Loi normale et calculatrice Exercice 1 Courbes de

Loi normale et calculatrice

Exercice 1: Courbes de croissance et normalité ! Objectifs visés : - Utilité de la loi normale dans un problème qui concerne directement les élèves, lié à la svt (biostatistique). -Lecture graphique de la plage de normalité. - Utilisation de la calculatrice -Regard critique sur le modèle utilisé.

m + 2 m + Quelques lectures graphiques : m - Taille moyenne d’un garçon de 16 ans. 58 kg - Comment lire l’écart type de la série concernant les garçons âgés de 16 ans? - Zone de normalité = [m – 2 ; m– 2 ] Que peut-on dire d’un garçon de 16 ans pesant 48 kg? - Observer l’écart type de la série lorsque l’âge de l’enfant augmente ? Expliquer. 10 kg 16 ans 5 kg

Quelques calculs à présent: On considère que le poids X d’une population de garçons de 16 ans suit une loi N(μ, σ²). Précisez la loi de probabilité suivie. On choisit au hasard un garçon de 16 ans. - Calculer la probabilité qu’il pèse entre 46 et 70 kg ? - Calculer la probabilité qu’il pèse moins de 50 kg ?

Pour Calculer P(a<X<b): Menu DISTRIBUTION Sélectionner 2 : normalcdf( Compléter les paramètres. Exemple : Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type = 6. P(46<X<70) = normalcdf (46, 70, 58, 6) ≈ 0, 954

Pour Calculer P(X<b): 1. Soit on calcule une valeur approchée en calculant P(a<X<b) avec a = – 1099 par exemple. 2. Soit on utilise les propriétés de symétrie de la courbe de gauss. si b<m , P(X<b) = 1/2 – P(b<X<m) si b>m, P(X>b) = 1/2 + P(m<X<b) Exemple : Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 kg et d’écart type = 6 kg. P(X<50) = normalcdf (-10^99, 50, 58, 6) ≈ 0 , 091 ou P(X<50) = 1/2 - normalcdf (50, 58, 6) 50 58 aire sous la courbe = 1

Et encore un calcul ! « 3/4 des garçons âgés de 16 ans pèsent moins de x kg. » Déterminer x.

Pour Calculer P(X<a) = k (où k est un nombre donné entre 0 et 1. ) Menu DISTRIBUTION Sélectionner 3 : inv. Norm( Compléter les paramètres. Exemple : X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type = 6. Déterminer a tel que P(X<a) = 0, 75. a = Inv. Norm (0, 75, 58, 6) ≈ 62 kg

- Pensez-vous que cette répartition des poids soit représentative du poids des garçons de 16 ans en 2013 ? Voici les courbes issues du carnet de santé, mis à jour en 2006. 97 % 75 % 25 % 3 %

Exercice 2: Degré d’usure d’un câble… Objectifs visés : - Compréhension de l’influence de l’écart type sur une loi normale - Utilisation de la loi normale pour résoudre un problème concret.

Ci-dessous, sont représentées les mesures effectuées : - la première semaine d’utilisation - après trois mois d’utilisation intensive. 4000 3500 Mesures rangées par classe 3000 Effectifs 2500 2000 1500 1000 500 0 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 Mesures en mm - Quelle courbe représente les mesures effectuées la première semaine ?

Loi normale de paramètres m = 45 mm et = 1 mm. On change le câble lorsque l’écart type initial est multiplié par 5. - Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm. Quelle est la probabilité que le câble casse la première semaine ? Et lorsque l’on se décide à changer le câble? - Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm. Quelle est la probabilité d’abimer le treuil au bout d’une semaine d’utilisation ? Et lorsque l’on se décide à changer le câble ?

Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm. L’ingénieur décide de changer le câble lorsque le risque de casse ou d’endommagement atteint 10%. - Quelle est la valeur que l’écart type ne doit pas dépasser ? On cherche le plus petit écart type s tel que : P( 38<X<50) < 0, 9

Précisions sur le tableur: Pour Calculer P(X<B) Lorsque l’argument est FAUX (au lieu de VRAI), on obtient la valeur de la fonction de densité

On cherche le plus petit écart type s tel que P( 38<X<50) < 0, 9 P( 38<X<50) = P(X<50) – P(X<38)

Autre méthode, un algorithme simple : Saisir le pas X Stocker la valeur X dans S Tant que P(38<X<50) ≥ 0, 9 Stocker S + X dans S Fin du tant que Afficher la valeur de l’écart type S.

Autres fonctionnalités de la calculatrice : Pour représenter graphiquement une loi normale : Penser à régler la fenêtre d’affichage ! Afficher l’écran d’édition puis dans le menu DISTR sélectionner normalpdf( Pour représenter graphiquement P(a<X<b): Dans le menu DISTR, sélectionner DRAW ou DESSIN, puis Ombre Norm(

Exercice 3: Plus théorique cette fois… Objectifs visés : -Déterminer la valeur de ce u dont l’existence vient d’être démontrée. - Retrouver les valeurs 1, 96 et 2, 58 connues par l’élève.

Pour α ∈]0, 1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(− uα ≤ X ≤ uα )=1−α lorsque X suit la loi normale N (0, 1). Par exemple, déterminer le nombre u tel que : P(– u < X< u) = 1 – 0, 05 = 0, 95 C’est-à-dire : P(X < – u) = 0, 05/2 = 0, 025

• Soit loi normale inverse: P(X<-u)=0, 025 • Soit le tableau de valeurs de la fonction u → P(-u<X<u) On cherche l’antécédent de 0, 95

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