Logika Bevezet feladatok Dntse el hogy az albbi

Logika – Bevezető feladatok Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Válaszát indokolja! 1. Ha egy négyszög átlói egyenlő hosszúak és egymásra merőlegesek, akkor az négyzet. Hamis. Ha egy ilyen négyszög átlói nem felezik egymást, akkor a négyszög nem négyzet. 2. Páros számú pozitív egész szám összege is páros. Hamis. Pl. 2 + 3 + 5 + 7 = 17 3. Két négyzetszám szorzata is négyzetszám. Igaz. n 2·k 2 = (n·k)2 4. Két páratlan szám összege páros. Igaz…

Egy vízvezeték-hálózat részlete látható az ábrán, a víz az A hely felől a B felé folyhat. C 1, C 2 és C 3 egy-egy főcsap, ami nyitott vagy zárt állású lehet. A B helyen csőrepedés történt, amit sürgősen ki kell javítani. Melyik főcsap zárásával lehet elérni, hogy meg lehessen kezdeni a javítást? Ha több lehetőség is van, sorolja fel mindegyiket! C 1 C 2 C 3 B helyen folyik a víz N N N Igaz N N Z Hamis N Z N Igaz N Z Z Hamis Z N N Igaz Z N Z Hamis Z Z N Hamis Z Z Z Hamis Foglalja táblázatba a főcsapok összes lehetséges állását (nyitott = N, zárt = Z). Mindegyik lehetőség esetén tüntesse fel azt is, hogy a B helyen átfolyik-e a víz? Megoldás: 1. C 3 2. C 2 és C 3 3. C 1 és C 3 4. C 1 és C 2 5. C 1, C 2 és C 3

Egy vízvezeték-hálózat részlete látható az ábrán, a víz az A hely felől a B felé folyhat. C 1, C 2 és C 3 egy-egy főcsap, ami nyitott vagy zárt állású lehet. A B helyen csőrepedés történt, amit sürgősen ki kell javítani. Melyik főcsap zárásával lehet elérni, hogy meg lehessen kezdeni a javítást? Ha több lehetőség is van, sorolja fel mindegyiket! C 1 C 2 C 3 B helyen folyik a víz N N N Igaz N N Z Igaz N Z N Igaz N Z Z Hamis Z N N Igaz Z N Z Igaz Z Z N Hamis Z Z Z Hamis Megoldás: 1. C 2 és C 3 2. C 1 és C 2 3. C 1, C 2 és C 3

Logika A helyes következtetések tudománya Olyan általános törvényeket kutat, amelyeknek segítségével bármely következtetésről eldönthető annak helyessége. A logika szabályai szerint helyes következtetés neve deduktív következtetés, dedukció. A törvényeknek nincs közük az egyes ismeretek konkrét tartalmához, tehát ugyanúgy működnek, ha a pálcák színét és helyét kell kitalálni a mastermind játékban, mintha egy tudományos eredménysorozatból kellene következtetéseket levonni. Helyes-e a következtetés? Minden boszorkány szereti a tejbegrízt. Mindenki, aki szereti a tejbegrízt, szépen énekel. Tehát minden boszorkány szépen énekel.

Kijelentés, állítás, ítélet • A kijelentés olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. • A kijelentésre használják még az állítás vagy az ítélt elnevezést is. • Dichotómia: a kétértékűség elve. Egy kijelentés vagy igaz vagy hamis, de nem lehet egyszerre mindkettő A 2 prímszám. Igaz A háromszögek belső szögeinek összege 360○. Hamis Az iskolában a legszebb lányt Katának hívják. Nem kijelentés.

Feladatok Az alábbi mondatokról döntsük el, hogy kijelentések-e! Amennyiben kijelentés adjuk meg az igazságtartamát! 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) A Föld kering a Nap körül. 5 < 3 A 7 páratlan szám. X < 3 A 10 nem osztható 5 -tel. A Tisza mellékfolyója árad. XV. Lajos parókát viselt. Ez az állítás hamis. Toldi György nagy úr volt. Az informatika érdekes tantárgy.

