LPLIKKUS JA LPMATUS Matemaatikute lhenemine Professor Peeter Lorents

LÕPLIKKUS JA LÕPMATUS Matemaatikute lähenemine Professor Peeter Lorents ÕTÜ Viitna 2017

Käsitletavad teemad • Lõpmatusest „nii ja naa“ • Lõplikkus ja lõpmatus matemaatika alustes – eelkõige hulgateoorias • Raskused ja ebameeldivused • Lõpmatuse ja lõplikkuse olemasolust (aktuaalne, potentsiaalne, ? ? ? ) • Mõned klassikalised määratlused • Milleks „tähti närida“ • Sest muidu … • Lõpmatuse erinevad ülesehitused

Lõpmatusest poeetiliselt • Matemaatika – see on lõpmatuse sümfoonia (nii refereeris kellegi öeldut üliõpilasest assistent A. Kivinukk, matemaatilise analüüsi praktikumis, sügissemestril aastal 1970)

Lõpmatusest pisut filosoofiliselt • Lõpmatus – materiaalse maailma ruumilise alguse ja lõpu puudumine ajas ning ruumis, selle (st materiaalse maailma) vormide, omaduste ning kvaliteetide mitmekesisuse piiramatus … (Loogika sõnastik) • Lõpmatus on vastuolu ja see on täis vastuolusid (Fr. Engels)

Lõpmatusest „kõrgemas“ matemaatikas (nt matemaatilises analüüsis) • Määratlus. Reaalarvude hulga laiendatud piirkond koosneb kõikidest reaalarvudest ja kahest sümbolist ehk punktist, ja (täpsemalt ) (miinus lõpmatus ja pluss lõpmatus) Neile sümbolitele laieneb järjestamise seosed järgmise reegli alusel: x iga reaalarvu x jaoks (Šilov G. Matemaatiline analüüs I) • + a = , kui a on lõplik + ei oma mõtet a = , kui a 0 a ei oma mõtet (Matemaatika entsüklopeedia)

Lõpmatusest matemaatika alustes • Matemaatika üheks aluseks on tänapäeval hulgateooria • „Järgnevad põlvkonnad meenutavad hulgateooriat kui haigust, millest inimkond on paranenud“ – nõnda olevat kõnelnud kuulus prantsuse matemaatik H. Poincare Roomas, aastal 1908 (vt P. Müürsepp 1985) • Küllap pidas H. Poincare silmas eelkõige „kantorismi“ • G. Cantor (1845 – 1918) – hulgateooria tunnustatud rajaja Hulgateoorias on lõplikkusele ja lõpmatusele mitmeid määratlusi, nt ØHulka nimetatakse lõpmatuks, kui selles leidub niisugune „päris osa“ (st selline osa, mis ei sisalda kõiki antud hulga elemente), mille kõik elemendid saab sättida üks-ühele vastavusse kõnealuse hulga kõikide elementidega ØHulka nimetatakse lõplikuks, kui ta pole lõpmatu

Poincare’d võib mõneti mõista, kuna • Cantori aegne hulgateooria mõistete määratlused olid allikaks väidetele, mis tundusid uskumatud ja kahjuks ka paradoksidele ehk väidetele, mis ühest küljest rangelt vaadelduna on õiged – teisest küljest ja seejuures sama rangelt vaadelduna on valed • Näide 1. Kahel erineva pikkusega sirglõigul on samapalju punkte! • Näide 2. Russell’i paradoks: vaatleme hulka, mille elementideks on kõik sellised hulgad, mis pole ise-enda elementideks. Ühest küljest peaks niisugune hulk olema ise-enda element. Teisest küljest ei saa nii olla. Sellest asjaolust teavitas noor B. Russell (1872 – 1970) oma kirjas kuulsat G. Frege’t (1848 – 1925)

Tänapäeval on mitmeid lähenemisi, nt • Klassikaline. (Aktuaalne lõpmatus) Lõpmatud hulgad saavad olemas olla n-ö valmis kujul • Konstruktiivne. (Potentsiaalne lõpmatus) Hulga lõpmatus seisneb selles, et on mingi algoritmiliselt teostatav viis seda hulka moodustavate elementide konstrueerimiseks (ehk siis – mingi algoritmi abil on võimalus vajaduse korral tekitada käsitletava hulga „nullis element“, „esimene element“, „teine element“ jne, jne). Ehk siis – lõpmatut hulka pole üldiselt aktuaalselt ehk n-ö valmis kujul olemas; lõpmatu hulk on olemas potentsiaalselt läbi võimaluse konstrueerida selle elemente nii palju kui soovime. • Ultrakonstruktiivne. (Lõpmatust polegi) Lõpmatust ja isegi nn väga suuri arve looduses pole! Vt nt arvu exp(2, 2)))). Ultrakonstruktivismiga seostatakse nt Sergei Jessenini poega Aleksandr Jessenin-Volpinit (1924 – 2016)

