Logika Ismtls A logika trgya A logika clja

Logika

Ismétlés • • • A logika tárgya A logika célja Mitől függ egy következtetés helyessége? Logikai grammatika: név, mondat, funktor Logikai szemantika: faktuális érték és intenzió Extenzionális mondatfunktorok Negáció Konjunkció Alternáció Kondicionális

Következtetések helyességének ellenőrzése a kijelentéslogikában

Elemzés és formalizálás A természetes nyelv és logika grammatikája nem vág egybe. Amikor tehát természetes nyelven megfogalmazott következtetések helyességét kívánjuk megvizsgálni, a premisszákat és konklúzót „le kell fordítani” a logika nyelvére. Ez az eljárás a logikai elemzés. Példa: Nem igaz, hogy nincsenek nimfák: ~(~p) Béla dühöng: q Ha nem igaz, hogy nincsenek nimfák, akkor Béla dühöng: ~(~p)→q

Elemzés és formalizálás Jól látható tehát, hogy a természetes nyelvi mondat mélyén rejtőző logikai szerkezet, amely a következtetés helyessége szempontjából releváns elemeket tartalmazza (kifejezi a szerkezetet és meghatározza a logikai szimbólumokat), egészen más nyelvet használ: ~(~p)→q, méghozzá csak • mondatparamétereket (p, q, r …, és szintaktikailag azonos mondatokra mindenkor ugyanazt a paramétert, különböző mondatokra különbözőt) és • logikai jeleket tartalmaz. Ezzel az eljárással a kiinduló természetes nyelvi következtetést formalizáljuk, s ezáltal alkalmassá tesszük a vizsgálatra.

Példa elemzésre és formalizálásra Nézzük az alábbi példát (a régi Füles évkönyvek hangulatát idézve): Jean, szólt a gróf, már közöltem korábban, hogy idén Párizsba vagy Québecbe vagy Rómába utazom. Arról is szó volt, hogy ha Québecbe megyek, akkor Párizst is útba ejtem. Most kaptam egy telefont, amelynek hatására úgy döntöttem, Rómába nem megyek. Kérem, csomagoljon gondosan. Jean töpreng egy sort és így szól magához, a párizsi csomagot bizonyos, hogy össze kell készítenem. Helyesen következetett? Vizsgáljuk meg!

Példa elemzésre és formalizálásra A releváns információt hordozó helyek: „Párizsba vagy Québecbe vagy Rómába utazom” „Ha Québecbe megyek, akkor Párizst is útba ejtem” „Rómába nem megyek” _______________ „Párizsba megyek” (mondhatja az úr) Emeljük ki a logikai szerkezetet, formalizáljuk a következtetést.

Példa elemzésre és formalizálásra Ehhez először meg kell adnunk egy szótárt (vagyis meg kell határoznunk, hogy melyik mondatot milyen paraméter jelöl)! p = Párizsba megy q = Québecbe megy r = Rómába megy Ezek után a szerkezet:

Példa elemzésre és formalizálásra „p vagy q vagy r” „ha q, akkor p” „non-r” ______ K: „p” Logikai jelekkel: 1. pvqvr 2. q→p 3. ~r ____ K: p

A következtetés helyességének ellenőrzése Az első, kézi hajtásos, igen korlátozottan, időigényesen alkalmazható, ám szemléletes és minden lépésében intuitív evidenciára támaszkodó metódus a szemantikai módszer. Két fajtáját is megvizsgáljuk: • • szemantikai vizsgálat (SV) szemantikai ellenőrzés (SE) A szemantikát már ismerjük: mivel extenzionális logikai kontextusban fogunk mozogni (ez látszik a fomalizált következtetésben szereplő logikai jelekből) a faktuális értékekekről lesz szó. A következtetések ellenőrzésére SE-t tudjuk hatékonyan felhasználni. Első lépésként elevenítsük fel a helyes következtetés fogalmát.

A következtetés helyessége A helyes következtetést elsőre korábban úgy határoztuk meg, mint „kibontást”, explicitté tételt. Nevezetesen, amennyiben a konklúzió által explicitté tett információt a premisszák implicit módon valóban tartalmazzák, akkor a következtetés helyes. Másként, jól következtettünk, ha a kiinduló információk valóban tartalmazzák azt az információt, amit a konklúzióban megfogalmazunk, csak éppen nem kifejezett formában. A fenti példán szemléltetve: eszerint az a kérdés, hogy a „Párizsba megyek” valóban benn rejlik-e az összetett mondatokban. Ez azonban így félrevezető, hiszen látjuk, hogy benne van. A helyes következtetés definícióját ki is egészítettük és most már látható, hogy ez indokolt volt. Fenti meghatározásunk csak a szükséges feltételt találta el.

A következtetés helyessége A következtetés helyességének szükséges, de nem elégséges feltétele: bizonyosan helytelen egy következtetés, ha a premisszák nem tartalmazzák a konklúziót, ám ez még nem garancia arra, hogy a következtetés helyes, másként, nem elégséges feltétel. Megjegyzés: A szükséges feltétel sémája: ~A→~B. Ez esetben, ha a premisszák nem tartalmazzák a konklúziót (~A), akkor a következtetés helytelen (~B). Az elégséges feltétel sémája: C → B. Ezt még nem tudjuk most meghatározni, de ha az elégséges feltétel (C) teljesül, akkor a következtetés helyes (B). Felhasználva a kondicionális láncszabályát (T 21) és a kontrapozíció szabályát (T 18) arra jutunk, hogy C → B → A, vagyis, ha megtaláljuk az elégséges feltételt, akkor tudjuk, hogy helyes a következtetés és ebből következni fog, hogy a premisszák tartalmazzák a konklúziót.

