Lo que hay que saber para la Practica

Lo que hay que saber para la Practica Calificada 1 (20 y 22 ENE 2015) 1. -Prefacio: ¿Para que sirve la matematica? 2. 1. -Qué es un rombo 2. 2 -Cómo dibujar un rombo 2. 3 -Cómo dibujar un rombo en situaciones especificas 2. 4 -Propiedades utiles (para nosotros , en este capitulo) de los rombos 2. 5 -Cómo lo que dibujamos rombos (punto 2. 3) en situaciones especificas nos va a ser util para resolver problemas tipo del tema “Construcciones Geometricas con compas y regla, que es este capitulo del curso 3. 1 -Que es un triangulo 3. 2 -Lineas notables de los triangulos 3. 3 -Centros notables de los triangulos 3. 4 -Cómo lo que dibujamos rombos (punto 2. 5) en situaciones especificas nos va a ser util para dibujar lneas notables de los triangulos (punto 3. 2). 3. 5 -Cómo dibujar lineas notables de los triangulos nos va a ser util para encontrar los centros notables de los triangulos.

1. -Prefacio: ¿Para que sirve la matematica? El uso mas importante de la Matematica para los ingenieros es que nos da ecuaciones y formulas para resolver problemas. Pero otro uso tal vez menos directo pero tal vez mas importante es que nos permite encontrar cosas que no sabiamos basados en cosas que sabemos. Por ejemplo:

Sabemos que el area del cuadrado de lado 2 l l l es

Y sabemos que el area del triangulo rectangulo de lados a, b es ½ ab a b

Digamos que planteo las dos maneras de encontrar el area del cuadrado grande en la siguiente figura.

Una manera es mirar al cuadrado grande de lado (a+b) ¿Cual es el area? 2 Area=(a+b)

La otra manera de encontrar la MISMA area es sumar el area de los 4 triangulos mas el area del cuadrado pequeño de lado “c” Area=4*(1/2 ab) + 2 c

Claramente ambas maneras de calcular el area dan el mismo resultado. O sea (a+b)2 = 4*(1/2 ab) + c 2 a 2 + 2 ab + b 2 = 2 ab +c 2 a 2 + b 2 = c 2

¿Qué significa a 2 + b 2 = c 2 en la figura?

¿Qué significa a 2 + b 2 = c 2 en la figura? Hemos “descubierto” el Teorema de Pitagoras, tal vez la ecuacion mas contundente que existe. Pitagoras de Samos, Musei Capitolini, Roma

Este es mi ejemplo de a lo que me refiero al decir que la importancia de la Matematica es que nos permite encontrar cosas que no sabiamos basados en cosas que sabemos. Y vamos a organizar esta parte del curso “Construcciones geometricas con compas y regla siguiendo esta idea de que la Matematica (Geometria es parte de la Matematica) nos permite encontrar cosas que no sabiamos basados en cosas que sabemos. Y lo vamos a hacer razonando y sin aprender cosas de memoria como si fueramos loritos.

2. 1. -¿Qué es un rombo? Es una figura plana de 4 lados iguales.

2. 2 -Cómo dibujar un rombo • 1. Usando unicamente compas y regla • 2. Sin NINGUNA otra restriccion Hay practicamente muchas maneras. Un ejemplo:

1 2 3 4 1. Se dibujan dos puntos cualquiera 2. Usando el compas se traza un arco a partir de un punto 3. SIN VARIAR LA APERTURA DEL COMPAS se traza un segundo arco a partir del segundo punto 4. Se trazan puntos en las interseccones de los dos arcos 5. Las lineas que conectan los dos puntos originales y los dos puntos en las intersecciones de los arcos forman un rombo

2. 3 -Cómo dibujar un rombo en situaciones especificas Ejemplo 2. 3. 1 Dado un segmento de linea, trazar rombo de modo que el segmento de linea sea la diagonal del rombo 1 2 3 1. Trazar de un extremo del segmento un arco de radio mayor que la longitud del segmento de linea 2. Trazar del OTRO extremo del segmento un arco del MISMO radio que se intersecte con el primer arco. Marcar los dos puntos de interseccion de los arcos 3. Unir con lineas rectas los extremos del segmento con los puntos de interseccion en los arcos

