LOGARITMOS HISTRIA A inveno dos logaritmos ocorreu no
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LOGARITMOS
HISTÓRIA A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente cálculos seu objetivo numéricos, era simplificar principalmente os em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e expressões como mais ágeis cálculos de
HISTÓRIA A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos expressões como 2, 382, 5 5, 13, 8 3 . √ 12, 4 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102, 5. log 2, 38 + (1/3). log 12, 4 – 3, 8. log 5, 1 de
HISTÓRIA Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.
HISTÓRIA Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.
TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10
A BASE 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0, 1 = 10– 1 10 = 101 0, 01 = 10– 2 100 = 102 0, 001 = 10– 3 1 000 = 103 0, 0001 = 10– 4 10 000 = 104 0, 00001 = 10– 5
A BASE 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 100, 301 3 = 100, 477 7 = 100, 845 11 = 101, 041 13 = 101, 114
EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. ü 4 = 22 ü 5= 10 2 = (100, 301)2 = 100, 602 = 10 100, 301 = 101 – 0, 301 = 100, 699 ü 6 = 2. 3 = 100, 301. 100, 477 = 100, 301 + 0, 477 = 100, 778
EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, escreva o número 60 como potência de base 10. ü 60 = 2. 3. 10 = 100, 301. 100, 477. 10 ⇒ 60 = 100, 301 + 0, 477 + 1 ⇒ 60 = 101, 778
EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100, 301 e 3 = 100, 477, resolva a equação exponencial 2 x = 12 ⇒ 2 x = 22. 3 ⇒ (100, 301)x = (100, 301)2. 100, 477 ⇒ 100, 301. x = 100, 602. 100, 477 ⇒ 100, 301. x = 101, 079 ⇒ x = 1, 079 0, 301 ⇒ 0, 301. x = 1, 079 ⇒ x ≈ 3, 585
LOGARITMO COMO EXPOENTE
LOGARITMO COMO EXPOENTE O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2 x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log 2 8 = 3
LOGARITMO COMO EXPOENTE Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log 2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.
DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b ü a é a base; ü b é o logaritmando ou antilogaritmo; ü x é o logaritmo;
EXEMPLOS q log 2 32 = 5, porque 25 = 32 q log 3 (1/81) = – 4, porque 3– 4 = 81 q log 10 0, 001 = – 3, porque 10– 3 = 0, 001 3 3 q log 5 √ 25 = 2/3, porque 52/3 = √ 252 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.
EXEMPLOS q Calcular log 4 8 = x ⇒ 4 x = 8 ⇒ 22 x = 23 ⇒ ⇒ (22)x = 23 x = 3/2
EXEMPLOS 5 q Calcular log 1/3 √ 9. 5 log 1/3 √ 9 = x ⇒ 1 3 x 5 = √ 9 ⇒ (3– 1)x = 32/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = – 2/5 ⇒ 3–x = 32/5
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: b>0 loga b = x ⇔ a>0 a≠ 1
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA q Analise quais seriam os significados de log 2 (– 4), log(– 2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossem definidos. log 2 (– 4) = x ⇒ 2 x = – 4 impossível log– 2 8 = x ⇒ (– 2)x = 8 impossível log 7 0 = x ⇒ 7 x = 0 impossível log 1 6 = x ⇒ 1 x = 6 impossível log 0 2 = x ⇒ 0 x = 2 impossível
OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.
EXEMPLOS q Resolver a equação logx (2 x + 8) = 2. 1 o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. x > – 4 2 x + 8 > 0 x>0 ⇒ x≠ 1 ⇒ x>0 x≠ 1 2 o. Usando a definição de logaritmo. logx (2 x + 8) = 2 ⇒ ⇒ x = – 2 ou x = 4. x 2 = 2 x + 8 ⇒ ⇒ x 2 – 2 x – 8 = 0 S = {4}
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 porque a 0 = 1 loga a = 1 porque a 1 = a loga ak = k porque ak = ak
EXEMPLOS q log 3 3 = log 10 10 = log 3, 7 = 1 q log 3 1 = log 10 1 = log 3, 7 1 = 0 q log 3 39 = 9 q log 10 10– 3 = – 3
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: loga k a =k
EXEMPLOS log 5 3 q 5 =3 1 + log 2 6 q 2 q 9 log 3 5 = = log 3 5 (32) 1 – log 15 3 q 15 log 2 6 21. 2 = = 2. 6 = 12 log 3 5 = 3 151 15 log 15 3 = 2 = 52 = 25 15 3 =5
SISTEMA DE LOGARITMOS
SISTEMA DE LOGARITMOS Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log 10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10)
EXEMPLOS q log 1000 = log 10 1000 = 3 q log 0, 01 = log 10 10– 2 = – 2 q log 1 = log 10 1 = 0 q log 100 = log 10 100 = 2
SISTEMA DE LOGARITMOS O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e= 2, 71828. O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x → logaritmo natural de x (base e)
EXEMPLOS q Ln e = loge e = 1 q Ln 10 = loge 10 ≈ 2, 3 q Ln e 3 = loge e 3 = 3
OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a q colog 2 8 = – 3 q colog 3 (1/9) = – log 3 (1/9) = 2
LOGARITMOS DECIMAIS
LOGARITMOS DECIMAIS O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 -1631). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.
TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS n log n n 1 0 11 1, 041 21 2 0, 301 12 1, 079 22 log 13 = 1, 114 log n n log n ou 1, 322 1, 11431 1, 491 10 = 13 1, 342 1, 505 32 3 0, 477 13 1, 114 23 1, 362 33 1, 519 4 0, 602 14 1, 146 24 1, 380 34 1, 531 5 0, 699 15 1, 176 25 1, 398 35 1, 544 6 0, 778 16 1, 204 26 1, 415 36 1, 556 7 0, 845 17 1, 230 27 1, 431 37 1, 568 8 0, 903 18 1, 255 . . . 9 0, 954 99 1, 996 10 1 1, 447 28 35 = 1, 544 1, 279 1, 462 19 log 29 ou 1, 301 1, 477 20 30 101, 544 = 35 100 2
EXEMPLOS q Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10– 30 e) log 0, 000001
EXEMPLOS q Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100, 903 + 101, 505 – 1000, 69 c) os valores de x e y tais que 10 x = 26 e 1000 y = 15
EXEMPLOS q Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1, 114 ou 101, 114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102, 114; 104, 114; 100, 114 e 1001, 557. b) log 130; log 13000; log 1, 3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10 x = 0, 13 e 13 y = 103, 342.
MUDANÇA DE BASE
FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. Logb a = logk a logk b
EXEMPLOS q Resolver a equação 5 x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0, 699 e log 20 = 1, 301. 5 x = 20 log 5 20 = ⇒ x = log 5 20 log 10 5 = log 20 log 5 = 1, 301 0, 699 = 1, 861
EXEMPLOS q Se log 2 = 0, 30 e log 3 = 0, 48, calcular log 2 3. 1 o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 2 3 = log 3 log 2 = 0, 48 0, 30 = 1, 6 Observe que, log 2 3 = 1, 6 ⇔ 21, 6 = 3.
EXEMPLOS q Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log 2 7. Log 7 13. Log 13 2 1 o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 . log 13. log 2 = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1
CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE q Compare os valores dos log 5 25 e log 25 5. log 5 25 = 2 e log 25 5 = 1/2 q Compare, também, os valores log 2 8 e log 8 2. log 2 8 = 3 e log 8 2 = 1/3 q Que conclusão se pode tirar dessas comparações? logb a = 1/loga b q Se logx y = 3/5, calcule logy x = 5/3
GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: logb a = loga a loga b 1 loga b
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos transformar: § multiplicações em adições; § divisões em subtrações; § potenciações em multiplicações; § radiciações em divisões. logaritmos podemos
LOGARITMO DO PRODUTO Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0, 477 e log 7 = 0, 845. log 3 = 0, 477 ⇒ 100, 477 = 3 log 7 = 0, 845 ⇒ 100, 845 = 7 x = 21 log 21 log = x 21 =⇒ log 10 (3. 7) = log 3 + log 7 ⇒ 10 x = 3. 7 ⇒ 10 x = 100, 477. 100, 845 ⇒ 10 x = 100, 477 + 0, 845 ⇒ x = 1, 322
LOGARITMO DO PRODUTO De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x. y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
EXEMPLOS A partir de log 2 = 0, 301 e log 13 = 1, 114, calcular log 26 e log 2000. ü log 26 = log (2. 13) = log 2 + log 13 log 26 = 0, 301 + 1, 114 = 1, 415 ü log 2000 = log (2. 1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0, 301 + 3 = 3, 301
EXEMPLOS Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 50 = log (4. 5. 50) log 4 + log 50 = log 1000 = 3
LOGARITMO DO QUOCIENTE Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0, 301 e log 3 = 0, 477. log 2 = 0, 301 ⇒ 100, 301 = 2 log 3 = 0, 477 ⇒ 100, 477 = 3 log (3/2) = x ⇒ 10 x 3 = = 2 100, 477 100, 301 ⇒ x = 0, 477 – 0, 301 x = 3/2 ⇒ 10 log (3/2) = log 3 – log 2 = 100, 477 – 0, 301 ⇒ x = 0, 176
LOGARITMO DO QUOCIENTE De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga x = loga x – loga y y
EXEMPLOS A partir de log 2 = 0, 301 obter log 5 = log 10 – log 2 = 1 – 0, 301 2 ⇒ log 5 = 0, 699
LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0, 477 log 34 = x ⇒ ⇒ 100, 477 = 3 10 x = 34 ⇒ 10 x = (100, 477)4 ⇒ x = 4. 0, 477 ⇒ x = 1, 908 log 34 = 4. log 3
LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Loga xk = k. loga x
EXEMPLOS A partir do log 3 = 0, 477, calcular log 0, 009 = log 9 – log 100 = log 32 – 2 = 2. log 3 – 2 = 2. 0, 477 – 2 = 0, 954 – 2 = – 1, 046
EXEMPLOS Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log 2 72 em função de a e b. log 2 72 = = = log 72 log 2 = log 23. 32 log 23 + log 32 log 2 3 a + 2 b a = 3. log 2 + 2. log 3 log 2
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