A következtetés helyessége A definíció kiegészítése: helyes a következtetés, amennyiben a következtetés igazsága törvényszerűen folyik a kiinduló ismeretek igazságából, vagyis a premisszák igazsága szükségszerűen öröklődik a konklúzióra. Másként, a helyes következtetés igazságmegőrző eljárás. Ez metafora, így a kérdés megmarad: miként öröklődhet az igazság? Nos, volt egy másik definíciónk is: egy következtetés helyessége kizárólag a következtetést alkotó állítások (premisszák és konklúzió) logikai szerkezetétől, illetve a bennük szereplő logikai jelek jelentésétől függ.

A következtetés helyessége Vagyis: az igazság örökítése a logikai szerkezettől és a logikai jelek jelentésétől függ. Ám miként tudjuk ezt ellenőrzésre felhasználni? Egy eljárást keresünk, amely alkalmas arra, hogy eldöntsük, helyesen következtettünk-e vagy sem. Első lépésként ehhez ki kell emelni a természetes nyelvi mondatokból a logikai szerkezetet (formalizálás). Második lépésként meg kell határoznunk, hogy mit jelentenek a kiemelt logikai jelek (nem, és, vagy, ha|akkor), hiszen ezektől (és csakis ezektől) függ az igazság örökítése. Ehhez azonban be kell vezetnünk egy új nyelvet, a kijelentéslogika nyelvét, amelynek grammatikája a logikai szerkezeteket regulálja, szemantikája pedig meghatározza a logikai jelek jelentését, méghozzá mindezt az igazság fogalmára tekintettel.

Nulladrendű nyelv Erről is volt már szó: nulladrendű az elemzés, ha az analízis atomi (felbontathatatlan) egységei mondatok (p, q, r és így tovább). Ezt így jelezhetjük: At = {p 1, … pn} A logikai jeleket már ismerjük: Log = { (, ), ~, &, V, →}

Nulladrendű logikai nyelv Grammatika L 0 = {Log, Form} Log = { (, ), ~, &, V, →} Form = {At, Log} At = {p 1, … pn} 1. 2. 3. 4. Az atomi formulák (At) formulák (Form). A formulák (Form) atomi formulák (At) vagy atomi formulákból és logikai szimbólumokból (Log) képzett alakzatok Ha A formula, akkor ~A is formula. Ha A, B formulák, akkor (A&B), (AVB), (A→B) is formulák. 5. Más formula nincs.

Nulladrendű nyelv - szemantika Ám hogy kerül a képbe az igazság fogalma? Hogyan tehetjük a logika szerkezettől és a logikai jelek jelentésétől függővé az igazság öröklődését? Nos, a logikai jelek (Log) jelentését előző alkalommal már rögzítettük oly módon méghozzá, hogy megadtuk, az extenzionális logikai függvények kimeneteinek igazságértéke miként függ bemeneteik igazságértékétől. Itt van tehát az igazság, csak lajstromba kell venni a szabályokat. Másfelől, feltettük, hogy a logikai függvények bemenetei igazságértékkel bírnak (ezek az igazságtáblák rögzített bemeneti mintázatai). E bemenetek azonban éppen az atomi formulák (At). Azt kell tehát biztosítanunk, hogy minden atomi formula igazságértéket kapjon, hiszen a logikai jelek jelentéséből adódóan így már minden összetett formula is igazságértéket kap. Ehhez lesz szükségünk az interpretáció fogalmára.

Interpretáció Az ‘interpretáció’ kifejezés tágan értelmezést jelent. A logikában az interpretáció egy olyan értelmezési művelet, vagyis egy olyan (magasabb rendű) függvény, amely a formalizált kifejezéseket alkotó elemek (Form) mindegyikéhez szemantikai értéket rendel. Kijelentéslogika esetén ez igazságérték (igaz, hamis) Ez az operáció hasonlatos a koordinátageometriai függvényekhez ezért használhatjuk a leképezés (mapping) kifejezést is. Nevezetesen, az interpretációs függvény olyan leképezés, amely egy halmaz minden elemét egy másik halmaz elemeire képezi le. Rögvest meglátjuk, milyen halmazokról van szó. Az interpretációs függvény jelölésére bevezetjük a ‘Φ’ jelet, majd definiáljuk.

Interpretáció Egy függvényt úgy határozhatunk meg, hogy megadjuk (nem üres) értelmezési tartományát (Domain, Dom, D) és értékkészletét (Range, Ran, R), majd meghatározzuk a szabályt, amely a D-ből az R-re való leképezés műveletét határozza meg. Például: megadhatjuk az ‘x 2=y’ műveletet végző függvény értelmezési tartományát és értékkészletét így (jelöljük f-fel az „x a négyzeten” függvényt): Dom(f) = N (a természetes számok halmaza) Ran(f) = N Az f függvény szabálya pedig semmi egyéb, mint, hogy „szorozd meg a kiválasztott számot önmagával”. Az összefüggést is rögzítve: „ha x egy természetes szám, akkor y az a természetes szám, amelyet x x-szel való szorzása jelöl meg”. Ezt ismerjük is látványról:

x 2=y

Interpretáció Nos, miként definiálhatjuk ugyanilyen módon a Φ interpretációs függvényt? Vegyünk ehhez egyszerű, kétpremisszás következtetést, az úgynevezett modus ponenst: 1. p→q 2. p ________ K: q Példa: ha alszom, hallgatok. Alszom. Következtetés: hallgatok. A következtetés egészét mondatosztálynak tekintjük és ‘MP’ címkével látjuk el.

Interpretáció Definiáljuk a Φ interpretációs függvényt erre az esetre (jelöljük ezt a függvényt ΦMP-vel!) Határozzuk meg elsőként az interpretációs függvény tartományait! Domain(ΦMP) = {p, q} Range(ΦMP) = {1, 0} Vagyis: két mondatparaméterünk van, ez az interpretációs függvény értelmezési tartománya (DMP), ezt képezzük le az értékkészletre (RMP), ahol ‘ 1’ reprezentálja az igazat és ‘ 0’ a hamisat, vagyis a két igazságértéket. A leképezésben részt vevő halmazokat elemeik felsorolásával definiáltuk.

