Logaritmvrratused T Lepikult 2003 Logaritmfunktsiooni monotoonsus Logaritmvrratuses esineb

Logaritmvõrratused © T. Lepikult, 2003

Logaritmfunktsiooni monotoonsus Logaritmvõrratuses esineb otsitav muutuja logaritmitavas või logaritmi aluses. Lahendamisel kasutatakse logaritmfunktsiooni monotonsuse omadust: ühest suurema aluse korral on logaritmfunktsioon kasvav ja ühest väiksema (kuid nullist suurema) aluse korral kahanev. y y = log a x, a > 1 4 2 1 0 -1 -2 1/a 1 a 2 x 3 y = log 1/a x, 0<1/a <1

Lihtsaimad logaritmvõrratused (1) (2) on lahenduvad igasuguse konstandi b R korral. Juhul on võrratus (1) rahuldatud kui aga siis kui Juhul on võrratus (1) rahuldatud kui võrratus (2) aga siis kui y y b b 1 ab x võrratus (2) 1 ab x

Järeldus logaritmfunktsiooni monotoonsusest Logaritmvõrratus on a > 1 korral samaväärne võrratusega 0 < a < 1 korral aga võrratusega

Ülesanne 1 Lahendada võrratus Lahendus Kuna siis võime algse võrratuse ümber kirjutada nii: Kuna logaritmi alus 3 > 1, siis logaritmfunktsiooni monotoonsuse tõttu millest saame lahendi: VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk

Ülesanne 2 Lahendada võrratus Lahendus Kuna siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: Kuna ühest väiksema alusega logaritmfunktsioon on kahanev, siis millest VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk

Ülesanne 3 (I) Lahendada võrratus Lahendus Kuna siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: millest järeldub, et Tulemuseks saime eksponentvõrratuse, mille lahendamiseks korrutame selle mõlemaid pooli positiivse arvuga

Ülesanne 3 (II) Tehes asenduse saame ruutvõrratuse Lahendame vastava ruutvõrrandi:

Ülesanne 3 (III) Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5, kuna aga u = 5 x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on võõrlahendite hulk.

Ülesanne 3 (IV) Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi esialgsele muutujale: Ühest suurema alusega eksponentfunktsioon on kasvav, seetõttu on viimane võrratus samaväärne võrratusega mis ongi lahendatava võrratuse lahendihulgaks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk