LOGARITMOS HISTRIA A inveno dos logaritmos ocorreu no

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LOGARITMOS

LOGARITMOS

HISTÓRIA A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada

HISTÓRIA A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente cálculos seu objetivo numéricos, era simplificar principalmente os em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e expressões como mais ágeis cálculos de

HISTÓRIA A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos expressões

HISTÓRIA A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos expressões como 2, 382, 5 5, 13, 8 3 . √ 12, 4 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102, 5. log 2, 38 + (1/3). log 12, 4 – 3, 8. log 5, 1 de

HISTÓRIA Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a

HISTÓRIA Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

HISTÓRIA Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo,

HISTÓRIA Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.

TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10

TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10

A BASE 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base

A BASE 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0, 1 = 10– 1 10 = 101 0, 01 = 10– 2 100 = 102 0, 001 = 10– 3 1 000 = 103 0, 0001 = 10– 4 10 000 = 104 0, 00001 = 10– 5

A BASE 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência

A BASE 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 100, 301 3 = 100, 477 7 = 100, 845 11 = 101, 041 13 = 101, 114

EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, escreva

EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. ü 4 = 22 ü 5= 10 2 = (100, 301)2 = 100, 602 = 10 100, 301 = 101 – 0, 301 = 100, 699 ü 6 = 2. 3 = 100, 301. 100, 477 = 100, 301 + 0, 477 = 100, 778

EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, escreva

EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, escreva o número 60 como potência de base 10. ü 60 = 2. 3. 10 = 100, 301. 100, 477. 10 ⇒ 60 = 100, 301 + 0, 477 + 1 ⇒ 60 = 101, 778

EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, resolva

EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, resolva a equação exponencial 2 x = 12 ⇒ 2 x = 22. 3 ⇒ (100, 301)x = (100, 301)2. 100, 477 ⇒ 100, 301. x = 100, 602. 100, 477 ⇒ 100, 301. x = 101, 079 ⇒ x = 1, 079 0, 301 ⇒ 0, 301. x = 1, 079 ⇒ x ≈ 3, 585

LOGARITMO COMO EXPOENTE

LOGARITMO COMO EXPOENTE

LOGARITMO COMO EXPOENTE O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente

LOGARITMO COMO EXPOENTE O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2 x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log 2 8 = 3

LOGARITMO COMO EXPOENTE Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao

LOGARITMO COMO EXPOENTE Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log 2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax =

DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b ü a é a base; ü b é o logaritmando ou antilogaritmo; ü x é o logaritmo;

EXEMPLOS q log 2 32 = 5, porque 25 = 32 q log 3

EXEMPLOS q log 2 32 = 5, porque 25 = 32 q log 3 (1/81) = – 4, porque 3– 4 = 81 q log 10 0, 001 = – 3, porque 10– 3 = 0, 001 3 3 q log 5 √ 25 = 2/3, porque 52/3 = √ 252 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

EXEMPLOS q Calcular log 4 8 = x ⇒ 4 x = 8 ⇒

EXEMPLOS q Calcular log 4 8 = x ⇒ 4 x = 8 ⇒ 22 x = 23 ⇒ ⇒ (22)x = 23 x = 3/2

EXEMPLOS 5 q Calcular log 1/3 √ 9. 5 log 1/3 √ 9 =

EXEMPLOS 5 q Calcular log 1/3 √ 9. 5 log 1/3 √ 9 = x ⇒ 1 3 x 5 = √ 9 ⇒ (3– 1)x = 32/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = – 2/5 ⇒ 3–x = 32/5

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: b>0 loga b = x ⇔ a>0 a≠ 1

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA q Analise quais seriam os significados de log 2 (– 4),

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA q Analise quais seriam os significados de log 2 (– 4), log(– 2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossem definidos. log 2 (– 4) = x ⇒ 2 x = – 4 impossível log– 2 8 = x ⇒ (– 2)x = 8 impossível log 7 0 = x ⇒ 7 x = 0 impossível log 1 6 = x ⇒ 1 x = 6 impossível log 0 2 = x ⇒ 0 x = 2 impossível

OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas

OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.

EXEMPLOS q Resolver a equação logx (2 x + 8) = 2. 1 o.

EXEMPLOS q Resolver a equação logx (2 x + 8) = 2. 1 o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. x > – 4 2 x + 8 > 0 x>0 ⇒ x≠ 1 ⇒ x>0 x≠ 1 2 o. Usando a definição de logaritmo. logx (2 x + 8) = 2 ⇒ ⇒ x = – 2 ou x = 4. x 2 = 2 x + 8 ⇒ ⇒ x 2 – 2 x – 8 = 0 S = {4}

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 porque a 0 = 1 loga a = 1 porque a 1 = a loga ak = k porque ak = ak

EXEMPLOS q log 3 3 = log 10 10 = log 3, 7 =

EXEMPLOS q log 3 3 = log 10 10 = log 3, 7 = 1 q log 3 1 = log 10 1 = log 3, 7 1 = 0 q log 3 39 = 9 q log 10 10– 3 = – 3

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: loga k a =k

EXEMPLOS log 5 3 q 5 =3 1 + log 2 6 q 2

EXEMPLOS log 5 3 q 5 =3 1 + log 2 6 q 2 q 9 log 3 5 = = log 3 5 (32) 1 – log 15 3 q 15 log 2 6 21. 2 = = 2. 6 = 12 log 3 5 = 3 151 15 log 15 3 = 2 = 52 = 25 15 3 =5

SISTEMA DE LOGARITMOS

SISTEMA DE LOGARITMOS

SISTEMA DE LOGARITMOS Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa

SISTEMA DE LOGARITMOS Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log 10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10)

EXEMPLOS q log 1000 = log 10 1000 = 3 q log 0, 01

EXEMPLOS q log 1000 = log 10 1000 = 3 q log 0, 01 = log 10 10– 2 = – 2 q log 1 = log 10 1 = 0 q log 100 = log 10 100 = 2

SISTEMA DE LOGARITMOS O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o

SISTEMA DE LOGARITMOS O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e= 2, 71828. O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x → logaritmo natural de x (base e)

EXEMPLOS q Ln e = loge e = 1 q Ln 10 = loge

EXEMPLOS q Ln e = loge e = 1 q Ln 10 = loge 10 ≈ 2, 3 q Ln e 3 = loge e 3 = 3

OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto

OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a q colog 2 8 = – 3 q colog 3 (1/9) = – log 3 (1/9) = 2

LOGARITMOS DECIMAIS

LOGARITMOS DECIMAIS

LOGARITMOS DECIMAIS O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry

LOGARITMOS DECIMAIS O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 -1631). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.

TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS n log n n 1 0 11 1, 041 21

TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS n log n n 1 0 11 1, 041 21 2 0, 301 12 1, 079 22 log 13 = 1, 114 log n n log n ou 1, 322 1, 11431 1, 491 10 = 13 1, 342 1, 505 32 3 0, 477 13 1, 114 23 1, 362 33 1, 519 4 0, 602 14 1, 146 24 1, 380 34 1, 531 5 0, 699 15 1, 176 25 1, 398 35 1, 544 6 0, 778 16 1, 204 26 1, 415 36 1, 556 7 0, 845 17 1, 230 27 1, 431 37 1, 568 8 0, 903 18 1, 255 . . . 9 0, 954 99 1, 996 10 1 1, 447 28 35 = 1, 544 1, 279 1, 462 19 log 29 ou 1, 301 1, 477 20 30 101, 544 = 35 100 2

EXEMPLOS q Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c)

EXEMPLOS q Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10– 30 e) log 0, 000001

EXEMPLOS q Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31

EXEMPLOS q Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100, 903 + 101, 505 – 1000, 69 c) os valores de x e y tais que 10 x = 26 e 1000 y = 15

EXEMPLOS q Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 =

EXEMPLOS q Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1, 114 ou 101, 114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102, 114; 104, 114; 100, 114 e 1001, 557. b) log 130; log 13000; log 1, 3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10 x = 0, 13 e 13 y = 103, 342.

MUDANÇA DE BASE

MUDANÇA DE BASE

FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra

FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. Logb a = logk a logk b

EXEMPLOS q Resolver a equação 5 x = 20, dados os logaritmos decimais log

EXEMPLOS q Resolver a equação 5 x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0, 699 e log 20 = 1, 301. 5 x = 20 log 5 20 = ⇒ x = log 5 20 log 10 5 = log 20 log 5 = 1, 301 0, 699 = 1, 861

EXEMPLOS q Se log 2 = 0, 30 e log 3 = 0, 48,

EXEMPLOS q Se log 2 = 0, 30 e log 3 = 0, 48, calcular log 2 3. 1 o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 2 3 = log 3 log 2 = 0, 48 0, 30 = 1, 6 Observe que, log 2 3 = 1, 6 ⇔ 21, 6 = 3.

EXEMPLOS q Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do

EXEMPLOS q Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log 2 7. Log 7 13. Log 13 2 1 o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 . log 13. log 2 = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1

CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE q Compare os valores dos log 5 25 e

CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE q Compare os valores dos log 5 25 e log 25 5. log 5 25 = 2 e log 25 5 = 1/2 q Compare, também, os valores log 2 8 e log 8 2. log 2 8 = 3 e log 8 2 = 1/3 q Que conclusão se pode tirar dessas comparações? logb a = 1/loga b q Se logx y = 3/5, calcule logy x = 5/3

GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: logb a = loga

GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: logb a = loga a loga b 1 loga b

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos transformar: § multiplicações em adições; § divisões em subtrações; § potenciações em multiplicações; § radiciações em divisões. logaritmos podemos

LOGARITMO DO PRODUTO Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores

LOGARITMO DO PRODUTO Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0, 477 e log 7 = 0, 845. log 3 = 0, 477 ⇒ 100, 477 = 3 log 7 = 0, 845 ⇒ 100, 845 = 7 x = 21 log 21 log = x 21 =⇒ log 10 (3. 7) = log 3 + log 7 ⇒ 10 x = 3. 7 ⇒ 10 x = 100, 477. 100, 845 ⇒ 10 x = 100, 477 + 0, 845 ⇒ x = 1, 322

LOGARITMO DO PRODUTO De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa

LOGARITMO DO PRODUTO De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x. y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.

EXEMPLOS A partir de log 2 = 0, 301 e log 13 = 1,

EXEMPLOS A partir de log 2 = 0, 301 e log 13 = 1, 114, calcular log 26 e log 2000. ü log 26 = log (2. 13) = log 2 + log 13 log 26 = 0, 301 + 1, 114 = 1, 415 ü log 2000 = log (2. 1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0, 301 + 3 = 3, 301

EXEMPLOS Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 +

EXEMPLOS Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 50 = log (4. 5. 50) log 4 + log 50 = log 1000 = 3

LOGARITMO DO QUOCIENTE Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores

LOGARITMO DO QUOCIENTE Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0, 301 e log 3 = 0, 477. log 2 = 0, 301 ⇒ 100, 301 = 2 log 3 = 0, 477 ⇒ 100, 477 = 3 log (3/2) = x ⇒ 10 x 3 = = 2 100, 477 100, 301 ⇒ x = 0, 477 – 0, 301 x = 3/2 ⇒ 10 log (3/2) = log 3 – log 2 = 100, 477 – 0, 301 ⇒ x = 0, 176

LOGARITMO DO QUOCIENTE De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa

LOGARITMO DO QUOCIENTE De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga x = loga x – loga y y

EXEMPLOS A partir de log 2 = 0, 301 obter log 5 = log

EXEMPLOS A partir de log 2 = 0, 301 obter log 5 = log 10 – log 2 = 1 – 0, 301 2 ⇒ log 5 = 0, 699

LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor

LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0, 477 log 34 = x ⇒ ⇒ 100, 477 = 3 10 x = 34 ⇒ 10 x = (100, 477)4 ⇒ x = 4. 0, 477 ⇒ x = 1, 908 log 34 = 4. log 3

LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do

LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Loga xk = k. loga x

EXEMPLOS A partir do log 3 = 0, 477, calcular log 0, 009 =

EXEMPLOS A partir do log 3 = 0, 477, calcular log 0, 009 = log 9 – log 100 = log 32 – 2 = 2. log 3 – 2 = 2. 0, 477 – 2 = 0, 954 – 2 = – 1, 046

EXEMPLOS Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log

EXEMPLOS Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log 2 72 em função de a e b. log 2 72 = = = log 72 log 2 = log 23. 32 log 23 + log 32 log 2 3 a + 2 b a = 3. log 2 + 2. log 3 log 2