LORIGINE DELLA GEOMETRIA Credere che una scienza esista

L'ORIGINE DELLA GEOMETRIA Credere che una scienza esista a partire da un determinato momento è una ingenuità. Nelle sue Storie, Erodoto, che visse in Grecia nel secolo V a. C. , parlava della geometría indicando come causa della sua origine lo straripamento annuale del Nilo. Ciò causava la scomparsa dei confini dei campi e obbligava i «tenditori di corda» a fare nuove misurazioni delle terre. Raccontava anche il Faraone Sesostris divise la terra fra tutti gli egiziani, dando a ciascuno un rettangolo di uguale dimensione, con l'intenzione di recuperare un affitto per mezzo di un contributo che serebbe stato riscosso annualmente. Allorchè il passaggio del Nilo causava la riduzione della porzione di terreno assegnata al suddito, questi doveva andare dal Faraone a notificarlo. Degli ispettori venivano mandati sul posto per controllare la riduzione del terreno e per reintegrarlo o per fare in modo che, comunque, il suddito conferisse il dovuto contributo in quantità proporzionale al terreno esistente. In questo modo, secondo Erodoto, a causa della necessità di saper misurare il terreno, si originó la scienza che chiamiamo geometría. Questa più tardi si diffuse in Grecia.

Ci sono problemi geometrici che ci lasciano perplessi perchè la risposta elementare spesso sembra complicarsi in un modo inverosimile. Vediamo alcuni esempi

IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA Osserva la figura e calcola il raggio del cerchio.

SOLUZIONE Dato che la diagonale di 8 cm ha la stessa lunghezza del raggio della circonferenza, la risposta è 8 cm.

IL LATO DEL ROMBO In una piazza circolare di r=9 m. si vuole costruire una vasca di forma rombica, come nella figura. Quanto misura il lato del rombo?

SOLUZIONE Basta rendersi conto che il lato AC è il raggio del cerchio e AE e BD sono diagonali di un rettangolo. Pertanto, sono uguali in lunghezza. Lato del rombo = 9 m.

ANGOLO DELLE DIAGONALI Quanti gradi misura l'angolo formato dalle due diagonali delle facce del cubo?

Soluzione 60°. Basta osservare che, disegnando la diagonale BC dell'altra faccia, si forma un triangolo equilatero.

COLPO D'OCCHIO Due circonferenze secanti hanno per centri P e Q. Il segmento PQ misura 3 cm. Per uno dei punti d'intersezione (O) disegnamo una retta parallela al segmento PQ. Siano M e N i punti d'intersezione della retta con le circonferenze. Quanto misura MN?

Soluzione MN = 6 centímetri. Disegnando da P e Q le perpendicolari al segmento MN, s'individuano i punti R e S. Siccome MR=RO e NS=SO e RS=PQ, allora MN = 2 PQ.

L'angolo ottuso Quanto misura l'angolo ottuso ABC? A, B e C sono i punti medi dei lati.

Soluzione 120°. Per dare la risposta basta considerare che ABCDEF è un esagono regolare.

L'angolo esterno Nel triangulo isoscele ABC l'angolo A misura 50°. Qual è la misura dell'angolo x?

Soluzione Se il triangolo è isoscele, allora B = C = (180°-A)/2 = 130°/2 = 65°. La conseguenza è che : x= 180°-C = 180°- 65° = 115°.

Quadrati che s'intersecano Son dati due quadrati congruenti sovrapposti in modo che un vertice dell'uno sia sempre nel centro dell'altro. In quale posizione l'area compresa fra i due quadrati è la maggore possibile?

Soluzione L'area compresa fra i due quadrati è sempre la quarta parte di un quadrato perchè i triangoli ABC e CDE sono in ogni caso congruenti

Similitudine di rettangoli In un quadro, la larghezza del telaio è la stessa nelle due direzioni, verticale ed orizzontale. Il rettangolo formato dal telaio è simile a quello costituito dalla tela dipinta?