Interpretáció Következzék ΦMP szabálya: nos, ez az úgynevezett Descartes szorzat vagy direkt szorzat (. . . ×. . . , olvasd: „kereszt”), amely – egyszerűen fogalmazva – a műveletben részt vevő halmazok elemeiből minden lehetséges párt létrehoz. A mi esetünkben a következő műveletről van szó: DMP × RMP A halmazok elemeinek kibontásával: {p, q} × {1, 0}

Interpretáció Hamarosan általánosan is megfogalmazzuk mindezt, ám előbb végezzük el a műveletet: {p, q} × {1, 0} Íme: DMP × RMP = { {p, 1}, {p, 0}, {q, 1}, {q, 0} } Ezeket az egységeket (jelen esetben ezt a négyet) rendezett párnak nevezzük, és a tulajdonképpeni ‘Descartes szorzat’ kifejezés azon halmaz neve, amelyet e párok képeznek.

Interpretáció Ezekből az elemekből {p, 1}, {p, 0}, {q, 1}, {q, 0}, összesen 4 olyan kettőst tudunk képezni, amelyben mindkét mondatparaméter szerepel és egyik sem szerepel kétszer (ezt rögvest indokoljuk): 1. 2. 3. 4. {p, 1}, {q, 1} {p, 1}, {q, 0} {p, 0}, {q, 1} {p, 0}, {q, 0} Minden mondatparaméterünk minden lehetséges igazságértékkel előttünk van tehát kibontva. Ezek a vizsgált következtetés lehetséges interpretációi. Másként, ezeket az igazságértékeket veheti fel a vizsgált kétparaméteres következtetés.

Interpretáció Φ teljes szabálya a direkt szorzat mellett korlátozásokat is tartalmaz. Íme: Ip akkor és csak akkor interpretációja a következtetést alkotó mondatosztálynak (premisszák és konklúzió), ha 1. 2. Ip-ben valamennyi atomi formula szerepel Ip-ben nem szerepel egyetlen atomi formula sem egynél többször. Kommentár (1)-hez: ha nincs valamelyik atomi formula interpretálva, akkor nem határoztuk meg az adott formula (vagy azt őt tartalmazó összetett formula) igazságértékét, vagyis nem tudjuk megvizsgálni az igazság örökítését. Kommentár (2)-höz: ha M-ben egynél többször szerepelhet egy atomi formula, akkor az adott formula igazságértéke nem egyértelmű, márpedig enélkül nem tudjuk megvizsgálni az igazság öröklődését (az ellentmondásmentesség elve)

Szemantika S most már összegezhetünk: meghatároztuk az interpretációs függvényt, amely igazságértéket rendel a következtetést alkotó mondatokhoz (At) és korábban már definiáltuk a logikai jelek (Log) jelentését is igazságszabályuk megadásával, vagyis az őket tartalmazó mondatok (Form) igazságértéke is kiszámítható a bennük szereplő atomi formulák faktuális értékelése mellett. Φ teljes definíciója tehát az eddigieken kívül magában foglalja az összes mondat (Form) igazságértékének meghatározását is. Íme, mindez:

Nulladrendű logikai nyelv Szemantika Ip = {φ} Dom (φ) = {Form} Ran (φ) = {1, 0} 1. 2. 3. 4. 5. |A|Ip = φ (A) |~A|Ip = 1−|A| |A & B|Ip = 1, ha |A|Ip = 1, és |B|Ip = 1, máskor 0 |A V B|Ip = 0, ha |A|Ip = 0, és |B|Ip = 0, máskor 1 |A → B|Ip = 0, ha |A|Ip = 1, és |B|Ip = 0, máskor 1

A következtetés helyességének szemantikai vizsgálata (SV) A kibővített definíció: helyes egy következtetés, amennyiben a premisszák és a konklúzió együttesen igazként értékelhető és igazra értékelt premisszák esetén lehetetlen a konklúziót hamisra értékelni. Az interpretációkra tekintettel ezt így fogalmazhatjuk meg: amennyiben a vizsgált mondatosztálynak van olyan interpretációja, amely a premisszákat és a konklúziót igazra értékeli és nincs olyan, amely a premisszákat igazra, de a konklúziót hamisra, akkor a mondatosztálynak van modellje, azaz kielégíthető. Lássuk MP esetén ezt.

Szemantikai vizsgálat (1) A négy lehetséges interpretáció: 1. {p, 1}, {q, 1} 2. {p, 1}, {q, 0} 3. {p, 0}, {q, 1} 4. {p, 0}, {q, 0} Lássuk a következtetést: • p→q • p ________ K: q

Első interpretáció: {p, 1}, {q, 1} Második interpretáció: {p, 1}, {q, 0} 1. 1 → 1 = 1 2. 1 ________ 1. 1 → 0 = 0 2. 1 ________ K: 1 0 Harmadik interpretáció: {p, 0}, {q, 1} Negyedik interpretáció: {p, 0}, {q, 0} 1. 0 → 1 = 1 2. 0 ________ 1. 0 → 0 = 1 2. 0 ________ K: 1 0

Szemantikai vizsgálat (1) Ez annyit tesz, az MP mondatosztálynak van modellje, íme: M = {p, 1}, {q, 1} valamint nincs olyan interpretáció, amely a premisszákat igazra és a konklúziót hamisra értékelné. MP tehát kielégíthető, azaz a következtetés helyes (az igazság öröklődött).

Szemantikai vizsgálat (2) Vizsgáljunk meg egy másik egyszerű esetet is! Vegyünk ehhez egy másik egyszerű, kétpremisszás következtetést, amelynek neve „az előzmény tagadásának hibája” (sejthető tehát, hogy helytelen következtetés) 1. p→q 2. ~p ________ K: ~q Példa: ha alszom, hallgatok. Nem alszom. Következtetés: nem hallgatok. A következtetés egészét mondatosztálynak tekintjük és ‘ET’ címkével látjuk el.