Mõned klassikalised määratlused (1) • Naturaalarvudeks on ØHulk, nimega tühi hulk (millel hulgateoorias tavaliselt tähiseks ), millel nimeks ka naturaalarv null ja tähiseks veel sümbol 0 ØKui mingi hulk tähisega n on naturaalarv, siis on naturaalarvuks ka selline hulk, mille tähiseks on n+1 ja mille elementideks on kõik hulga n elemendid ja lisaks neile veel hulk n ise samuti. Määratluse kohaselt: 0= , 1={0}, 2={0, 1}, 3={0, 1, 2}, 4={0, 1, 2, 3}, 5={0, 1, 2, 3, 4}, … … • Jadad. Lõplikeks jadadeks nimetatakse funktsioone, mille määramispiirkonnaks on mingi naturaalarv. Lõpmatuteks jadadeks nimetatakse funktsioone, mille määramispiirkonnaks on kõikide naturaalarvude hulk

Mõned klassikalised määratlused (2) • Lõplik hulk. Hulk on lõplik, kui leidub niisugune naturaalarv, mille korral on vaadeldava hulga ning nimetatud naturaalarvu elementide vahel üks-ühele vastavus • Lõpmatu hulk. Hulk on lõpmatu, kui see pole lõplik • Lõpmatu hulk Dedekind’i järgi. Hulk on lõpmatu, kui see sisaldab niisugust osahulka, mille moodustab mingi paarikaupa teineteisest erinevate elementidega lõpmatu jada väärtuste piirkond (vt nt Kuratowski, Mostowski raamatust „Set theory“) Matemaatik Richard Dedekind (1831 – 1916) olevat olnud üks vähestest, kes suutis mõista ning arendada Georg Cantori hulgateooriat.

Mõned klassikalised määratlused (3) • Kardinaalarvud. Olgu meil mingi hulk H. Kõik sellised hulgad, mis saavad olla hulgaga H üks-ühele vastavuses, moodustavad hulga, mida nimetatakse hulga H kardinaalarvuks ning tähistatakse sümboliga Card(H) • Lõplikud hulgad. Hulka H nimetatakse lõplikuks, kui Card(H) + 1 • Lõpmatud hulgad. Hulka nimetatakse lõpmatuks, kui see pole lõplik (vt nt Nicolas Bourbaki „Theorie des ensembles“) Märkus. Nicolas Bourbaki on pseudonüüm, mida kasutas rühm prantsuse matemaatikuid, kes „laenasid“ nime – Bourbaki – ühelt kreeka juurtega prantsuse kindralilt – Charles Denis Sauter Bourbaki (1816 – 1897), keda on mainitud ka kui kandidaati Kreeka Kuningriigi kuningaks, aastal 1862. Bourbaki jäi aga teenima prantsuse keisrit (Napoleon III).

Nicolas Bourbaki

Mõned klassikalised määratlused (4) Osahulgad ja lõplikud hulgad • Osahulgad. Olgu meil kaks hulka, mille tähisteks vastavalt A ja B. Hulk A on hulga B osahulk, kui hulgas A pole ühtegi niisugust elementi, mis ei kuulu hulka B. Ehk teiste sõnadega: hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A iga element on ühtlasi hulga B element. • Saab tõestada, et iga hulk on iseenda osahulk ja tühi hulk on iga hulga osahulk. Siit omakorda järeldub veider tõsiasi: tühjas hulgas pole elemente, kuid osahulk on – tema ise! • Lõplikud hulgad (Tarski lemma). Hulk H on lõplik siis ja ainult siis, kui igas sellises kogumis G, mille elementideks on hulga H mingid osad, leidub vähemalt üks niisugune element M (ehk niisugune osa hulgast H), mis omakorda pole osaks mitte üheski teises osas (hulgast H), mida sisaldab elemendina kogum G.

