LOGARITAMSKA FUNKCIJA Logaritamska funkcija i njeno ispitivanje Pojam

LOGARITAMSKA FUNKCIJA Logaritamska funkcija i njeno ispitivanje

Pojam inverzne funkcije A B f x y=f(x) f -1

n Neka je data proizvoljna funkcija f: A→B koja je 1 -1 i “na” (bijektivno preslikavanje, preslikava domen A na kodomen B). Ako je za x iz skupa A y=f(x), onda je u ovom slučaju za svako y iz B određeno tačno jedno x iz A, tako da je y=f(x), pa imamo novu funkciju definisanu na skupu B(njen je domen B) koja uzima vrednosti u A(kodomen joj je A). Ovu funkciju nazivamo inverznom funkcijom za f, oznaka f-1. n Dakle f-1: B→A pri čemu je f-1(y)=x akko je y=f(x) n Jasno je da je f-1 isto tako bijektivno preslikavanje n Grafik inverzne funkcije f-1 simetričan je grafiku funkcije f u odnosu na pravu y=x

Logaritamska funkcija i njen grafik x Podsetimo se da, ako je y=a , a>0, a≠ 1, x R, y R+, tada je x=logay. x n Zaključujemo da ako f: x→a (R →R+), tada je inverzna funkcija f-1: y→logay. Dobijena inverzna funkcija za funkciju y=ax je logaritamska funkcija x=logay. n Ako označimo argument(nezavisno promenljivu) sa x (x R+), dobijamo logaritamsku funkciju y=logax, a>0, a≠ 1, x>0. Ako je y=ax rastuća, onda je i njena inverzna f-ja rastuća, a ako opada onda i njena inverzna opada. n

Zadatak 1. Skicirati grafik funkcije y=log 2 x. n Grafik ove f-je crtamo kao inverznu funkcije y=2 x. y=x

Osobine ove funkcije su: n n n Domen je R+ Kodomen je R Nula funkcije je tačka (1, 0) Asimptota je y-osa Funkcija je negativna u intervalu (0, 1), a pozitivna od (1, +∞) Funkcija raste jer i njena inverzna funkcija ima istu osobinu

Zadatak 2. Ispitati funkciju y=log½x i skicirati grafik. n Kao i u prethodnom zadatku, grafik crtamo na osnovu grafika f-je y=(½)x. y=x

Osobine: n n n Domen je R Kodomen je R+ Nula funkcije je je tačka (0, 1) Asimptota je y-osa Pozitivna je na intervalu (0, 1), a negativna na (1, +∞) Funkcija opada na celom domenu

Zadatak 4. Skicirati grafik funkcije y=1+log½x. n Grafik funkcije se dobija translatornim pomeranjem funkcije y=log½x za 1 u smeru y-ose. n n n Dolazi do pomeranja funkcije y=log½x duž y-ose Nula je tačka(2, 0) Asimptota y-osa Pozitivna je od (0, 2), a negativna od (2, +∞) Funkcija opada na celom domenu

Zadatak 3. Skicirati grafik i ispitati osobine funkcije y=log 2(x-1). n n n Funkcija je dobijena translatornim pomeranjem funkcije y=log 2 x duž x-ose za 1 Nula je tačka (2, 0) Asimptota je prava x=1 Funkcija je negativna od (1, 2), a pozitivna od (2, +∞) Funkcija raste na domenu

Domaći zadatak: Skicirati grafike sledećih funkcija: 1. y=log 2(x+1) 2. y=log½-2 3. y=1+log 2(x-1)