e otteniamo 9 6 la frazione di partenza. 4 6 2 2 2 3 6 9 3 3 2 3 PROPRIETÀ invariantiva delle frazioni. Se si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero, diverso da zero, entrambi i termini di una frazione, si ottiene una frazione equivalente alla data. I numeri razionali 6

Le frazioni equivalenti DEFINIZIONE. Si chiama numero razionale assoluto una classe di frazioni equivalenti; l’insieme di tutti i numeri razionali forma l’insieme dei numeri razionali assoluti. ESEMPIO 3 5 3 , 6 , 9 , 12 , 15 … 5 10 15 20 25 Questa classe di equivalenza rappresenta il numero razionale 3 5 TEOREMA. L’insieme dei numeri naturali N è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri razionali assoluti Q. I numeri razionali 7

Semplificazione di una frazione DEFINIZIONE. Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori comuni; si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile se il numeratore e il denominatore sono primi fra loro. ESEMPIO 32 40 Applichiamo la proprietà invariantiva delle frazioni dividendo successivamente numeratore e denominatore per i loro divisori comuni. 32 40 2 2 16 20 2 2 8 10 2 2 4 5 Osserviamo che avremmo potuto dividere il numeratore e il denominatore della frazione di partenza per 8, che è il M. C. D. (32; 40). REGOLA. Per ridurre ai minimi termini una frazione basta dividere numeratore e denominatore per il loro M. C. D. I numeri razionali 8

Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato REGOLA. Per trasformare una frazione ridotta ai minimi termini in un’altra di denominatore assegnato, basta moltiplicare entrambi i termini della frazione per il quoto tra il denominatore assegnato e quello della frazione data. I° caso: frazione ridotta ai minimi termini Vogliamo trasformare la frazione 3 in un’altra equivalente di denominatore 24. 4 3 4 I numeri razionali 3 4 6 6 18 24 9

Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato II caso: frazione non ridotta ai minimi termini Vogliamo trasformare la frazione 55 120 11 24 I numeri razionali 55 120 in un’altra equivalente di denominatore 72. 55 5 120 5 11 24 3 3 33 72 11 24 Frazione ridotta ai minimi termini 10

Trasformazione di più frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m. c. d. ) REGOLA. Per trasformare due o più frazioni in altre con lo stesso denominatore: 1. si riducono le frazioni ai minimi termini se necessario; 2. si calcola il m. c. m. dei denominatori (m. c. d. ); 3. si divide il m. c. d. per il denominatore di ciascuna frazione; 4. si moltiplicano i numeratori di ogni frazione per i corrispondenti quoti precedentemente ottenuti. 5 2 4 3 7 4 12 2 = 6 12 3 = 4 12 4 = 3 5 6 = 30 4 4 = 16 7 3 = 21 ESEMPIO 30 12 I numeri razionali 16 12 m. c. d. (2, 3, 4) = 12 21 12 11

Il confronto di frazioni Primo caso - Frazioni con denominatori uguali PROPRIETÀ. Se due frazioni hanno i denominatori uguali e i numeratori diversi, la maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. ESEMPIO 4 7 < 6 7 Secondo caso - Frazioni con denominatori disuguali PROPRIETÀ. Se due frazioni hanno i denominatori disuguali, dopo averle ridotte allo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore maggiore. ESEMPIO 3 e 7 4 11 I numeri razionali 33 e 28 44 44 33 28 > 44 44 3 7 > 4 11 12