LOIS DE PROBABILITE Variables alatoires Lois discrtes Lois

LOIS DE PROBABILITE § Variables aléatoires § Lois discrètes § Lois continues § Relations entre les lois de probabilité 1

Variables aléatoires Une variable aléatoire X est une variable qui prend des valeurs numériques fonction du résultat d’une épreuve X sert à caractériser le résultat de l’expérience aléatoire R Univers des événements W 1, 2, . . . , i R xi 2

Variables aléatoires Deux types de variables aléatoires: ü Variables aléatoires discrètes ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle X = « face du dé » : prend les valeurs x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (dénombrables) ü Variables aléatoires continues peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné X = « poids d’un nouveau-né » : x = toutes les valeurs, (généralement comprises entre 1 kg et 6) 3

Variables aléatoires Notion de loi de probabilité v. a. discrète v. a. continue Densité de probabilité f(x) / pi a b P(a < X < b) = xi x = P(X<b) - P(X<a) 4

Variables aléatoires Fonction de répartition F v. a. discrète F(x) = P(X ≤ x) v. a. continue F(k)= P(X≤k) = 1 0 ≤ F(x) ≤ 1 0 5

Variables aléatoires v. a. discrète v. a. continue Espérance (moyenne, barycentre) Variance (inertie) 6

Lois discrètes Loi binomiale On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X Binomiale correspondant à la somme de n variables de Bernoulli. Notée X : B(n, p) X = nombre de succès au cours de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes Loi de probabilité: Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n, p) Binomiale E(X) = np V(X) = np(1 -p) 7

Lois discrètes Loi binomiale Exemple: Répartition du nombre de filles dans les fratries de 4 enfants p: probabilité d’avoir une fille à chaque naissance = 1/2 X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4} X=0 X=1 X=2 X=3 X=4 Loi de probabilité B (4 ; 1/2) GGGG FGGG, GFGG, GGFG, GGGF FFGG, FGFG, FGGF, GFFG, GFGF, GGFF FFFG, FFGF, FGFF, GFFF FFFF Indépendance statistique p (G G G G) = q. q = q 4 4 q 3 p 6 q 2 p 2 4 qp 3 p 4 0. 0625 0. 375 0, 25 0, 0625 somme = 1 8

Lois discrètes Loi de Poisson Dans le cas d’une variable de Poisson, les événements se Poisson produisent les uns à la suite des autres, de façon aléatoire dans l’espace ou le temps. X = nombre d’objets par boite Loi de probabilité: Elle est appelée loi de Poisson, notée P(λ) Poisson k = 0, 1, 2, …, ∞ E(X) = l V(X) = l 9

Lois continues Loi normale Une variable aléatoire est une variable normale quand elle normale dépend d’un grand nombre de causes indépendantes dont aucune n’est prépondérante Densité de probabilité: Elle est appelée loi normale Notée N (m, s) E(X) = m Max en μ V(X) = s 2 f symétrique/μ 10

Lois continues Loi normale centrée réduite U ~ N(0, 1) p(a) = P(U < a) 11

Lois continues Loi normale centrée réduite a b 12

Lois continues Loi normale centrée réduite ε ~ N(0, 1) a/2 -ea 1 -a a/2 0 ea 13

Lois continues Loi du 2 de Pearson On appelle 2 à n degrés de liberté la variable aléatoire degrés définie par : 14

Lois continues Loi de Fisher-Snedecor On appelle F à n et p degrés de liberté la variable aléatoire et définie par : 15

Lois continues Loi de Student On appelle T à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par : E(T) = 0 V(T) = n/n-2 16

Lois continues Importance de la loi normale Théorème central limite de Laplace Toute somme de v. a. indépendantes de même loi est une variable asymptotiquement normale. En particulier: 17

Lois continues Relations entre lois Lorsque n grand, p petit, np constant: B(n, p) -> P(l = np) Application du théorème centre limite Lorsque n est grand, la loi binomiale, la loi de Poisson, la loi de Student, la loi du χ 2, la loi de Fisher … tendent vers la loi normale 18