Egyszerű és összetett kijelentések • Egyszerű vagy elemi kijelentéseknek nevezzük azokat a kijelentéseket, amelyeket nem bonthatunk fel egyszerűbb kijelentésekre. • Összetett kijelentés, amelyik nem elemi kijelentés. • Azokat az kijelentéseket, amelyekre az összetett kijelentés felbontható, az összetett kijelentés részkijelentéseinek nevezzük. • A részkijelentéseket logikai műveletekkel kapcsolhatjuk összetett kijelentésekké. Kék az ég és zöld a fű. Kovács vagy Tóth dolgozata elégtelen lett. = Kovács dolgozata elégtelen lett vagy Tóth dolgozata elégtelen lett.

Feladatok Adjuk meg az alábbi összetett kijelentések részkijelentéseit! 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Amália és Bella kertészek. Juli is, Mari is táncol. "Lement a nap. De csillagok nem jöttenek. " (Petőfi) Kevésre vitte, noha becsületesen dolgozott. Esik az eső, vagy fúj a szél. Vagy busszal jött, vagy taxival. Ha megtanulom a leckét, akkor ötösre felelek. Ha esik az eső, akkor nedves az út. Ha hull a hó vagy kánikula van, akkor késnek a vonatok.

Igazságtáblázat • Oszlopai a részkijelentések és az összetett kijelentés igazságértékeit tartalmazzák. • Soraiban szerepel a részkifejezések igazságértékeinek összes lehetséges variációja. A, B: részkifejezések Ω: logikai művelet A B AΩB Igaz Hamis Igaz Hamis Hány különböző kétváltozós logikai művelet létezik? 16 Mivel a négy sor mindegyikének az eredménye egymástól függetlenül kétféle lehet (igaz/hamis), azaz a lehetséges esetek száma 2*2*2*2 = 24=16 Analógia: 4 jegyű bináris szám 1000

Negáció, tagadás • A negáció olyan egyváltozós logikai művelet, melynek eredménye akkor és csak akkor igaz, ha az eredeti kijelentés hamis. • Jelölés: kijelentés tagadása • A negáció igazságtáblázata: Igaz Hamis Pl. : = A tábla zöld. = A tábla nem zöld. = Nem a tábla zöld. Hamis Igaz

A negáció néhány tulajdonsága. A kettős tagadás törvénye: a tagadása azonos az állítással. Igazoljuk igazságtáblázattal: Igaz Hamis Logikai konstansok tagadása:

A tagadás különböző formái. Kijelentés: 3 osztója 2004 -nek. Tagadás: • 3 nem osztója 2004 -nek. • Nem igaz, hogy 3 osztója 2004 -nek. • Nem áll fenn, hogy 3 osztója a 2004 -nek. • Nem teljesül, hogy 3 osztója a 2004 -nek. • Hamis az, hogy 3 osztója a 2004 -nek.

Konjunkció (és művelet) • Definíció: A p, q ítéletekből az és kötőszóval képzett p és q összetett ítélet a p és q konjunkciója. • Legyen P és Q két kijelentés. , akkor és csak akkor igaz, ha p is igaz és q is igaz. • Jelölés: P and Q , Igazságtáblázat: P P: A 30 páros szám. Q Igaz Hamis Hamis Igaz Q: A harminc osztható 5 -tel. P and Q Igaz P and Q: A 30 páros szám és osztható 5 -tel. Igaz

A konjunkció tulajdonságai Idempotens: P and P = P P Igaz Hamis Igaz P and Igaz Hamis Igaz Hamis P and Hamis = Hamis P and not P = Hamis P and P Igaz P P and Igaz = P P P Hamis P and Hamis Igaz Hamis Hamis P not P P and not P Igaz Hamis Igaz Hamis

A konjunkció tulajdonságai P Kommutatív: P and Q = Q and P Bizonyítás igazságtáblával: Q P and Q Q and P Igaz Igaz Hamis Hamis Hamis Asszociatív: P and (Q and R) = (P and Q) and R Bizonyítás igazságtáblával: P i i i h h h Q i i h i h h R i h i i h h i h Q R P (Q R) i i h h h h P i i i h h h Q i i h i h h R i h i i h h i h P Q (P Q) R i i i h h h h

Diszjunkció (megengedő vagy) • Definíció: A p, q ítéletekből a vagy kötőszóval képzett p vagy q összetett ítélet a p és q diszjunkciója. • Legyen P és Q két kijelentés. , akkor és csak akkor hamis, ha p is hamis és q is hamis. • Jelölés: P or Q , Igazságtáblázat: P Q P or Q Igaz Igaz Hamis Hamis P: A 621 osztható kilenccel. Igaz Q: 3+3=3*3. Hamis P or Q: A 621 osztható kilenccel vagy 3+3=3*3. Igaz

A diszjunkció tulajdonságai Idempotens: P or P = P P or Igaz = Igaz P or Hamis = P P or not P = Igaz P P P or P Igaz Hamis P Igaz P or Igaz Hamis Igaz P Hamis P or Hamis Igaz Hamis P not P P or not P Igaz Hamis Igaz

A diszjunkció tulajdonságai P Kommutatív: P or Q = Q or P Bizonyítás igazságtáblával: Q P or Q Q or P Igaz Igaz Hamis Igaz Hamis Asszociatív: P or (Q or R) = (P or Q) or R Bizonyítás igazságtáblával, mint a konjunkciónál.

A műveletek precedenciája 1. not 2. and 3. or P and not Q = P and (not Q) P and Q or R = (P and Q) or R A and B or C and D = (A and B) or (C and D) A or B and C or D = A or (B and C) or D Analógia 1. not előjel 2. and *, / 3. or +, - A*B+C*D=(A*B)+(C*D) A+B*C+D=A+(B*C)+D

Feladatok Írjuk fel formálisan a következő kijelentéseket! • Legyen x 0 -nál nagyobb és 10 -nél kisebb valós szám. • Legyen x 0 -nál nagyobb és 10 -nél kisebb, páros szám. • Legyen x 0 -nál nagyobb, hárommal osztható, páratlan szám. • Legyen x 0 -nál nagyobb, hárommal vagy öttel osztható, páros szám. • Legyen x 0 -nál nem kisebb és 100 -nál nem nagyobb, hárommal vagy héttel osztható páros szám. • Legyenek [a, b] és [c, d] zárt intervallumok. Írd le a két intervallum átfedését megadó logikai kifejezést!

Disztributivitás P and (Q or R) = (P and Q) or (P and R) Bizonyítás igazságtáblával: P Q R Q or R P and (Q or R) P and Q P and R (P and Q) or (P and R) I I I I I H I I I H H H H I I I H H H I I H H H P or (Q and R) = (P or Q) and (P or R) Bizonyítás igazságtáblával az előzőhöz hasonlóan.

De Morgan azonosságok not (P and Q) = not P or not Q Bizonyítás igazságtáblával: P Q P and Q not (P and Q) not P not Q not P or not Q I I I H H I H I H H H I I Not (P or Q) = not P and not Q Bizonyítás igazságtáblával az előzőhöz hasonlóan.

Elnyelési tulajdonságok P or (P and Q) = P Bizonyítás igazságtáblával: P Q P and Q P or (P and Q) I I I H H H P and (P or Q) = P Bizonyítás igazságtáblával az előzőhöz hasonlóan.

Feladatok Tagadja a következő állításokat P: Az x szám páros. Q: Az x szám osztható 5 -tel. P and Q: Az x szám páros és osztható 5 -tel. not(P and Q): Az x szám nem páros vagy nem osztható 5 -tel. P or Q: Az x szám páros vagy osztható 5 -tel. not(P or Q): Az x szám nem páros és nem osztható 5 -tel. Rántottát eszek vagy kávét iszok. Nem eszek rántottát és nem iszok kávét. Tejet iszok és sonkát eszek. Nem iszok tejet vagy nem eszek sonkát. Ma este moziba megyek vagy olvasok. Ma este nem megyek moziba és nem olvasok. Hull a hó, és Micimackó fázik. Nem hull a hó, vagy Micimackó nem fázik.

Feladatok Minek a tagadása a következő mondat? Ma hétfő van és nincs nyitva a bolt. Ma nem hétfő van, vagy nyitva van a bolt.