Soluzione Non lo sono, perchè i rapporti: sono sempre diversi, fuorchè nel caso del quadrato (in cui a=b).

Pacchetto postale Un uomo vuole inviare per posta un oggetto che di lunghezza misura 92 cm , ma le regole del servizio postale non permettono l'accettazione di pacchetti superiori a 55 cm. Come lo si può spedire per posta senza romperlo o piegarlo e senza contraddire le regole postali?

Soluzione Per l'invio, può utilizzare una scatola cubica con lato di 55 cm. Infatti una scatola di questo tipo ha la diagonale di 95 cm.

Quadrati Come mostra la figura, a una circonferenza si possono inscrivere e circoscrivere quadrati. Sapendo che l'area del quadrato inscritto ha la superficie di 4 unità di misura, calcola l'area del quadrato maggiore.

Soluzione Invece di mettere il quadrato inscritto come indicato nella figura precedente, disegnamolo adesso nella posizione mostrata dalla figura sottostante. Si osserva che l'area del quadrato più grande è il doppio di quello inscritto, (cioè 8 unità di misura)

Educare l'intuizione Alcune situazioni sembrano essere contro l'intuizione, ma non ci si libera dall'ostacolo dicendo: "se la realtà è opposta alle mie idee, peggio per la realtà. " L'intuizione, può essere raffinata, educata. Cerchiamo di farlo attraverso i seguenti problemi.

La cintura della Terra Immaginate una corda che come una cintura circondi la Terra in corrispondenza dell'Equatore. Lasciatemi aggiungerle una stringa di un metro. La cintura adesso risulta più larga per la Terra? L'intuizione suggerisce che il divario con la misura precedente è molto piccolo perché il metro in più rappresenta ben poco della circonferenza della Terra. Invece è più difficile pensare che se si mettesse una cintura intorno a un'arancia e vi si aggiungesse poi una metro si arriverebbe per l'arancia alla stessa conclusione. L'aumento della lunghezza del raggio non sarebbe lo stesso E 'vero?

Soluzione Un semplice calcolo conferma una cosa sorprendente. Sia R il raggio della sfera (Terra o arancia), la cintura esatta è 2π R. Quando aggiungiamo un metro, la sua misura passa a 2π R +1. Il raggio che ha la nuova circonferenza è (2πR +1) / 2π. La differenza di raggio dà un gioco che è, in entrambi i casi, soltanto di: 1/2 = 15, 91549. . . cm. . Che ne pensate della vostra intuizione?

La cintura quadrata Che succederebbe se la Terra fosse un cubo?

Soluzione Il gioco sarebbe di circa 0, 125 metri = 12, 5 centimetri in entrambi i casi. La vostra intuizione ha fallito?

Rotaia dilatata Immaginate un tratto rettilineo di pista, una rotaia AB lunga 500 metri appiattita a terra e fissata alle due estremità. Sotto il caldo dell'estate, la rotaia si espande di due metri, causando una gobba. Supponendo che la rotaia s'inarchi simmetricamente, quanto sarebbe alta la gobba nel mezzo? Dieci centimetri? Quanto una metropolitana? Dieci metri?

Soluzione Poiché la lunghezza complessiva della rotaia è ora a 502 metri, ogni metà sarà di 251 metri. Senza immaginare una gobba curva, per facilitare il calcolo che ci dia un'idea, possiamo ipotizzare che la gobba sia costituita da due tratti dritti incerneriati nel mezzo. In tale modo possiamo ottenere una stima dell'altezza h utilizzando il teorema di Pitagora: 22 metri! Ancora una volta l'intuito ha fallito.

Ponte senza dispositivo di dilatazione Un ponte di metallo è lungo 1 km. A causa del calore si espande di 20 cm. Se non fosse fornito di un sistema per assorbire questa espansione, il ponte s'inarcherebbe formando un triangolo isoscele di altezza h e la cui base sarebbe lunga quanto esso lo era prima della dilatazione. Quanto misura h? L'intuito ci suggerisce che, se il ponte di 1 Km si è allungato di soli 20 cm, l'inarcamento è sicuramente trascurabile!

