Lorbite de Mars par J Kepler 18012005 Orbite

L’orbite de Mars par J. Kepler 18/01/2005 Orbite de Mars

Contexte historique • Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements. • Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre ère) a prévalu jusqu’au XVIIème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire un corps fixe. • L’astronome polonais Nicolas COPERNIC (1473– 1543) proposa une représentation héliocentrique du système solaire montrant le double mouvement des planètes sur ellesmêmes et autour du Soleil, théorie condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures. • Un siècle plus tard, l’astronome allemand Jean KEPLER (15711630) , convaincu que la distribution, la forme et les dimensions des orbites n’étaient pas dues au hasard mais régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été le disciple. C’est ainsi qu’il établit une très belle théorie concernant l’orbite de Mars et qu’il énonça les trois lois dites lois de Kepler. 18/01/2005 Orbite de Mars 2

Principe de la méthode de Kepler • Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare de l’observateur. • Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles constituant le décor. • Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux d'observation assez éloignés. • Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même place dans le repère héliocentrique de Copernic. • Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars » . 18/01/2005 Orbite de Mars 3

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Révolution sidérale et révolution synodique La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre. Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées. relation période synodique – période sidérale 18/01/2005 Orbite de Mars 6

Révolution sidérale et révolution synodique La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre. Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées. 18/01/2005 Pour une planète extérieure intérieure Orbite de Mars 7

Mesure de la période synodique Observation des temps d’opposition La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique. Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes. La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des intervalles de temps entre oppositions successives. 18/01/2005 Orbite de Mars 8

Mesure de la période synodique Observation des temps d’opposition On peut utiliser l’observations des configurations Mars – Soleil soit avec : • un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque l’on fait défiler le temps. Les temps observés peuvent être imprécis. • un calculateur d’éphémérides (ICE ou serveur de l’IMCCE) et cher par interpolation soit - le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales pour la conjonction - le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions. et inversement si l’on utilise les longitudes héliocentriques. 18/01/2005 Orbite de Mars 9

Mesure de la période synodique Temps des oppositions : Temps des oppositions avec Skyglobe configuré à Londres, face au Sud, à minuit en hiver ou 1 heure en été. Sans toucher à l’heure, avancer ou reculer le temps de mois en mois d’abord, puis de jour en jour à l’approche de l’opposition jusqu’à ce que Mars soit dans le méridien. Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de l’année rigoureusement à minuit dans le demi-méridien nord l’indication de date est légèrement approchée. On peut l’obtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts l’instant où les ascensions droites deux astres diffèrent exactement de 12 heures. 18/01/2005 Orbite de Mars 10

Mesure de la période synodique Temps des oppositions avec les éphémérides On peut cher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de Mars sont exactement opposées. Méthode fastidieuse et longue. Il est plus facile de faire calculer aux alentours de l’opposition les longitudes de Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel d’interpolation, de trouver la date. programme ICE ou autres ou http: //www. imcce. fr/page. php? nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos. php Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE. 18/01/2005 Orbite de Mars 11

Mesure de la période synodique Temps des oppositions avec les éphémérides Date Julian Date Year 2453685. 50000 2005 2453686. 50000 2005 2453687. 50000 2005 2453688. 50000 2005 2453689. 50000 2005 Heliocentric Coordinates of MARS Time Long Lat Mon Da h m s ø ' " ø ' Nov 11 0 00 00 47 05 22. 2 - 0 04 Nov 12 0 00 00 47 39 10. 1 - 0 03 Nov 13 0 00 00 48 12 54. 5 - 0 02 Nov 14 0 00 00 48 46 35. 6 - 0 01 Nov 15 0 00 00 49 20 13. 2 - 0 00 Heliocentric Coordinates of EARTH Time Long Lat Mon Da h m s ø ' " ø ' Nov 11 0 00 00 48 42 06. 5 + 0 00 Nov 12 0 00 00 49 42 26. 1 + 0 00 Nov 13 0 00 00 50 42 47. 1 + 0 00 Nov 14 0 00 00 51 43 09. 6 0 00 Nov 15 0 00 00 52 43 33. 6 - 0 00 " 51. 9 46. 5 41. 1 35. 9 30. 7 Dist AU 1. 4654601 1. 4666980 1. 4679400 1. 4691859 1. 4704357 " 00. 4 00. 3 00. 2 00. 0 00. 1 Dist AU. 9900451. 9898078. 9895744. 9893453. 9891206 Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de l’opposition. Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques. Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE. 18/01/2005 Orbite de Mars 12