Szemantikai vizsgálat (2) Mivel ugyancsak két paraméterünk van, minden ugyanaz, mint MP esetén. A négy interpretáció: 1. {p, 1}, {q, 1} 2. {p, 1}, {q, 0} 3. {p, 0}, {q, 1} 4. {p, 0}, {q, 0} A mondatosztály (ET): 1. p→q 2. ~p ________ K: ~q

Első interpretáció: {p, 1}, {q, 1} Második interpretáció: {p, 1}, {q, 0} 1. 1 → 1 = 1 2. 1 = 0 ________ 1. 1 → 0 = 0 2. 1 = 0 ________ K: 1=0 0=1 Harmadik interpretáció: {p, 0}, {q, 1} Negyedik interpretáció: {p, 0}, {q, 0} 1. 0 → 1 = 1 2. 0 = 1 ________ 1. 0 → 0 = 1 2. 0 = 1 ________ K: 1=0 0=1

Szemantikai vizsgálat (2) A kibővített és kombinált meghatározás még egyszer: helyes egy következtetés, amennyiben a premisszák és a konklúzió együttesen igazként értékelhető és igazra értékelt premisszák esetén lehetetlen a konklúziót hamisra értékelni. Ám látjuk: ET-nek van ugyan olyan interpretációja, amely a premisszákat és a konklúziót is igazra értékeli, ám olyan interpretáció is lehetséges, ahol a premisszákat igazra értékelve a konklúziót hamisra értékelhetjük, márpedig ez utóbbit a helyes következtetés definíciója kizárja. A következtetés helytelen (mert a premisszák igazsága nem öröklődik, hiszen ezek igazsága esetén nem lehetetlen a konklúzió hamissága)

Szemantikai vizsgálat Az iménti eset rámutatott egy hiányosságra: ha megtaláltuk a modellt, még mindig nem lehetünk biztosak abban, hogy nincsen-e emellett olyan interpretáció, amely a premisszákat igazra, ám a konklúziót hamisra értékeli. Vagyis, ki kell zárnunk annak a lehetőségét, hogy a konklúzió hamisként való interpretációja mellett igazként interpretálhassunk minden premisszát. Vagyis a szemantikai vizsgálat pozitív eredménye csak szükséges feltétel. Ha van egy modellünk, ez önmagában még nem garantálja, hogy nincs olyan, amely a premisszákat igazra, míg a konklúziót hamisra értékeli. Elégséges feltételt ily módon csak az adhatna, ha minden olyan interpretációt megvizsgálnánk, amelyben a konklúzió hamis. Márpedig ez nagyon nagy munka. Más ötlet kell.

A következtetés helyességének szemantikai ellenőrzése (SE) A kibővített és kombinált meghatározás megint még egyszer: helyes egy következtetés, amennyiben a premisszák és a konklúzió együttesen igazként értékelhető és igazra értékelt premisszák esetén lehetetlen a konklúziót hamisra értékelni. Nem ez a definíció lesz azonban irányadó számunkra, mivel a szemantikai vizsgálat amúgy is olyan heurisztikát kíván, amely minél kevesebb munkát követel. Láthattuk, a direkt igazoláshoz minden interpretációt meg kell vizsgálni (öt paraméter esetén ez 25= 32 számú interpretáció: iszonyú munka), hiszen csakis így mondhatnánk biztosra, hogy a modell mellett nincs olyan interpretáció, amely a premisszákat igazra értékelve megengedi a konklúzió hamisságát. Ezért egy következtetés helyességét (egy mondatosztály kielégíthetőségét) indirekt módon fogjuk bizonyítani.

A következtetés helyességének szemantikai ellenőrzése A helyes következtetés gyakorlati definíciója tehát: helyes egy következtetés, amennyiben a konklúzió hamisra értékelése mellett lehetetlen a premisszák mindegyikét igazra értékelni. A heurisztika maximája: értékeld hamisra a konklúziót és vizsgáld meg, hogy ezen feltétel mellett lehete mindegyik premisszát igazra értékelni! Megjegyzés: olyan formációkkal, amelyekben a premissza hamis, nem foglalkozunk, mert hamis premisszából nem vonunk le következtetést (nincs, ami öröklődjön)

Szemantikai ellenőrzés (1) Lássuk, hogyan zajlik ez. Legyen a vizsgálat tárgya az MP mondatosztály. 1. p→q 2. p ________ K: q Tegyük fel tehát, hogy a konklúzió, tehát q hamis. Ha q hamis, akkor az 1. premissza igazságát csak úgy lehet biztosítani, ha p hamis (a kondicionális szabálya szerint). Ám ez esetben a 2. premissza hamis lesz. Más lehetőség pedig nincs, vagyis lehetetlen a premisszákat igazra értékelni azon feltétel mellett, hogy a konklúzió hamis. A következtetés tehát helyes.

Szemantikai ellenőrzés (2) Vizsgáljuk meg ET-t is! 1. p→q 2. ~p ________ K: ~q Tegyük fel tehát, hogy q igaz, hiszen, a negáció miatt, ekkor kapunk hamis konklúziót. A 2. premissza miatt p-t hamisra kell értékelni, mivel a negáció miatt csak így lehet a premissza igaz. Attól, hogy p hamis, az 1. premissza még lehet igaz, mivel q (az utótag) igaz. Nem lehet kizárni tehát a premisszák igazra értékelését azon feltétel mellett, hogy a konklúzió hamis. A következtetés tehát helytelen.

