Los primeros aprendizajes algebraicos Cuando las letras entran

Los primeros aprendizajes algebraicos. Cuando las letras entran en la clase de Matemática. Informe sobre una investigación en marcha. Mabel Panizza - Patricia Sadovsky - Carmen Sessa Ciclo Básico Común y Fac. de Cs. Exactas y Naturales. UBA. Presentación realizada por: Adelfa Hernández. Maestría en Enseñanza de la Matemática. UPEL

Preliminares n Trabajo presentado en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina -REM, Rio Cuarto octubre de 1995. …como dijéramos antes, estas reflexiones se encuentran en pleno estado de elaboración y tienen, por lo tanto, un alto grado de provisoriedad. El objetivo de comunicarlas vale la pena resaltarlo- es someterlas al debate y a la confrontación.

1. Introducción n n …identificar las condiciones de apropiación del álgebra elemental en alumnos de la escuela media. Inscribimos la misma en el marco teórico y metodológico de la Teoría de Situaciones ( Brousseau, G; 1987) y de la Ingeniería Didáctica (Artigue, M; 1988). . . reflexiones, con el aporte de resultados de distintas investigaciones en Didáctica de Algebra.

2. Análisis previos. Ante la pregunta "Qué diferencia hay entre afirmar que '2+3=3+2' y afirmar que 'a+b = b+a' ? " n para una gran parte de los alumnos, una ecuación se identifica con el procedimiento que se debe realizar para resolverla. n

2. Análisis previos n Ante la demanda específica de decidir si un número dado era solución de una ecuación dada, sólo el 16% de los alumnos reemplazó el valor en la ecuación, mientras que el 80% comparó el valor dado con el obtenido al resolver la.

2. Análisis previos n A la pregunta : "Por qué te parece que se usan letras en la clase de matemática? ", se obtuvieron una gran cantidad de respuestas que no otorgan a las letras ningún uso específico, si no más bien un status superior, una mayor complejidad.

2. Análisis previos n Al requerir a los alumnos que propusieran una ecuación que tuviera al número 5 como solución, gran parte de los estudiantes escribió una expresión del tipo a x + b = 5. Este resultado indica que la mayoría de los alumnos interpreta que "solución de una ecuación" alude a "resultado, escrito a la derecha de un signo igual".

2. Análisis previos n Cuando se les pidió que escribieran una solución de la ecuación 3 x + 2 y = 7 y casi ningún alumno pudo obtenerla. Algunos estudiantes "agregaron" otra ecuación lineal y resolvieron el sistema. Si bien los alumnos habían estudiado sistemas lineales indeterminados, no pudieron reconocer que las infinitas soluciones de un sistema de dos ecuaciones indeterminado , son también

3. Restricción del problema : "los primeros aprendizajes de las herramientas algebraicas" n n Estudio exploratorio, en base a: a) Los resultados de la encuesta exploratoria b) Distintos trabajos de investigación hacen referencia a la compleja problemática del pasaje de la aritmética al álgebra (Chevallard, Y; 1984, 1989, Vergnaud, G; 1987, Kieran, C; 1989 ). c) Esta investigación se propone, entre otras cosas, identificar las relaciones existentes entre condiciones delas situaciones didácticas ( a propósito del álgebra), y los distintos sentidos que los alumnos construyen a través de las mismas.

cuestiones centrales n n ¿Qué situaciones ponen de manifiesto la insuficiencia de la aritmética y la necesidad de representar relaciones que requieran el uso de variables e incógnitas? ¿Cuál es la complejidad máxima de una situación para que ésta sea abordable por quienes recién se están aproximando a la herramienta algebraica? ¿Cuál es la mínima para que tenga sentido dicha herramienta? G. Vergnaud y A. Cortés (1987 Y. Chevallard (1984)

Las vías de entrada al álgebra Las prioridades n n Estaba claro para nosotras que debíamos respondernos muchos interrogantes de diseñar y poner a prueba una propuesta global. Definimos entonces como prioritario: 1) profundizar en el análisis de las diferentes "vias de entrada" y 2) conocer mejor lo que estaba sucediendo en el sistema en relación a la enseñanza de las primeras herramientas algebraicas. Esa fue la tarea que abordamos, en la que nos encontramos actualmente, y que relataremos a continuación. Lo que sigue intenta reflejar los análisis que hemos realizado que, por encontrarse en estado de elaboración, son necesariamente parciales, incompletos y provisorios.