Näide Tarski lemma illustreerimiseks Olgu meil hulgaks H={x, y, z}. Sellel hulgal on 8 osahulka: , {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}. Moodustame osade kogumi G. Olgu selle elementideks hulga H osad , {y}, {x, z}, {y, z}. Näeme, et selles kogumis on lausa NB! kaks erinevat maksimaalset elementi osaks olemise seose mõttes: {x, z}, {y, z} – sest kogumis G pole ühtegi osa, mis erineks osast {x, z} ja kuhu {x, z} ise osana kuuluda saaks. Sama lugu on osaga {y, z}. Samas kuulub {y} osana endast erinevasse paari {y, z}. Tühi hulk erineb kõikidest hulga G elementidest (mis on hulga H osad), kuid samas on ta osaks hulgas {y}, hulgas {x, z} ja lõpuks ka hulgas {y, z}.

Miks on lõplike hulkade käsitlemisel vaja niisugust „tähenärimist“ ? • Kuidas muidu mõista ja aru saada? • Kuidas garanteerida, et „liga-loga“ moodustatud mõistetega opereerides mingit „jama“ ei teki (meenutame Russelli paradoksi) • Kuidas garanteerida, et (seni) uskumatud või vähemalt mitteharjumuspärased väited saavad üleüldse arusaadavad ning veel õiged olla?

Kaks näidet (1) Kui „viskame“ kõikide täisarvude seast välja kõik negatiivsed täisarvud (ehk n-ö pooled elemendid), siis kõik see, mis järele jääb, sisaldab täpselt samapalju elemente, kui kõikide täisarvude hulk ? ! Veendume selles: • … … – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, … … • 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, … … 0, – 1, +1, – 2, +2, – 3, +3, … …

Kaks näidet (2) Guido Grandi (kirjutas aastal 1703) Vaatleme summat 1 + (– 1) +1 + … … • Arvutame: [1 + (– 1)] +[1 + (– 1)] + … … = 0 (1671 – 1742) • Arvutame teisiti: 1 + [(– 1) +1] + … … = 1 • Kas sellisel juhul on raske uskuda, et Jumal võis maailma eimillestki luua?

Aga veel: erinevad määratlused toovad esile erineva ülesehitusega lõpmatusi Olgu lõpmatu hulga elementide vahel binaarne järjestuse seos, nt seos nimega „…on väiksem, kui …“ Näide 1. Olgu ülalmainitud nimega seos määratud naturaalarvude vahel. Niisugusel juhul on lõpmatus hulgas olemas nn esimene element, pärast mida „tulevad“ kõik ülejäänud elemendid. Pole aga viimast elementi. Näide 2. Olgu ülalmainitud nimega seos määratud naturaalarvude vastandarvude vahel. Niisugusel juhul on lõpmatus hulgas olemas nn viimane element, enne mida „tulevad“ kõik ülejäänud elemendid. Pole aga esimest elementi. Näide 3. Olgu ülalmainitud nimega seos määratud täisarvude vahel. Niisugusel juhul pole ei esimest ega viimast elementi. Näide 4. Olgu ülalmainitud nimega seos määratud ratsionaalarvude vahel. Niisugusel juhul pole ei esimest ega viimast elementi. Seejuures – NB! iga kahe erineva vahel on neist erinev kolmas! Sellist asja täisarvude korral polnud!

Kardinaalarve saab võrrelda! Määratlus. Olgu meil kaks hulka A ning B ja nende kardinaalalarvud Card(A) ja Card(B). Kui A ja B vahel pole üks-ühele vastavust kuid hulk B sisaldab osa D, mis pole võrdne hulgaga B ja samas on üks-ühele vastavuses hulgaga A, siis ütleme, et hulga A võimsus on väiksem hulga B võimsusest ehk hulga B võimsus on suure hulga A võimsusest ja kirjutame Card(A) < Card(B). Kui leidub erineva võimsusega lõpmatuid hulkasid, siis on päris veidral moel erinevat lõpmatust: üks lõpmatu hulk võib olla „lõpmatum“ kui teine lõpmatu hulk!

Lõplike hulkade korral on olemas erinevad kardinaalarvud! Erinevad kardinaalarvud esinevad ka lõpmatuse korral! • Meenutame, et kardinaalarvude võrdsus väljendas üks-ühele vastavuse olemasolu hulkade elementide vahel Teoreem (Cantor). Kõikide naturaalarvude hulk ei saa olla üks-ühele vastavuses kõikide reaalarvude hulgaga. Suur probleem (kontiinumi hüpotees): Leidub hulka, mille võimsus on suurem kõikide naturaalarvude hulga võimsusest, kuid väiksem kõikide reaalarvude hulga võimsusest Lahendus: Võib olla nii ja naa!?

Tänan tähelepanu eest