Période synodique La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalle de temps entre deux dates. Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des mois irréguliers ! Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le dernier jour de cet 1 er septembre 2004 et 1 er juillet 2005 Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement à compter les jours un à un. Le jour julien 18/01/2005 Orbite de Mars 13

Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Entrer la date (F 1/F 1) • Donner le nom du fichier de sortie (F 2) • Faire faire le calcul (F 3/F 3) 18/01/2005 Orbite de Mars 14

Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Entrer la date (F 1) : ouverture du menu : • Entrer la date (F 1) avec le format exact (décimales non obligatoire) • Donner le nombre de ligne de calcul (F 5) • Sortir du menu (F 7) 18/01/2005 Orbite de Mars 15

Utilisation de ICE 685, 17 782, 26 Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F 3) / (F 3) : Mars Terre (earth) • Sortir (F 10) • Récupérer le fichier de données pour les insérer dans le fichier excel oppositions_mars. xls 18/01/2005 Orbite de Mars 16

Utilisation de ICE jours On obtient pour la période synodique 782, 26 : et la période sidérale : 685, 17 jours Valeurs officielles de l’UAI : 779, 936 jours et 686, 980 jours 18/01/2005 Orbite de Mars 17

Tracé de l’orbite de Mars Observations de Mars utilisées par Kepler Date Jour julien longitude Soleil longitude Mars 17/02/1585 2300017 339, 38 135, 20 10/03/1585 2300038 359, 68 131, 80 5/01/1587 2300704 295, 35 182, 13 26/01/1587 2300725 316, 10 184, 70 28/03/1587 2300786 16, 83 168, 20 12/02/1589 2301473 333, 70 218, 80 19/09/1591 2302422 185, 78 284, 30 6/08/1593 2303109 143, 43 346, 93 7/12/1593 2303232 265, 88 3, 07 25/10/1595 2303919 221, 70 49, 70 Données dans le fichier excel : data_kepler. xls Classement par couples pour le tracé géométrique ? Résultats fichier excel : data_kepler_res. xls 18/01/2005 Orbite de Mars 18

Tracé de l’orbite de Mars Couples d’observations de Mars utilisées par Kepler Date Jour julien DT 10/03/1585 2300038 26/01/1587 2300725 17/02/1585 2300017 5/01/1587 2300704 28/03/1587 2300786 12/02/1589 2301473 19/09/1591 2302422 6/08/1593 2303109 7/12/1593 2303232 25/10/1595 2303919 687 687 687 longitude Soleil longitude Mars 359, 68 131, 80 316, 10 184, 70 339, 38 135, 20 295, 35 182, 13 16, 83 168, 20 333, 70 218, 80 185, 78 284, 30 143, 43 346, 93 265, 88 3, 07 221, 70 49, 70 Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ? 18/01/2005 Orbite de Mars 19

Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction Og, origine des directions l. Soleil Terre LTerre = l. Soleil-180 O On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. LTerre = l. Soleil +/- 180° 18/01/2005 Orbite de Mars 20

Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction Og, origine des directions Terre l. Mars l. Soleil LTerre = l. Soleil-180 On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. LTerre = l. Soleil +/- 180° Mars Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle l. Mars De même pour la deuxième observation. 18/01/2005 Orbite de Mars 21

Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction Og, origine des directions Terre On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. LTerre = l. Soleil +/- 180° Mars De même pour la deuxième observation. Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions. On recommence pour les autres couples d’observations. 18/01/2005 Orbite de Mars 22

Orbite de Mars A l’aide de la feuille transparente on recherche le meilleur ajustement d’un des cercles. Noter le rayon et la position du centre. Le rayon trouvé donne le demi grand axe a de l’orbite de Mars exprimé en rayons de l’orbite terrestre. La distance Soleil-centre du cercle donne la valeur de c de l’ellipse de l’orbite de Mars de c et a on en déduit l’excentricité e. 18/01/2005 Orbite de Mars 23

Méthode analytique Positions de Mars à partir des deux observations. Coordonnées des points T 1 et T 2 : On exprime les équations des droites Terre -Mars aux deux positions : Intersection des deux droites : 18/01/2005 Orbite de Mars 24