A következtetés helyességének szemantikai ellenőrzése És most térjünk vissza Jean esetére! Emlékszünk: „Párizsba vagy Québecbe vagy Rómába utazom” „Ha Québecbe megyek, akkor Párizst is útba ejtem” „Rómába nem megyek” _______________ „Párizsba megyek”

Szemantikai ellenőrzés (3) 1. p v q v r 2. q→p 3. ~r ____ K: p Legyen tehát p = 0. Ha p hamis, akkor a 2. premissza igazságát csak úgy menthetjük meg, ha q-t is hamisra értékeljük (a kondicionális igazságszabálya szerint csakis akkor kapunk igaz kimenetet, amennyiben az utótag hamis, ha az előtag is hamis). Ha p is hamis és q is hamis (ezeknek kell lenniük, hogy a 2. premissza igaz legyen), úgy az 1. premissza csakis akkor lehet igaz (az alternáció szabálya szerint), ha legalább egy, ez esetben a maradék r, igaz. Csakhogy ez az interpretáció lehetetlen, mivel 3. premissza csakis akkor lehet igaz, ha r hamis. És ezzel vége: beláttuk, hogy a konklúzió hamis interpretációja mellett lehetetlen a premisszák mindegyikét igazra értékelnünk.

Szemantikai ellenőrzés (3) Vagyis (indirekte) igazoltuk, hogy a következtetés helyes (mert nincs olyan interpretáció, amely a premisszák mindegyikét azon feltétel mellett igazra lenne képes értékelni, hogy a konklúziót hamisra értékeli. Keressük azonban meg a következtetés modelljét is!

Szemantikai vizsgálat (3) 1. p v q v r 2. q→p 3. ~r ____ K: p Nem nehéz kiokoskodni, hogy p-nek feltétlenül igaznak kell lennie, mivel ő a konklúzió, azaz a keresett modell első eleme csak {p, 1} lehet. Az sem kétséges, hogy r csak hamis lehet, azaz {r, 0} a keresett modell harmadik eleme. Több megszorítás nincs, az eddigiekre tekintettel q egyaránt lehet igaz is és hamis is (ellenőrizzük!). Következésképp, ennek a mondatosztálynak két modellje is van. Íme:

Szemantikai vizsgálat (3) A nyolc lehetséges interpretáció és a két modell: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. {p, 1}, {q, 1}, { r, 1} {p, 1}, {q, 1}, {r, 0} {p, 1}, {q, 0}, { r, 1} {p, 1}, {q, 0}, {r, 0} {p, 0}, {q, 1}, { r, 1} {p, 0}, {q, 1}, {r, 0} {p, 0}, {q, 0}, { r, 1} {p, 0}, {q, 0}, {r, 0} Megjegyzés: a továbbiakban a {p, 1} jelölést egyszerüsítjük így: {p 1}, mivel a betű- (D) és a számkarakterek (R) összekeverhetetlensége folytán vessző nélkül is egyértelmű melyik elem melyik halmazból származik.

Szemantikai ellenőrzés (4) Ellenőrizzük az alábbi következtetés helyességét (Ruzsa 2001: 61): Premissza (1): Ha sötét van, akkor senki sincs otthon; vagy alszanak. Premissza (2): Sötét van, pedig valaki otthon van. ____________________ Konklúzió: Alszanak. Első lépés a formalizálás. Ennek első feladat a megfelelő szótár elkészítése. Ehhez ki kell emelni az atomi formulákat (másként, azokat a mondatokat, amelyek igazságfeltételei között nem szerepel a többi mondat, amely ezektől függetlenül lehetnek igazak vagy hamisak). Vigyázni kell arra is, hogy megtaláljuk az affirmatív alakot (vagyis ne maradjon benne negáció). Lássuk:

Szemantikai ellenőrzés 4. 1 - Szótár Premissza (1): Ha sötét van, akkor senki sincs otthon; vagy alszanak. Premissza (2): Sötét van, pedig valaki otthon van. ____________________ Konklúzió: Alszanak. Helyettesítse a ‘k’ jel az első atomi formulát: „sötét van”. A „senki sincs otthon” nem affirmatív alak, benne negáció rejtőzik, azért az ‘l’ jel a második atomi formulát így helyettesíti: „valaki otthon van”. A harmadik atomi formula nem gond, „alszanak”. Ezt helyettesítse az ‘m’ jel. Több atomi formula nincs. A szótár tehát: k = „sötét van” l = „valaki otthon van” m = „alszanak”

Szemantikai ellenőrzés 4. 2 – Logikai jelek Premissza (1): (Ha sötét van, akkor senki sincs otthon) vagy alszanak. Premissza (2): Sötét van, pedig valaki otthon van. ____________________ Konklúzió: Alszanak. Emeljük ki második lépésként a logikai szimbólumokat. A mondatosztály szerkezetében szerepel kondicionális (ha. . . , akkor. . . ), alternáció (. . . vagy. . . ) és konjunkció (. . . pedig. . . =. . . és. . . ). És még valami: az első premissza második tagmondata egy negációt rejt magában (Nem igaz, hogy. . . ). E mondat a „valaki otthon van” atomi fomula tagadása, azaz egyoan formula, amelyet negációval képzetünk abból az atomi formulából, amit az ‘l’ jellel helyettesítettünk. Ám még mindig van valami: a zárójelek. Az elsp premisszában a fenti módon egyértelműsítettük az állítást. Az eredetiben pontosvessző jelzi ezt a tagolást. Formalizálhatunk.