Soluzione Dieci metri! La soluzione del problema è elementare, ma ciò che sorprende è la grandezza della soluzione. Bisogna trovare il cateto di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è metri 1000, 20 / 2 = 500, 1 m. e 500 m. l'altro cateto. L'intuizione può ingannare?

Nove angoli Calcola il valore di tutti gli angoli della figura sapendo che l'angolo 1 misura 70°

Soluzione Gli angoli 9 e 8 sono retti (90°). Gli angoli 1+9 danno 160° perciò il 2 è di 20°. Gli angoli 2+3+4 danno 90° perchè formano un angolo alla circonferenza inscritto in una semicirconferenza (il triangolo grande è un triangolo rettangolo). Nel triangolo grande 1+(2+3+4) = 70°+90° = 160°; ne consegue che l'angolo 5 è di 20°. Il triangolo con gli angoli 4, 5 e 6 è isoscele perchè due suoi lati sono i raggi della circonferenza; perciò l'angolo 4 è uguale all'angolo 5 e misura 20°. In questo triangolo isoscele gli angoli 4+5 = 40°, perciò l'angolo 6 = 140°. Se 2+3+4 = 90° e 2 = 20° e 4 = 20° , ne consegue che il 3 è 50°. Gli angoli 8+3 = 140° , allora il 7 = 40°

Area della corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche e disegnamo una retta tangente la circonferenza interna. Essa, ovviamente, interseca quella esterna in due punti. Immaginiamo che la distanza tra uno qualsiasi di questi punti e il punto di tangenza sia di 1 m. Qual è l'area della corona circolare? ( KI = 1 m)

Soluzione Sia R il raggio del cerchio più grande e r il raggio del cerchio minore. Essi, con KI, formano il triangolo rettangolo KIC; dove R=KC e r=CI. Applicando il teorema di Pitagora si ha che l'area di questa corona è π perchè KI=1. Se KI=2 l'area sarebbe 4π. Se KI=3 l'area sarebbe. . .

Triangoli Due triangoli hanno rispettivamente i lati di: 5, 5, 6 e 5, 5, 8 Quale dei due ha superficie maggiore?

Soluzione Ricordiamo la terna pitagorica 3, 4, 5. Essa è costituita dalle misure dei lati di un triangolo rettangolo. Un triangolo con due lati che misurano 4 e 5, deve avere il terzo lato di 3. Nel triangolo 5, 5, 8 dividete il lato di 8 in due parti di 4. Avrete due triangoli di 4, 5, 3. Un triangolo con due lati che misurano 3 e 5, deve avere il terzo lato di 4. Nel triangolo 5, 5, 6 dividete il lato di 6 in due parti di 3. Avrete due triangoli di 3, 5, 4. RISPOSTA: Essi hanno la stessa area. Entrambi possono essere divisi a metà per fare due triangoli di 3, 4, 5.

La misura della mediana Nel triangolo ABC, rettangolo in A, l'ipotenusa misura=10, e i due cateti sono lunghi rispettivamente 8 e 6. Determina in 30 secondi il valor della mediana AM.

Soluzione Basta ricordare che tutti i triangoli rettangoli si possono sempre inscrivere in una circonferenza il cui diametro corrisponda all'ipotenusa. Nel nostro caso il diametro è l'ipotenusa che misura 10. La mediana AM è il raggio, perciò misura 5.

Sfera e cilindro Una sfera pesa 40 kg. Viene messa delicatamente all'interno di un cilindro, colmo d'acqua, in cui entra esattamente. Dopo questa operazione, il cilindro e il suo contenuto pesano complessivamente 20 kg. Qual è il volume del cilindro? Qual è la densità della sfera?