Résultats Programmation dans excel : fichier kepler_calculs. xls Rayon orbite Terre : 60 mm Date 18/01/2005 Jour julien 10/03/1585 2300038 26/01/1587 2300725 17/02/1585 2300017 5/01/1587 2300704 28/03/1587 2300786 12/02/1589 2301473 19/09/1591 2302422 6/08/1593 2303109 7/12/1593 2303232 25/10/1595 2303919 DT longitude Soleil longitude Mars 359, 68 131, 80 316, 10 184, 70 339, 38 135, 20 295, 35 182, 13 16, 83 168, 20 333, 70 218, 80 185, 78 284, 30 143, 43 346, 93 265, 88 3, 07 221, 70 49, 70 687 687 687 Orbite de Mars 25

Résultats Point Positions Terre Position Mars x 1 y 1 X 2 y 2 x mars y mars r mars 1 -59, 9991 0, 3351 -43, 2331 41, 6041 -93, 2231 37, 4942 100, 4807 2 -56, 1562 21, 1301 -25, 6888 54, 2226 -87, 1775 51, 9356 101, 4753 3 -57, 4301 -17, 3720 -53, 7892 26, 5843 -97, 9352 -8, 9100 98, 3397 4 59, 6950 6, 0425 48, 1878 -35, 7483 71, 7411 -41, 2163 82, 7379 5 4, 3107 59, 8449 44, 7983 39, 9138 64, 4358 63, 0696 90, 1652 Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res Rayon orbite Terre : 60 mm 18/01/2005 Orbite de Mars 26

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité Points reportés sur un graphique : même méthode que par rapporteur et cercles concentriques. Construction d’une image avec les points positionnés. Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite. jpg). (Analyse / Photométrie d’ouverture) Utilisation de la fonction Photométrie d’ouverture. Cette fonction permet d’ajuster, à la souris, un cercle de rayon donné. On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. 18/01/2005 Orbite de Mars 27

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité On mesure pour les points de la Terre et de Mars, Traitement par IRIS d’imaorbite. jpg les rayons et les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris. xls Mesu. 1 Mes. 2 xt yt rt Echelle xm ym rm a Mars e Mars Construire les formules pour arriver aux résultats 18/01/2005 Orbite de Mars Résultats -> 28

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité Traitement par IRIS d’imaorbite. jpg On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. Terre Résultat fichier image IDL imaorbite. jpg IRIS 18/01/2005 IRIS xt 500 yt 501 rt 300 Echelle 0, 2000 xm 463 464 ym 533 530 rm 460 461 a Mars 1, 5333 1, 5367 e Mars 0, 1063 0, 1003 Mars Orbite de Mars 29

Tracé de l’orbite de Mars Peut-on justifier l’utilisation de cercles à la place des ellipses ? Avec un rayon de l’orbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Mars et des excentricités de 0, 01671 et 0, 090 de Mars Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ? Programmation dans excel : fichier kepler_iris. xls feuille 2 Résultats dans le fichier kepler_iris_res. xls feuille 2 a e b (a-b) Terre 60 0, 01671 59, 992 0, 01 mm Mars 90 0, 09340 91, 598 0, 40 mm La différence correspond au tracé de l’épaisseur - d’un trait fin pour la Terre - d’un trait un peu épais pour Mars. 18/01/2005 Orbite de Mars 30

Repérage rapide des oppositions et des conjonctions Au moyen des graphiques des positions relatives des planètes / au Soleil 18/01/2005 Orbite de Mars 31

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Configuration du 13 janvier 2004 Saturne Mars Vénus Mercure Planètes se couchant après le Soleil et se levant après lui Planètes du soir Jupiter Planètes se couchant avant le Soleil et se levant avant lui Planètes du matin Planètes opposées au Soleil visibles toute la nuit 18/01/2005 Orbite de Mars 33

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90 180 W W V Mai S U T U Est 15 h 18 h 21 h 0 3 h Orbite de Mars 6 h 9 h Positions des Planètes 2005 S Mercure T Vénus U Mars V Jupiter W Saturne Déc. Nov. Oct. Sept. Août Juil. Juin V 12 h 18/01/2005 Avr. Mars Fév. Janv. 0 -90 Avr. Mars Fév. Janv. -180 12 h Ouest 35

Fin de L’orbite de Mars par J. Kepler 18/01/2005 Orbite de Mars