Feladatok

Feladatok

Feladatok

Feladatok

Feladatok Van három, különböző színű üveggolyóm: piros, kék és zöld. Elrejtek egy golyót. A logikai kijelentések alapján találd ki, hogy melyiket. 1. Nem igaz, hogy az elrejtett golyó piros vagy zöld. not (P or Z) = not P and not Z , tehát kék az elrejtett golyó 2. Peti és Zoli igazat állít az elrejtett golyóról. Peti: Nem igaz, hogy az elrejtett golyó kék vagy zöld és kék. Zoli: Nem igaz, hogy az elrejtett golyóra egyszerre teljesüljön az, hogy zöld, illetve piros vagy zöld. Peti: not (K or (Z and K)) = not K elnyelési szabály Zoli: not (Z and (P or Z)) = not Z elnyelési szabály tehát not K and not Z, azaz piros az elrejtett golyó 3. Peti és Zoli igazat állít az elrejtett golyóról. Peti: Nem teljesül az elrejtett golyóra, hogy nem piros és nem kék. Zoli: Az elrejtett golyó nem piros, továbbá zöld vagy piros vagy kék. Peti: not ( not P and not K) = de Morgan: not (P or K) = P or K Zoli: not P and (Z or P or K) = not P and IGAZ = not P tehát (P or K) and not P, akkor kék a elrejtett golyó

Feladatok Egyszerűsítsd a következő logikai kifejezéseket! A and B and not (A and B) and (A or not A) = Legyen P = A and B P and not P and IGAZ = =Hamis (C and (A or C)) or A and (B or C) and (not A or not (B or C)) = C or A and (B or C) and not (A and (B or C)) , legyen P = A and (B or C) C or P and not P = C or HAMIS = C (A or B) and (A or C) or not A and (not B or not C)= A or (B and C) or not A and not (B and C)= A or (B and C) or not (A or (B and C)) , legyen P= A or (B and C) P or not P = IGAZ (A and (B or A) or B and C and (not B or not C)) and (A or B or not A and not B) or (not B or not C) and not(not B or not. C)= (A or B and C and not(B and C)) and (A or B or not(A or B)) or not(B and C) and not not (B and C) = (A or HAMIS) and IGAZ or HAMIS = A

Feladatok 1) Egy szigeten lovagok és lókötők élnek. A lovagok mindig igazat mondanak a lókötők mindig hazudnak. Az első járókelőtől megkérdezzük: Ön lovag? Mit fog válaszolni? Igen 2) Ketten jönnek szembe A és B. A: Legalább az egyikünk lókötő. Milyenek ők? A lovag, B lókötő. 3) Három szigetlakóval találkozunk (X, Y, Z). X: Y lókötő. Y: X és Z azonos típusú. Milyen Z? Z lókötő. 4) Három szigetlakóval találkozunk (X, Y, Z). X: Mindhárman hazudósak vagyunk. Y: Pontosan egy igazmondó van közöttünk. Milyen emberek ők? X lókötő, Y lovag, Z lókötő.

Feladatok A helyi italmérést az éj leple alatt kirabolták. A három gyanúsított a következőképpen vallott: Bendegúz: Lajos és Károly volt, vagy nem Lajos, vagy nem Károly volt. Lajos : Bendegúz, vagy Bendegúz és Károly követte el a rablást. Károly: ügyvédet akarok. Ki a valódi elkövető, ha feltételezzük, hogy igazat mondtak? Vezessük be a következő kijelentéseket: L = Lajos a tettes. K = Károly a tettes. B = Bendegúz a tettes. Ekkor a vallomások Bendegúz: L and K or not L or not K Lajos: B or B and K Károly: nem állítás Írjuk fel a logikai kifejezést! (B or B and K) and (L and K or not L or not K)= B and (L and K or not (L and K) )= B and IGAZ = B Tehát Bendegúz az elkövető.