Soluzione Il volume della sfera è 2/3 il volume del cilindro: Continua

Soluzione Quando la sfera s'immerge completamente nel cilindro, i 2/3 dell'acqua che vi è contenuta fuoriesce. Il peso complessivo aumenta per il peso della sfera (40 kg) e diminuisce per i due terzi del peso dell'acqua contenuta inizialmente nel cilindro. (Se 1 kg di acqua = 1 decimetro cubo di volume allora i 2/3 del peso dell'acqua corrispondono a 2/3 del volume in decimetri cubi del cilindro) Se adesso il peso complessivo è 20 Kg, possiamo determinare il volume del cilindro: . Continua

Soluzione Il volume della sfera rispetto a quello del cilindro è: La densità della sfera è:

Sfere dipinte Un rivenditore di biliardi ha come logo della sua azienda due sfere disuguali, solide e fatte dello stesso legno. La più grande pesa 27 kg e la piccola 8 kg. Il commerciante si propone di dipingere le insegne. Con 900 grammi di vernice dipinge la sfera più grande. Quanti grammi sono necessari per dipingere la più piccola? (La quantità di vernice da utilizzare è proporzionale alla superficie da verniciare)

Soluzione I volumi delle due sfere e, quindi, i pesi sono proporzionali al cubo del raggio. Continua

Soluzione Per quanto rigurda le superfici: Le superfici e, quindi, la quantità di vernice sono proporzionali al quadrato del raggio. Il rapporto fra i raggi è: Continua

Soluzione Sia x il peso in grammi della vernice necessaria per dipingere la piccola sfera. Si ha:

Il palo rotto Un palo è di 32 metri di altezza. Un giorno un fulmine lo spezza e la parte superiore, cadendo, si appoggia sul pavimento formando, con la parte rimanente, un triangolo di 16 metri di base. A quale altezza si è rotto il palo?

Soluzione Applicando il teorema di Pitagora si può scrivere:

Unire con un singolo tratto. Possibile o impossibile? Un vertice è dispari se esso è l'inizio di un numero dispari di percorsi; invece è pari se lo è di un numero pari di cammini. Il problema di unire tutti i vertici di una figura con un unico tratto (senza sollevare la matita dal foglio) è impossibile se la rete che si dovrebbe formare ha più di due vertici dispari. E' possibile: a) quando tutti i vertici sono pari, e allora il punto di partenza può essere uno qualsiasi. b) Quando non vi sono più di due vertici dispari, e allora in questo caso il percorso inizia in un punto e termina in un altro.

Soluzione I vertici delle figure nella parte superiore si possono unire con un solo tratto. E' impossibile farlo per le figure del gruppo inferiore.

Finestra ridotta a metà Una finestra quadrata è di 1 metro di lato. Siccome è esposta a sud, vi entra troppa luce. Per questo motivo, coprendone una parte, la sua apertura viene ridotta a metà. Dato che la finestra risulta ancora di forma quadrata e sempre con larghezza e altezza di 1 m, sapresti dare una spiegazione di questa strana soluzione del problema?

Soluzione La figura mostra la soluzione.

Giri di monete uguali Due monete identiche A e B si trovano nella posizione indicata nella figura. La moneta B resta ferma mentre l'altra, senza striscisciare, le ruota intorno fino a ritornare nella sua posizione iniziale. Quante giri farà la moneta A?

Soluzione La moneta A farà due giri. Non ci credete? Prendete due monete e provate.

Sottobicchiere e tovagliolo Abbiamo un sottobicchieri circolare e un tovagliolo quadrato. Trova il centro del sottobicchiere con il solo aiuto del tovagliolo e di una matita.

Soluzione Si pone un angolo del tovagliolo su uno dei punti della circonferenza del sottobicchiere. L'angolo ABC è un angolo retto poiché appartiene al quadrato; di conseguenza, il segmento AC è un diametro della circonferenza. Si disegna sul sottobicchiere una linea AC a matita e si ripete la stessa operazione, come per B, scegliendo un qualsiasi altro punto sulla circonferenza dello stesso sottobicchiere. Il disegno del secondo diametro fa trovare il centro del cerchio nel punto d'intersezione col primo.