Ejemplo 2. 3. 2 Dado un angulo, trazar rombo de modo que dos lados del rombo coincidan con los lados del angulo 1 2 1. Trazar un arco con centro en el vertice del angulo que intersecte a ambos lados del angulo 2. Con la MISMA apertura del compas o radio del arco trazar DOS arcos con centro los anteriores puntos de interseccion. Hacer que estos dos arcos tambien se intersecten 3. Unir los primeros dos puntos de interseccion (arco inicial con lados del angulo) con el tercer punto de interseccion (los dos arcos finales) 3

Ejemplo 2. 3. 3 Dado un segmento de linea y un punto externo a ella, dibujar un rombo cuya diagonal coincida con el segmento de linea y que uno de sus vertices sea el punto 1 2 3 1. Se traza un arco con centro en el punto dado y que corte a la linea en dos puntos de interseccion 2. Manteniendo la misma amplitud del compas se trazan dos arcos a partir de los puntos de interseccion en la linea. Se busca que los dos arcos se corten un un punto 3. Las lineas que unen el punto inicial y los tres puntos de interseccion encontrados forman el rombo buscado

2. 4 -Propiedades utiles (para nosotros , en este capitulo) de los rombos Las propiedades que van a ser utiles para nosotros son tres: 1. Las diagonales del rombo se intersectan en los puntos medios de cada diagonal. En otras palabras el punto de interseccion de las diagonales biseca cada diagonal o la corta en dos partes iguales 2. Las diagonales del rombo son perpendiculares entre si o se cortan a 90 grados (angulo recto) 3. Cada diagonal corta al angulo de donde parte en dos angulos iguales. En otras palabras cada diagonal es la bisectriz del angulo de donde sale Ver SEPARATA rombos 27 JUL 2013. pdf en http: //fernandopareja. jimdo. com/06 -08 -ene/teoria/

2. 5 -Cómo lo que dibujamos rombos (punto 2. 3) en situaciones especificas nos va a ser util para resolver problemas tipo del tema “Construcciones Geometricas con compas y regla, que es este capitulo del curso Observar especialmente que en esta seccion 2. 5 estamos REPITIENDO la seccion 2. 3, pero APLICANDOLA a solucionar problemas de geometria

2. 5. 1 Encontrar el punto medio de un segmento de linea. Respuesta: Se construye un rombo de modo que el segmento de linea sea una diagonal del rombo (Ejemplo 2. 3. 1) La segunda diagonal corta a la primera diagonal en el punto medio 1 2 3 4 1. Trazar de un extremo del segmento un arco de radio mayor que la longitud del segmento de linea 2. Trazar del OTRO extremo del segmento un arco del MISMO radio que se intersecte con el primer arco. Marcar los dos puntos de interseccion de los arcos 3. Unir con lineas rectas los extremos del segmento con los puntos de interseccion en los arcos 4. Trazar la segunda diagonal del rombo. Donde esta corta al segmento original (primera diagonal) es el punto medio.

2. 5. 2 Bisecar un angulo (O sea, encontrar la bisectriz o dividir el angulo por la mitad o en dos partes iguales. Respuesta: Se construye un rombo de modo que dos lados del rombo coincidan con los lados del angulo (Ejemplo 2. 3. 2) Las diagonal del rombo que parte del vertice del angulo es la bisectriz del angulo 1 2 3 4 1. Trazar un arco con centro en el vertice del angulo que intersecte a ambos lados del angulo 2. Con la MISMA apertura del compas o radio del arco trazar DOS arcos con centro los anteriores puntos de interseccion. Hacer que estos dos arcos tambien se intersecten 3. Unir los primeros dos puntos de interseccion (arco inicial con lados del angulo) con el tercer punto de interseccion (los dos arcos finales) 4. Trazar la diagonal del rombo que parte del vertice del angulo. Esta es la bisectriz del angulo