Szemantikai ellenőrzés 4. 3. 1 – Formalizálás Premissza (1): Ha sötét van, akkor senki sincs otthon; vagy alszanak. Premissza (2): Sötét van, pedig valaki otthon van. ____________________ Konklúzió: Alszanak. Első szakasz: 1. (Ha k, akkor non-l) vagy m 2. k és l ____________________ K: m

Szemantikai ellenőrzés 4. 3. 2 – Formalizálás Első szakasz: 1. (Ha k, akkor non-l) vagy m 2. k és l ____________________ K: m Második szakasz: 1. (k → ~l) v m 2. k&l _____________________ K: m

Szemantikai ellenőrzés 4. 4 – Interpretáció 1. (k → ~l) v m 2. k&l _____________________ K: m A módszer alkalmazásával tételezzük fel, hogy {m 0} (vagyis a konklúzió hamis). Azt kell megvizsgálnunk, hogy lehetséges-e a premisszák mindegyikét igazként interpretálni ezen feltevés mellett. Nos, ha {m 0}, akkor az első premissza másik felében is {m 0}. Mivel ez alternáció, az első tagnak feltétlenül igaznak kell lennie, ha a második tag, m, hamis. Csakhogy a második premissza mindkét tagjának igaznak kell lennie, mivel ez konjunkció. Azaz {k 1}, {l 1}. Ám így baj lesz az első premisszában. Ha ugyanis k, mint a zárójelben szereplő kondicionális előtagja igaz, akkor e kondicionális utótagja nem lehet hamis (hiszen m már hamis, így a premissza első felének mindenképpen igaznak kell lennie). Ám lehetetlen ezt elérni, mivel ahhoz, hogy non-l igaz legyen, l-nek hamisnak kellene lennie, ám a második premissza miatt nem lehet az. Végeztünk.

Szemantikai ellenőrzés 4. 5 – Indirekt bizonyítás Ezzel bebizonyítottuk, hogy azon feltevés mellett, miszerint a konklúzió hamis, nem lehetséges a premisszákat igazként interpretálni. Ezzel pedig indirekt úton igazoltuk, hogy a következtetés helyes.

Szemantikai vizsgálat 4. 1 – Modell keresése Vizsgáljuk meg azonban egy füst alatt azt is, vajon van-e olyan interpretáció, amely a premisszák mindegyikét és a konklúziót is igazként értékeli. 1. (k → ~l) v m 2. k&l _____________________ K: m Ha feltesszük, hogy {m 1}, akkor az első premissza már az első tagtól függetlenül igaz. A második premissza pedig simán igazra értékelhető, ha {k 1} és {l 1}. E mondatosztály modellje: M = {k 1}{l 1}{m 1}

Szemantikai vizsgálat 4. 2 – Modell Az eddigiekből arra is következtethetünk, hogy ennek a strukturált mondatosztálynak csakis egyetlen modellje van (ugyanis k és l nem lehet 0 és a szemantikai ellenőrzés demonstrálta, hogy m sem lehet az). Vagyis: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. {k 1}{l 1}{m 1} {k 1}{l 1}{m 0} {k 1}{l 0}{m 1} {k 1}{l 0}{m 0} {k 0}{l 1}{m 1} {k 0}{l 1}{m 0} {k 0}{l 0}{m 1} {k 0}{l 0}{m 0}

Szemantikai vizsgálat és ellenőrzés Összegezve arra jutunk, hogy SV és SE jó módszer ugyan egy következtetés helyességének ellenőrzésére, hiszen beláthatóvá teszi, hogy a premisszák igazsága öröklődik-e a konklúzióra vagy sem, ám lassú és fáradságos metódus. A továbbiakban ezért egy olyan univerzális módszert is megtanulunk egy következtetés helyességének vizsgálatára, amely sok premissza esetén is gyorsan és biztosan működik. Ez az analitikus táblázat készítésének módszere.

Analitikus táblázat

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Ez a módszer igen egyszerű, néhány ún. lebontási szabály alkalmazását kell megtanulni (tehát nem a szabályokat, hanem az applikációt). Az eljárás neve: ellenőrzés analitikus táblázattal (AT) Az AT sok már ismert logikai törvényt tartalmaz más formában ábrázolva őket, az úgynevezett származékokat is feltüntetve. Íme, előzetesen vessünk rá egy pillantást:

Analitikus táblázat T 1 (? ) T 5 (? ) T 11 (De Morgan 1) T 16 -ból T 12 (De Morgan 2)

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal E szabályokat magunk elé helyezve már könnyedén ellenőrizhetjük majd egy logikai jelekkel strukturált mondatosztály kielégíthetőségét, azaz egy következtetés helyességét. Ám némi formai alakításra szükség lesz. Az eljárás alapja ugyanaz, mint amit a szemantikai ellenőrzésnél (SE) csináltunk. Ott feltettük, hogy a konklúzió hamis és megvizsgáltuk, hogy a premisszákat lehetséges-e igazként interpretálni e feltétel mellett. Ha lehetetlen, akkor a következtetés helyes, ha lehetséges, akkor helytelen. Ugyanilyen kényszerhelyzetet fogunk teremteni, ám nem szemantikai, hanem kizárólag szintaktikai eszközökkel. Másként, úgy fogjuk alakítani a következtetés formáját, hogy szintaktikailag, már első ránézésre ki fog derülni, ha helyes.

Ehhez elsőként bevezetünk egy jelölésrendszert: • • A görög gamma, Γ jelöli a premisszák akárhány tagú mondatosztályát. A halmazelméletből már ismerjük az unió, U, a halmazegyesítés jelét. Nagy K-val jelöljük meg a konklúziót. Végül szükségünk lesz a negációra (~). A szemantikai vizsgálat (SV) során igazként interpretáltuk konklúziót (K) és megvizsgáltuk, hogy K ezen interpretációja mellett lehetséges-e a premisszákat (Γ) igazként interpretálni. A premisszákat (Γ) és a konklúziót (K) tehát összetartozó rendszerként vettük szemügyre. Vagyis a mondatosztály, amit vizsgáltunk: Γ U K volt.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal A szemantikai ellenőrzés (SE) heurisztikája változtatást követelt. Nevezetesen, azt tettük fel, hogy a K hamis és ezen feltétel mellett vizsgáltuk meg annak lehetőségét, hogy a premisszákat (Γ) képesek vagyunk-e igazként interpretálni. A különbség SV és SE között csak szemantikai volt, nem érintette a mondatosztály szintaktikai formáját. Ám el tudjuk érni, hogy szintaktikai változtatással olyan helyzetet teremtsünk, mint amit SE esetén teremtettünk K hamisként való interpretációjával? Nos, igen. Ehhez egy másik mondatosztályt kell képeznünk, ahol a premisszákat a konklúzió negációjával kell egyesítenünk. Vagyis a vizsgálandó mondatosztály így : Γ U ~K