L'ombra sconosciuta Il triangolo ha il suo vertice al centro del quadrato. Qual è l'area della parte ombreggiata?

Soluzione I triangoli ombreggiati, nella figura qui sotto, sono congruenti. Se quello in basso si sostituisce con quello a sinistra, si scopre che l'area richiesta è il quarto della superficie della piazza. A = 36/4 = 9.

La mediana Dimostrare che ciascuna mediana di un triangolo è inferiore alla media dei lati adiacenti. Nella figura qui sotto, dimostrare che x <(a + b) / 2.

Soluzione Si disegna semplicemente un triangolo uguale a quello dato, ma disposto, come illustrato nella figura, di fronte alla base, E' evidente che la diagonale di un quadrilatero non può essere superiore alla somma di due suoi lati consecutivi. Dividendo la diagonale per due si ha la mediana del triangolo, che quindi non può essere pari o superiore alla metà della somma degli stessi lati.

Esagono regolare e triangolo equilatero Un triangolo equilatero e un esagono regolare hanno lo stesso perimetro. Se l'esagono ha una superficie di 6 m 2, quale sarà l'area del triangolo?

Soluzione La semplice osservazione della figura mostra la soluzione: Perimetro uguale; area esagono = 6 area triangolo = 4

Area del quadratino Sia dato un quadrato di 10 cm di lato. Quanto vale l'area del quadratino ombreggiato se A, B, C e D sono i punti medi dei lati del quadrato?

Soluzione Se si uniscono i quattro triangoli rettangoli in modo da completare i quattro trapezi laterali, si vede che il piccolo quadratino ha area 20, cioè la quinta parte di quella del quadrato grande.

Rettangolo, diagonale e triangoli La base del rettangolo ABCD è 8 e l'altezza 3. I punti E e F dividono la diagonale AC in tre parti uguali. Quanto misura la superficie del triangolo BEF?

Soluzione I triangoli AEB, BEF e FCB hanno la stessa area perchè hanno basi uguali e la stessa altezza BH. Ognuno di essi ha la terza parte dell'area del triangolo ABC, perciò: Area del triangolo BEF

I due cerchi Il cerchio 1, che ha area 4, passa per il centro del cerchio 2 a cui è tangente internamente. Qual è l'area del cercio 2?

Soluzione Indichiamo con r e R, rispettivamente, i raggi dei cerchi 1 e 2:

Area Quanto misura la superficie della zona ombreggiata della figura?

Soluzione L'area del quadrato è 16. I tre triangoli hanno area 4. La parte ombreggiata ha area 16 -12=4

Il prato con quattro capre In un prato quadrato di 100 metri di lato, ci sono quattro capre. Ognuna è stata legata a un angolo del prato con una corda di 50 metri; ciò permette che possano mangiare una parte esclusiva del prato, ma al centro rimane una zona d'erba di cui nessuna potrà cibarsi. Il propietario, dopo aver venduto tre capre, allunga la corda di quella che resta in modo che l'area su cui può pascolare sia equivalente a quella su cui precedentemente pascolavano in quattro. Che lunghezza ha la corda?

Soluzione L'area utilizzata dalle quattro capre è quella di un cerchio di raggio 50 m Quella rimasta, essendo legata ad un angolo, può pascolare solo su di un quadrante che per avere quell'area deve appartenere ad un cerchio la cui area sia 4 volte più grande. La corda è lunga 100 m come il lato del campo:

Tre circonferenze tangenti esternamente Date tre circonferenze congruenti e tangenti esternamente a due, calcola l'area della superficie che esse racchiudono fra di loro.

Soluzione L'area della parte in giallo si ottiene come differenza fra l'area del triangolo equilatero, di lato=2 r, e quella dei tre settori circolari ampi ciascuno 60° Continua

Soluzione Per via algebrica si ha: