Lneas de Espera Teora de Colas Las colas

Líneas de Espera: Teoría de Colas

Las colas… O Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana: O En un banco O En un restaurante de comidas rápidas O Al matricular en la universidad O Los autos en un lavacar

Las colas… O En general, a nadie le gusta esperar O Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar O Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado O Es necesario encontrar un balance adecuado

Teoría de colas O Una cola es una línea de espera O La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares O El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada

Teoría de colas OExisten muchos sistemas de colas distintos OAlgunos modelos son muy especiales OOtros se ajustan a modelos más generales OSe estudiarán ahora algunos modelos comunes OOtros se pueden tratar a través de la simulación

Sistemas de colas: modelo básico O Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: O La cola O La instalación del servicio O Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio

Sistemas de colas: modelo básico O Los clientes o llegadas pueden ser: O Personas O Automóviles O Máquinas que requieren reparación O Documentos O Entre muchos otros tipos de artículos

Sistemas de colas: modelo básico O Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio O Si no, se une a la cola O Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio

Sistemas de colas: modelo básico O Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola O Generalmente ésta es primero en llegar, primero en servido O Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades

Sistemas de colas: modelo básico Sistema de colas Llegadas Cola Disciplina de la cola Instalación Salidas del servicio

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Salidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores Sistema de colas Servidor Llegadas Cola Servidor Salidas

Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Sistema de colas Cola Llegadas Cola Servidor Salidas

Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Salidas

Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial OLa forma algebraica de la distribución exponencial es: ? ? ODonde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo (horas, minutos, etc. ) http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial P(t) 0 Media Tiempo

Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial OLa distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños OEn general, se considera que las llegadas son aleatorias OLa última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson OEs una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas OPara tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: Las llegadas Distribución de Poisson OSu forma algebraica es: ODonde: OP(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo O : tasa media de llegadas Oe = 2, 7182818… http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: Las llegadas Distribución de Poisson P http: //www. auladeeconomia. com 0 Llegadas por unidad de tiempo

Sistemas de colas: El servicio O El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples O El tiempo de servicio varía de cliente a cliente O El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ( ) http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: El servicio O El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ O Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora O Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0. 04 horas, o 2. 4 minutos http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: El servicio OEs necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio OHay dos distribuciones que representarían puntos extremos: OLa distribución exponencial ( =media) OTiempos de servicio constantes ( =0) http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: El servicio OUna distribución intermedia es la distribución Erlang OEsta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar: http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: El servicio O Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial O Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes O La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k http: //www. auladeeconomia. com

Sistemas de colas: El servicio P(t) k=∞ k=8 k=2 k=1 http: //www. auladeeconomia. com 0 Media Tiempo

Proceso de Nacimiento y Muerte O En el contexto de teoría de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas. O El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t O Supuesto 1: O Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n. O Atención: n = la tasa media de llegadas cuando hay n clientes en el sistema http: //www. auladeeconomia. com

Proceso de Nacimiento y Muerte O Supuesto 2: O Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (salida) es exponencial con parámetro n. O Atención: n = la tasa media de salidas cuando hay n clientes en el sistema. O Supuesto 3. O La variable aleatoria de la suposición 1 (tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (tiempo que falta hasta la próxima muerte) son mutuamente independientes. http: //www. auladeeconomia. com

Modelos Poisson. O En la teoría de la probabilidad y en la estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, la probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo, si estos ocurran con una tasa media conocida y si cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el último evento. http: //www. auladeeconomia. com

USOS O La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. O Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. http: //www. auladeeconomia. com

usos O Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. O Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo http: //www. auladeeconomia. com definido.

usos O La distribución fue descubierta por Siméon –Denis Poisson (1781– 1840) y publicada, conjuntamente con su teoría de la probabilidad, en 1838. O Es en muchos sentidos la versión de tiempo continuo del proceso de Bernoulli. http: //www. auladeeconomia. com