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Az AT módszer első lépése tehát ez a szintaktikai átalakítás: Γ U ~K Lássunk rá példát! Legyen ez MP (előrébb, a 21. slide) 1. p→q 2. p ________ K: q Ebből tehát egy szintaktikai átalakítással új mondatosztályt képzünk, amelyet MP*-gal különböztetünk meg az eredetitől.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal MP* így fest: 1. 2. 3. p→q p ~q [~K] Vegyük észre, hogy MP* nem azonos MP-vel abból a szempontból sem, hogy nem következtetés, hanem csak egy feltevés realizálása, amelynek az a célja, hogy ellenőrizzük MP, mint következtetés helyességét. Ezért töröltük a vízszintes vonalat a premisszák és a negált konklúzió között. További szembeötlő változtatás, hogy sorszámmal láttuk el a negált konklúziót is. 3 mellé egyébként feltüntethetjük, hogy [~K].

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Mindezen átalakítás célja az, hogy lehetővé tegyük a kapott strukturált mondatosztályban rejlő ellentmondás leleplezését. Szintaktikai értelemben ellentmondás, ha ugyanazon atomi formula egyaránt szerepel affirmatív és negált alakban is. Az ilyeneket tartalmazó mondatosztályok inkonzisztensek. Márpedig inkonzisztencia és racionalitás nem fér össze: olyan premisszákból nem lehet következtetést levonni, amelyek egymásnak ellentmondó állításokat tartalmaznak. Fontos azonban, hogy atomi formulákról legyen szó, hiszen egy-egy atomi formula negált alakban éppenséggel feltűnhet a különböző összetett formulákban (erre láttunk is példát, lsd. 50. slide). Ezért az összetett kifejezéseket le kell bontanunk. E lebontás szabályait tartalmazza az AT.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Összefoglalva: ha az eredeti mondatosztály (Γ U K) átalakításával nyert új mondatosztály (Γ U ~K) ellentmondást tartalmaz, akkor inkonzisztens. Ahhoz, hogy ezt ellenőrizhessük, le kell bontanunk az összetett formulákat AT segítségével. Mielőtt tovább haladnánk az eljárás értelmének megvilágításában, nézzük meg, hogy zajlik ez.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal MP* 1. 2. 3. p→q p ~q Mivel itt csak egyetlen összetett formula van, egyet kell csak lebontanunk. Szabályt a második sor második ablaka ad. 4. ~p | q Vizsgáljuk meg találunk-e ellentmondást! Mivel itt elágazás van (alternatív formula), mindkét ágat meg kell vizsgálnunk (magyarázat hamarosan). Nos, minkét ágon ellentmondást találunk, vagyis minden ág zárt.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal MP* 1. 2. 3. 4. ~p * [2, 4] p→q p ~q | q * [3, 4] [1] Az ágak zártságát csillaggal jelöljük. Az elágazás szükségességével később foglalkozunk. Szögletes zárójellel és sorszámmal jeleztük továbbá jobb oldalon, hogy melyik összetett formulából nyertük az adott sor származékait lés kisebb betűmérettel a csillagok mellett azt, hogy mely sorok tartalmazzák az egymásnak ellentmondó formulákat.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Mivel MP*-ban ellentmondást találtunk, s MP*-ot MP-ből oly módon nyertük, hogy MP konklúzióját negáltuk, a negáció eltüntetésével metaforikusan meg tudjuk nyitni az ellentmondással lezárt ágat. Másként, MP esetén nem képződik ellentmondás, vagyis a mondatosztály konzisztens. MP 1. 2. 3. 4. ~p * [2, 4] p→q p q | q [1]

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Az a tétel, amely ezen eljárásnak számunkra fontos jelentését megadja a következő: Egy mondatosztály akkor és csak akkor kielégíthető, ha befejezett analitikus táblázatának van legalább egy nyitott ága (Ruzsa 2001: 56) Vagyis, a konzisztencia összefügg a kielégíthetőséggel. Egy kielégíthető mondatosztálynak van modellje, másként, a mondatosztály mint következtetés helyes. Másfelől, amennyiben egy mondatosztály inkonzisztens, akkor kielégíthetetlen (lehetetlen igazként interpretálni mindkét egymásnak ellentmondó formulát), nincs modellje, vagyis következtetésként helytelen.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal S ez lesz számunkra irányadó: amennyiben egy mondatosztály inkonzisztens, akkor kielégíthetetlen. Amennyiben az új mondatosztály, Γ U ~K minden befejezett ága zárt (csilaggal lezárt), akkor inkonzisztens, s ebből indirekt módon arra jutunk, hogy az eredeti Γ U K, konzisztens, kielégíthető, van modellje, tehát mint következtetés helyes.

A következtetés helyességének ellenőrzése analitikus táblázattal Összegezve: amennyiben egy Γ U K átalakításával nyert Γ U ~K új mondatosztály inkonzisztens (analitikus táblázatának minden ága zárt), akkor Γ U K helyes következtetés, amennyiben pedig Γ U ~K konzisztens (analitikus táblázatának van nyitott ága), akkor Γ U K helytelen következtetés. Ez azt jelenti, hogy mindegy, hogy Γ U K-t vagy Γ U ~K-t vizsgáljuk meg. Amiatt azonban, hogy biztosra mehessünk, érdemes Γ U ~K formuláit lebontani, mivel így, ha minden ág zárt, a befejezettség érzetével szemlélhetjük az ábrát.

Konjunktív származékok Vizsgáljunk meg néhány lebontást, hogy az elágazás jelentőségét megérthessük. Az úgynevezett konjunktív formulák származékait egymás alá kell írnunk, minid új sorszámot kapó sort képezve ezzel a táblázatban. Ilyen 2, 3 és 4.

