Logaritmi INDICE 1 Definizione 2 Propriet dei logaritmi

Logaritmi INDICE 1. Definizione 2. Proprietà dei logaritmi 3. Cambiamento di base 4. Basi più comuni 5. Cenni storici prof, . ssa Alessandra Sia

Supponiamo di voler trovare l'esponente a della potenza 3 a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente. La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Definizione Il logaritmo in base a>0 di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b. prof, . ssa Alessandra Sia

Logaritmo del prodotto Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè: Proprietà loga(bc)=logab+logac Dimostrazione prof, . ssa Alessandra Sia

Logaritmo della potenza Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza. Proprietà logabx=xlogab Dimostrazione prof, . ssa Alessandra Sia

Logaritmo del rapporto Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè Loga(b/c)=logab – Proprietà logac Dimostrazione prof, . ssa Alessandra Sia

Cambiamento di base Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il Logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo dello stesso numero in un'altra base c. Proprietà. logab logcb=————— logac Dimostrazione prof, . ssa Alessandra Sia

loga(bc)=logab+logac Dimostrazione posto logab=x e logac=y allora ax=b e ay=c quindi bc=axay=ax+y (proprietà delle potenze) loga(bc) =logaax+y loga(bc) =(x+y )logaa=1 cioè x+y=loga(bc) ma x+y=logab+logac c. v. d. prof, . ssa Alessandra Sia

logabx=xlogab Dimostrazione posto logab=y perciò ay=b e (ay)x=bx ma prof, . ssa Alessandra Sia (ay)x=ayx perciò logabx=xy essendo y= logab allora logabx=xloga c. v. d.

Loga(b/c)=logab –logac Dimostrazione posto loga(b/c)=loga(bc-1)= per il logaritmo del prodotto è uguale a = logab+logac-1 = per il logaritmo della potenza = logab-logac c. v. d. prof, . ssa Alessandra Sia

logab logcb=————— logac Dimostrazione posto y=logab e x=logcb allora ay=b e cx=b quindi cx=ay calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri otteniamo logacx=logaay quindi applicando il logaritmo della potenza otteniamo xlogac=ylogaa cioè xlogac=y sostituendo a x ed y le relazioni iniziali si ha prof, . ssa Alessandra Sia logcb∙logac=logab

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più utilizzate sono tre: • base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log 10, più genericamente con log. • base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). • base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log 2. prof, . ssa Alessandra Sia

Cenni Storici I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore. prof, . ssa Alessandra Sia