Las vías de entrada al álgebra 4. 1. 1 Leyes n Se podría pensar , por ejemplo , que las propiedades aritméticas requieren del álgebra para ser formuladas. Sin embargo los chicos "manejan" ciertas leyes (por ejemplo la conmutativa para la adición de naturales) sin que vean la necesidad de expresarla mediante el uso de variables.

Las vías de entrada al álgebra 4. 1. 1 Leyes n En tanto la ley general puede expresarse a través de ejemplos, estos ejemplos representan la ley y dejan sin sentido la necesidad de apelar a las letras para representar "un número cualquiera".

Las vías de entrada al álgebra 4. 1. 2 Ecuaciones e inecuaciones n n ¿ Cuáles son las condiciones que deben cumplir los problemas para que las ecuaciones resulten un instrumento " necesario" ( por imprescindible o por económico)? ¿Dado un problema que puede resolverse con recursos aritméticos, es posible identificar variables didácticas que lo transformen en un problema algebraico(**)? (**) Llamamos variables didácticas a aquellos elementos de la situación sobre los que el docente puede actuar para provocar modificaciones importantes en las estrategias de resolución de los alumnos.

Las vías de entrada al álgebra 4. 1. 3 Funciones ¿Son las letras necesarias para manejarse con el concepto de función? n ¿Cuáles son los sentidos de las letras que se ponen en juego con esta entrada? ¿Cómo se relacionarían éstos con otros usos? ¿Cómo jugarán en el momento del trabajo con ecuaciones? n n

Las vías de entrada al álgebra 4. 2 La relación aritmética-álgebra en el sistema de enseñanza Las problemáticas elegidas se centraron en dos aspectos: n ¿Cómo se establece la relación aritmética- álgebra? n n a) la enseñanza usual no tiene por objetivo introducir al álgebra como herramienta que hace posible resolver problemas para los que la aritmética resulta insuficiente; b) las expresiones y relaciones algebraicas son tratadas como generalizaciones de la aritmética.

Las vías de entrada al álgebra 4. 2 La relación aritmética-álgebra en el sistema de enseñanza Las problemáticas elegidas se centraron en dos aspectos: n ¿Cómo se establece el cambio institucional primaria-media? n n Los primeros aprendizajes del álgebra se insertan en el comienzo de la escuela media. Es así que, a diferencia de otras rupturas conceptuales que se producen dentro del mismo marco institucional, la ruptura que supone el aprendizaje del álgebra se inserta dentro de otra, la institucional.

Las vías de entrada al álgebra 4. 2. 3. La búsqueda de indicadores relevantes n n n Las variables seleccionadas son las siguientes : - El docente tiene en cuenta el conocimiento previo de los alumnos tanto a nivel de conceptos como de símbolos y formas de representación. - El docente explicita relaciones entre conceptos ya aprendidos y los que está planteando a) a nivel del sujeto que aprende b) a nivel del objeto matemático.

Las vías de entrada al álgebra 4. 2. 3. La búsqueda de indicadores relevantes La letra hereda automáticamente el manipuleo aritmético. n - El docente explicita el sentido del signo igual. n - Problematización de la actividad a) problema aritmético b) problema algebraico c) la actividad conduce a conceptos que pretenden ser el contenido de la clase d) las letras como herramientas para resolver problemas e) conflicto cognitivo n

Las vías de entrada al álgebra 4. 2. 3. La búsqueda de indicadores relevantes - El docente favorece resoluciones de los alumnos previas a su intervención. n - El docente se refiere a las letras como número desconocido, variable, incógnita. ____ n - Cuando el docente manipula ecuaciones a) habla de deshacer operaciones b) se remite a las propiedades de los números. - El docente se refiere al conjunto solución. Explicita que se conserva a través de las transformaciones. n - Se verifica la ecuación a posteriori de la resolución. n

Crítica La ingeniería didáctica Vs la didáctica tradicional de los docentes. n Procedimientos para la observación n Necesidad de obtener información detallada sobre los estudiantes. n