2. 5. 3 Encontrar la perpendicular a una linea por un punto externo a ella. Respuesta: Se construye un rombo cuya diagonal coincida con el segmento de linea (Ejemplo 2. 3. 3) y que uno de sus vertices sea el punto. La diagonal del rombo que parte del punto externo es la perpendicular a la linea 1 2 3 1. Se traza un arco con centro en el punto dado y que corte a la linea en dos puntos de interseccion 2. Manteniendo la misma amplitud del compas se trazan dos arcos a partir de los puntos de interseccion en la linea. Se busca que los dos arcos se corten un un punto 3. Las lineas que unen el punto inicial y los tres puntos de interseccion encontrados forman el rombo buscado 4. Se traza la diagonal del rombo que parte del punto externo y que es la perpendicular a la linea 4

2. 5. 4 Encontrar la mediatriz a un segmento de linea. La mediatriz es la perpendicular a una linea por su punto medio. Respuesta: Se construye un rombo cuya diagonal coincida con el segmento de linea (Ejemplo 2. 3. 1). La SEGUNDA diagonal del rombo es la perpendicular al segmento original por su punto medio. 1 2 3 4 1. Trazar de un extremo del segmento un arco de radio mayor que la longitud del segmento de linea 2. Trazar del OTRO extremo del segmento un arco del MISMO radio que se intersecte con el primer arco. Marcar los dos puntos de interseccion de los arcos 3. Unir con lineas rectas los extremos del segmento con los puntos de interseccion en los arcos 4. Trazar la segunda diagonal del rombo. Esta diagonal es la mediatriz del segmento original (primera diagonal), o sea, es la perpendicular por el punto medio del segmento original.

3. 1 -Que es un triangulo: Figura plana compuesta de tres segmentos de linea NO colineales Para las secciones • 3. 2 -Lineas notables de los triangulos • 3. 3 -Centros notables de los triangulos ver http: //fernandopareja. jimdo. com/06 -08 ene/teoria/

3. 4 -Cómo lo que dibujamos rombos (punto 2. 5) en situaciones especificas nos va a ser util para dibujar lineas notables de los triangulos (punto 3. 2). 3. 4. 1 Mediana del triangulo 3. 4. 2 Bisectriz del triangulo 3. 4. 3 Altura del triangulo 3. 4. 4 Mediatriz del triangulo NOTAS: Acordarse que hay 3 lineas de cada tipo en un triangulo, o sea 3 medianas, 3 bisectrices, etc, una por cada vertice o por cada lado del triangulo Ya no es necesario DIBUJAR completamente el rombo. A estas alturas ya sabemos que estos metodos estan basados en rombos asi que simplemente dibujamos las medianas, bisectrices, etc que nos interesan y ya no los lados del rombo

3. 4. 1 Dibujar UNA (de las tres) medianas de un triangulo Respuesta: Se encuentra el punto medio de uno de los lados del triangulo usando el metodo de la seccion 2. 5. 1. La linea que conecta este punto medio con el vertice opuesto es una de las medianas.

3. 4. 2 Dibujar UNA (de las tres) Bisectrices del triangulo Respuesta: Se encuentra la bisectriz de uno de los angulos del triangulo usando el metodo de la seccion 2. 5. 2.

3. 4. 3 Dibujar UNA (de las tres) Alturas del triangulo Respuesta: Se encuentra una de las alturas del triangulo usando el metodo de la seccion 2. 5. 3.

3. 4. 4 Dibujar UNA (de las tres) mediatrices del triangulo Respuesta: Se encuentra la mediatriz de uno de los angulos del triangulo usando el metodo de la seccion 2. 5. 4.

3. 5 -Cómo dibujar lineas notables de los triangulos nos va a ser util para encontrar los centros notables de los triangulos. 3. 5. 1 Baricentro del triangulo 3. 5. 2 Incentro del triangulo 3. 5. 3 Ortocentro del triangulo 3. 5. 4 Circuncentro del triangulo