Alternatív származékok Az úgynevezett alternatív formulák származékait pedig egymás mellé kell írnunk, ugyanazon sorszámmal, de két ágat képezve. Ilyen 5, 6 és 7.

Konjunktív származékok A konjunktív formulák egymás alá való lebontásának szemléletes értelme az, hogy mindkét feltételnek teljesülnie kell ahhoz, hogy az adott premissza igaz legyen. Nevezetesen: • A & B esetén sem A-nak, sem B-nek nem lehet ellentmondó párja a táblázatban. • mivel ~(A v B) <=> ~A & ~B (T 11), jól látszik, hogy sem ~A-nak, sem pedig ~B-nek nem lehet ellentmondó párja a táblázatban • mivel ~(A →B) <=> A & ~ B (T 16 -ból, negálva mindkét oldalt), ugyancsak jól látszik, hogy sem A-nak, sem pedig ~B-nek nem lehet ellentmondó párja a táblázatban.

Alternatív származékok Az alternatív formulák kettéágazással való lebontásának szemléletes értelme pedig az, hogy elegendő egyik feltételnek teljesülnie ahhoz, hogy az adott premissza igaz legyen. Nevezetesen: • A V B esetén A-nak vagy B-nek lehet ugyan ellentmondó párja az adott ágban, de mindkettőnek ellentmondó nem lehet. • mivel (A → B) <=> ~A v B (T 6 -ból és T 16 -ból) ez esetben ~A-nak vagy B-nek lehet ellentmondó párja az adott ágban, de nem lehet mindkettőben. • mivel pedig ~(A & B) <=> ~A v ~ B (T 12), ugyancsak jól látszik, hogy ~A-nak illetve ~B-nek lehet ellentmondó párja az ágon, de nem lehet mindkettőn.

Lebontási sorrend Szemléletesség szempontjából nem mindegy tehát, milyen formula lebontásával kezdjük. Ha alternatívval kezdünk (2 ág) és a mondatosztály tartalmaz még egy alternatívat, akkor már 4 águnk lesz. Ha eztuán bontjuk le a konjunktívat, akkor négyszer ugyanazt le kell írni. Ezért érdemes a konjunktív formulák lebontásával kezdeni (ha vannak). Fontos szabály, hogy nem maradhat formula lebontatlanul (csakis akkor befejezett a táblázat, ha minden formulát lebontottunk). Lássunk egy példát, miként zajlik mindez.

AT 1 A példa Jean esete az úrral. Emlékszünk. A formulaosztály így fest: 1. pvqvr 2. q→p 3. ~r ____________ K: p Jelöljük ezt meg J-vel és képezzük belőle a Γ U ~K osztályt, amelyet jelöljünk meg J*-gal. Íme:

AT 1 J* 1. 2. 3. 4. 5. 6. ~q p | q | *[4, 6] *[5, 6] pvqvr q→p ~r ~p | r | *[3, 6] p *[4, 5] [~K] [2] [1] Minden ág zárt, a J* osztály inkonzisztens, tehát J helyes következtetés. Megjegyzés: az 5. sor második ága a 4. sorral ellentmondásba kerül, ezért ez alá már nem kell beírni 1. származékait.

AT 1 Vizuális segítség az ellentmondások felismeréséhez: 1. 2. 3. 4. 5. 6. p * ~q | q * | pvqvr q→p ~r ~p | r | * p * [~K] [2] [1]

AT 2 Nézzünk még egy példát (lsd. 46 -50. slide) 1. (k → ~l) v m 2. k&l _________ K: m Képezzünk ebből Γ U ~K osztályt!

AT 2 Γ U ~K 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (k → ~l) v m k&l ~m k l (k → ~l) | ~k | ~l *[4, 7] m *[3, 6] *[5, 7] Minden ág befejezett és zár, tehát Γ U K helyes következtetés. [~K] [2] [1] [6]

AT 2 Vizuális segítség az ellentmondások felismeréséhez: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (k → ~l) v m k&l ~m k l (k → ~l) | ~k | ~l * * m * [~K] [2] [1] [6]

Függelék

Nullpremisszás következtetések A logikai axiómák (Arisztotelész) helyességének igazolása: ~ (A & ~A) A v ~A Ellenőrzésként rendeljük a tetszőleges állítást reprezentáló jelhez (A) a lehetséges két igazságérték mindegyikét, hogy a következtetés helyességét ellenőrizzük!

A logika alaptörvényei Az ellentmondásmentesség törvénye: ~(A & ~A) Tegyük fel, hogy A igaz, ez esetben non-A bizonyosan hamis. Mivel konjunkcióról van szó, ha ez egyik tagmondat hamis a másik pedig igaz, a kimenet hamis lesz. Márpedig hamis mondat negációja igaz kimenetet ad. Stop. Tegyük fel most azt, hogy A hamis, ez esetben non-A igaz lesz. De ez nem számít, mivel a konjunkció csak akkor adhat igaz kimenetet, ha mindkét tagmondat igaz, ami ez esetben nem áll fenn. A konjunkció kimenete hamis lesz, amelynek negációja igaz. Stop. Összefoglalva: megmutattuk, hogy a lehetséges interpretációk (A igaz, illetve A hamis) mindegyike igaz kimenet ad. Ez a formula mindig igaz. Ha tehát konklúzióként fogjuk fel, akkor premisszák nélkül is bizonyosan következik. => ~(A & ~A)

A logika alaptörvényei A kizárt harmadik törvénye: A V ~A Tegyük fel, hogy A igaz, ez esetben non-A hamis. Az alternáció szabálya szerint a formula igazságához elegendő, hogy az egyik tag igaz legyen. Ez teljesül. Stop. Tegyük most fel, hogy A hamis. Ez esetben az alternáció első tagja hamis, a második pedig igaz kimenetet ad, ami ugyancsak elegendő a formula igazságához. Stop. Minden lehetséges interpretációt számba véve megmutattuk tehát, hogy a séma mindig igaz és konklúzióként a semmiből is következik. => A V ~A