Feladatok A helyi italmérést az éj leple alatt kirabolták. A három gyanúsított a következőképpen vallott: Lajos : Nem én követtem el a rablást. Bendegúz: Nem Károly volt. Károly: Én voltam. A későbbi vallatás alatt ketten bevallották, hogy hazudtak. Ki a valódi elkövető? Vezessük be a következő kijelentéseket: L = Lajos a tettes. K = Károly a tettes. B = Bendegúz a tettes. Ekkor a vallomások Lajos: not L Bendegúz: not K Károly: K Írjuk fel a logikai kifejezést! Ha kettő hazudott, akkor a három kijelentésből válasszunk ki kettőt minden lehetséges módon, ezt a kettőt tagadjuk, és az így keletkezett hármasokat or kapcsolattal kössük össze. (L and K) or (L and not K) or (not L and K and not K)= (L and K) or (L and not K) or (not L and Hamis)= L and (K or not K) or Hamis = L Tehát Lajos az elkövető.

Feladatok 1) Egy futóverseny 4 indulója a verseny után a következőket mondja: A: Nem én lettem az első. B: D nyert. C: A nyert. D: nem A nyert. Ki győzött, ha pontosan egy igaz állítás van a fentiek között. A győzött. 1) Aladár, Bálint, Cecil és Dénes közül valamelyikük betörte az ablakot. A következőket vallották: A: Nem C tette. B: Azt hiszem A volt és nem D, vagy inkább nem A és nem D tette. C: A lehetett vagy biztosan nem B tette. D: Nem C tette, vagy A lehetett és nem C. Később kiderült, hogy C nem mondott igazat. Bálint a tettes.

Implikáció (ha…, akkor…) • Definíció: Az P és Q ítéletek implikációjának nevezzük P előtaggal és Q utótaggal azt az ítéletet, amelynek logikai értéke akkor és csak akkor hamis, ha P igaz és Q hamis. • Jelölés: P → Q • Igazságtáblája: P Q P→Q Igaz Hamis Igaz Hamis Igaz P: Az x tízes számrendszerbeli szám utolsó számjegye 5. Q: Az x osztható öttel. P → Q: Ha az x tízes számrendszerbeli szám utolsó számjegye 5, akkor osztható öttel.

Implikáció tulajdonságai • Nem kommutatív • Nem asszociatív • P → P = Igaz • P → Igaz = Igaz • P → Hamis = not P • Hamis → P = Igaz • Igaz → P = P • P → Q = not P or Q • Not (P → Q) = P and not Q

. A kengurukról a következőket tudjuk: „Ha nem esik az eső, akkor a kenguruk vidámak. ” Melyiket állíthatjuk akkor biztosan az alábbiak közül? A. Ha esik az eső, akkor a kenguruk szomorúak. B. Ha kenguruk vidámak, akkor nem esik az eső. C. Ha a kenguruk vidámak, akkor esik az eső. D. Ha a kenguruk szomorúak, akkor esik az eső. E. Ha a kenguruk szomorúak, akkor nem esik az eső. Megoldás: Legyen p= „esik az eső” és q= „a kenguruk vidámak (nem szomorúak)” Az eredeti kijelentés a következő szerkezetű: . Az állítások szerkezete pedig: A) B) C) D) E) Készítsük el az ítélettáblázatot! p í í h h q í h i h h h i i h h i i i i i h i i

Aladár, Bálint, Cecil, Dénes és Elemér közül egy vagy több diák zombivá vált a túl sok logika tanulás következtében. A következő igaz állítások alapján találd ki, ki lehet a zombi! 1: Lehetetlen, hogy B zombi és C nem zombi. 2: C nem zombi, de A vagy B zombi. 3: Ha D zombi, akkor C is zombi. 4: Lehetetlen, hogy B vagy D zombi vagy A nem zombi. 5: Biztosan nem igaz, hogy C zombi és A nem zombi vagy E nem zombi. A és E zombi

Ekvivalencia (akkor és csak akkor) • Definíció: Az P és Q ítéletek ekvivalenciájának nevezzük azt az ítéletet, amelynek logikai értéke igaz akkor és csak akkor igaz, ha p és q ítéletek logikai értéke azonos. • Jelölés: P ↔ Q • Igazságtáblája: P Q P ↔Q Igaz Hamis Hamis Igaz P: Az x osztható hárommal Q: Az x számjegyeinek összege osztható hárommal P↔Q: Az x osztható hárommal akkor és csak akkor, ha számjegyeinek összege osztható hárommal

