LMITES DERIVADAS E INTEGRALES Modelar cambios con funciones

LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES “Modelar cambios con funciones” Profesora: Estephany González

Objetivo Utilizar diversas formas de representación acerca de la resultante de la composición de funciones y la existencia de la función inversa de una función dada. • Los estudiantes identifican situaciones de cambio lineal o cuadrático para luego representar y comparar los modelos.

Recuerda: Función Lineal Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano (0, 0), cuya expresión está dada por:

Función Cuadrática Es una función de la forma: Dependerá de la concavidad, es decir hacia donde abre. Está dado por el vértice.

Función Exponencial Se llama función exponencial a una función de la forma: Representación gráfica: El eje x es asíntota Gráfico: y 1 x La variable independiente (x) se encuentra en el exponente. Obs: Es biyectiva (sobre su recorrido), posee inversa y 1 x

Responde • ¿Cuáles son las características del gráfico de una función? • Indica si los siguientes gráficos representan una función y explícalo:

Situación Inicial 1) Observa las siguientes imágenes y describe lo que ves a) ¿Describen estas fotos una situación de cambio? Explica dónde habría un cambio. b) ¿Se puede expresar el cambio de ambas situaciones de la misma manera? c) Determina las variables que describen el cambio. “Aquí podemos ver un tren rápido en la fase de velocidad constante y un cohete de investigación en la fase del despegue. El desplazamiento del tren rápido se modela con un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el del cohete, con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Se considera que el tren rápido pasa en el instante t=0 con velocidad constante y la mantiene en los próximos 40 segundos”.

2) La tabla se muestra los valores de tiempo transcurrido en segundos [s] y la distancia del tren en metros [m]. 500 a. Completa la tabla. b. Grafica los puntos de la tabla, puedes usar alguna herramienta digital. c. Concluye cómo sería la gráfica para otros puntos, pensando en los intervalos de tiempo [0; 1], [1; 5], [5; 10], [10; 15], [15; 20], [20; 30], [30; 40] 750 1000 1500 2000

2) La tabla se muestra los valores de tiempo transcurrido en segundos [s] y la distancia del tren en metros [m]. 500 d. e. f. 750 ¿Cómo cambia la distancia en términos del tiempo: doble, triple, cuádruple, … n-múltiple del tiempo? ¿Qué sucederá luego de estos 40 segundos? Evalúa sobre el intervalo de tiempo y sobre definir el dominio y recorrido. Determina la función que describe este movimiento en el tiempo (MRU). Explícala. 1000 1500 2000 50 -múltiple del tiempo Modelación matemática Las situaciones cotidianas que involucran la relación entre magnitudes, se pueden representar de diversas formas utilizando algunos modelos matemáticos. Entre estos modelos se encuentran las funciones lineales, cuadráticas, potencia y exponenciales. Paso 1: Identificar las variables involucradas y su relación de dependencia. Paso 2: Representar la situación con lenguaje algebraico y expresarla como función. Paso 3: Construir una tabla de valores, evaluando la expresión encontrada.

3) La tabla muestra los valores de tiempo transcurrido en segundos [s] y la altura del cohete en metros [m] 2000 a. Completa la tabla. b. Grafica los puntos de la tabla, puedes usar alguna herramienta digital. c. Cómo cambian la altura en términos del tiempo: doble, triple, cuádruple, … nmúltiple del tiempo? 4500 8000 18000 32000

3) La tabla muestra los valores de tiempo transcurrido en segundos [s] y la altura del cohete en metros [m] 2000 d. e. f. g. 4500 8000 18000 32000 Determina la velocidad promedio en los intervalos de tiempo [0, 1], [1, 5], [5, 10], [10, 15], [15, 20], [20, 30], [30, 40]. ¿Cuál es la tendencia de las velocidades promedio con el pasar del tiempo? ¿Qué sucederá luego de los 40 segundos? Extiende tu gráfico para describir cómo lo imaginas Evalúa sobre el gasto de combustible y otros factores que podrían influir en esta situación. 4) Compara las funciones generadas en el caso del tren con el caso del cohete. a) Comenta lo que ocurre al variar (aumentar o disminuir) los valores del tiempo, verbalmente y apoyándote en la información entregada. b) ¿Puedes asegurar que ambos modelos se mantienen en el tiempo? Explica lo que eso significaría. c) Averigua todo lo que puedas sobre ambas situaciones y compara con lo que ya tienes desarrollado

a) Elabora una tabla de datos y la función correspondiente. b) ¿En qué tiempo y en qué lugar alcanza el segundo atleta al primero, suponiendo que el primer atleta mantenga su velocidad y el segundo logre mantener la aceleración de tiempo de 5 segundos? c) Representa la situación en un gráfico d) ¿Qué ocurre luego de la carrera con la función elaborada? Responde en términos del tiempo y el dominio de la función según el contexto.

En el laboratorio CAPANI se investiga la reproducción de cierta población de bacterias. Para ello se aísla una bacteria y se observa que se duplica cada 5 minutos. a. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 5 minutos? b. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 30 minutos? ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora? c. Exprese un modelo matemático que permita determinar la cantidad de bacterias al cabo de N minutos. d. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que la cantidad de bacterias sea de 1. 048. 576? e. Considere ahora que la cantidad inicial de bacterias estudiadas es de 4 bacterias. Exprese el modelo matemático que permita determinar la cantidad de bacterias al cabo de N minutos. Realice una tabla de los primeros 30 minutos de reproducción. f. Realice una gráfica que relacione la cantidad de bacterias en ambos modelos (hasta los 30 minutos).

DESARROLLO: Tiempo 0 5 10 15 … Bacterias 1 ….