Ekvivalencia tulajdonságai • Kommutatív • Asszociatív • P ↔ P = Igaz • P ↔ Igaz = P • P ↔ Hamis = not P • P ↔ Q = (P → Q) and (Q → P)

Kizáró vagy, XOR • Definíció: P xor Q akkor és csak akkor igaz, ha P és Q értéke különböző. • Jelölés: P xor Q • Igazságtábla: P Q P xor Q Igaz Hamis Igaz Hamis P: Ma este 8 -ra moziba megyek. Q: Ma este 8 -ra színházba megyek. P xor Q: Ma este 8 -ra moziba megyek vagy színházba megyek.

Kvantorok • Minden ember emlős. Jelölés e: ember és E: emlős Nem minden madár tud repülni. M: madár, R: Tud repülni • Létezik páros szám. Nem létezik kétéltű ember. Létezik negatív szám. = Nem minden szám nem-negatív. Létezik nem-negatív szám. = Nem minden szám negatív. Nem létezik kétéltű ember. = Minden ember nem kétéltű. (Egyik ember sem kétéltű) Létezik nem emlős ember. = Minden ember emlős.

Kvantorok Írjuk fel a másik kvantororral az alábbi mondatokat! Van olyan szám ami nem páros. Nem minden szám páratlan. Nem minden madár tud repülni. Nincsen szárnyas ember. Minden egér szereti a sajtot. Van olyan macska, amelyik nem szereti az egeret. Nem minden kutya nagyobb , mint egy macska. Nincsen repülő giliszta. Létezik repülő hal. Létezik húsevő növény. Nem minden állat húsevő. Nem minden fa lombhullató. Minden emlős gerinces. Nem létezik hattal osztható páratlan szám. Lesz olyan diák aki megbukik informatikából. Minden diák átmegy informatikából.

Peti, Áron, Levi, Bence, Kristóf

Feri, Gyula, Jancsi és Karcsi meglátogatták egy beteg barátjukat. A négy fiú családi neve valamilyen sorrendben: Kiss, Nagy, Szabó és Molnár. Elsőnek Molnár érkezet, másodiknak Jancsi, ezután Kiss és végül Gyula. Mindenki hozott egy ajándékot: Molnár bűvös kockát, Feri golyóstollat, Gyula virágot, Szabó pedig könyvet. Mi a négy fiú teljes neve? Foglaljuk táblázatba a leírtakat. Jelölés: nem lehet -, biztos + Kiss Nagy - + Feri Gyula Jancsi Karcsi Szabó - Molnár + Marad: Kiss Feri Jancsi Szabó - - Tehát a teljes nevek: Kiss Feri, Nagy Gyula, Szabó Jancsi, Molnár Karcsi.

Igazoljuk táblázattal és azonossággal a következő azonosságokat! a. ) b. ) Bizonyítsuk be a következő összefüggést: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi formulák azonosan igazak!

Van 5 ház, s mindegyiknek a színe különböző. Mindegyik házban különböző nemzetiségű személy lakik. Mindegyik lakó egy bizonyos italt részesít előnyben, egy bizonyos cigarettamárkát szív, és egy bizonyos háziállatot tart. Az 5 személy egyike sem iszik azonos italt, nem szív azonos cigarettamárkát, és nem tart azonos háziállatot, mint a szomszédai. A kijelentések: 1. az angol a piros házban él 2. a svéd kutyát tart 3. a dán szívesen iszik teát 4. a zöld ház közvetlenül balra áll a fehértől 5. a zöld ház tulajdonosa a kávét szereti 6. az a személy, aki pall mall-t szív, madarat tart 7. a személy a középső házban, tejet iszik 8. a sárga ház tulajdonosa dunhill-t szív 9. a norvég lakik az első házban 10. a marlboro-dohányos amellett lakik, aki macskát tart 11. az a személy, aki lovat tart, amellett lakik, aki dunhill-t szív 12. a winfield-dohányos a sört szereti 13. a kék ház mellett lakik a norvég 14. a német rothmanns-t szív 15. annak, aki marlboro-t szív, van egy szomszédja, aki vizet iszik A kérdés: Kié a hal?