LMITES DE FUNCIONES U D 6 2 BCS

LÍMITES DE FUNCIONES U. D. 6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 1

DOMINIO Y RECORRIDO U. D. 6. 2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 2

Dominio de definición • • • • Al conjunto de valores de la variable independiente (x) se le llama DOMINIO de la función o Dominio de definición, porque indica dónde está definida como tal, dónde existe. Para que un valor real, xo, forme parte del dominio de una función éste debe producir una imagen también real, yo. Ejemplo: Sea la función y=x 2. El valor de x=2 produce una imagen de y=4. El valor de x=– 2 produce una imagen de y=4, la misma. Cualquier valor real de x produce una imagen real de y. El dominio de definición de f(x) es todo R. Ejemplo: Sea la función y=√x. El valor de x=4 produce una imagen de y=2. Pero el valor de x=– 4 no produce ninguna imagen real. El dominio de definición de f(x) es todo R+, incluido el 0. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 3

Recorrido de una función • • • • Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) se le llama IMAGEN o RECORRIDO de la función. Para que un valor real, yo, forme parte del recorrido de una función, éste debe ser producto de uno o más valores del dominio de dicha función. Ejemplo: Sea la función y=x 2. El valor de y=4 es imagen de x=2. El valor de y=4 también es imagen de x=-2. El valor de y=7, 54 es imagen de x = √ 7, 54 y también de x = – √ 7, 54. El valor de y= – 9 no puede ser imagen de ningún valor de x. El recorrido de f(x) es todo R+, incluido el 0. Ejemplo: Sea la función y=√x. El dominio de definición de f(x) es todo R+, incluido el 0. No hay ningún valor real de x cuya raíz cuadrada nos produzca una imagen real negativa. El recorrido de f(x) es todo R+, incluido el 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 4

Funciones lineales y afines • • • En las funciones lineales, y=m. x, al igual que en las afines, y=m. x+n, cualquier valor real de x nos produce una imagen también real y única. Consecuencia: El dominio de definición es todo R, Dom f(x) = R. Asimismo tanto para valores de x positivos como negativos, la imagen toma todo tipo de valores reales, luego Img f(x) = R. Excepción: Sea la función afín y = n. El dominio es R, pero la imagen es un único valor, n. Img f(x) = n y=f(x) yo xo x xo @ Angel Prieto Benito x Matemáticas 2º Bach. CCSS yo 5

Ejemplo 2 Funciones cuadráticas • • Las funciones cuadráticas presentan la fórmula o ecuación: f (x) = a. x 2 + b. x + c Sea cual sea el valor real de x, produce una imágen real y única. Luego: Dom f(x) = R Su gráfica es una parábola de vértice V(xv , yv) , donde xv = - b / 2. a Si a > 0 Parábola cóncava Img f(x) = [yv , oo). Si a < 0 Parábola convexa Img f(x) = (– oo, yv ]. El vértice siempre es parte del recorrido de la función. V Img f(x) Dom f(x) 0, 25 Dom f(x) V @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 6

Funciones cúbicas • • Las funciones cúbicas presentan la fórmula o ecuación: f (x) = a. x 3 + b. x 2 + c. x + d Sea cual sea el valor real de x, produce una imágen real y única. Luego: Dom f(x) = R Su gráfica es una “S” girada 90º. Los valores de f(x) abarcan todo el eje vertical. Luego: Img f(x) = R Img f(x) Dom f(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 7

Funciones polinómicas • • • Las funciones polinómicas presentan la fórmula o ecuación: f (x) = a. xn + … + p. x 2 + q. x + k, donde n ≥ 4 Sea cual sea el valor real de x, produce una imágen real y única. Luego: Dom f(x) = R Hallar su recorrido requiere encontrar sus puntos notables y muchas veces también dibujar la gráfica correspondiente. Img f(x) f (x) = x 4 – 1 Img f(x) Dom f(x) @ Angel Prieto Benito Dom f(x) f (x) = x 5 Matemáticas 2º Bach. CCSS 8

Funciones racionales • • Las funciones racionales presentan la fórmula o ecuación: f (x) = P(x)/Q(x), siendo P(x) y Q(x) dos polinomios. Sea cual sea el valor real de x, produce una imágen real y única, excepto en los valores de x para los cuales Q(x) = 0. Luego: Dom f(x) = R – {x 1, x 2 , …, xn } Si f(x) se puede poner de la forma: f(x) = b + k / (x – a) Img f(x) = R – {b} De lo contrario habría que dibujar la gráfica correspondiente. f (x) = 1 / (x – 2) Dom f(x)=R – {0} 3 0 2 Img f(x)=R – {3} Dom f(x)=R – {2} Img f(x)=R – {0} @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 0 f (x) = 3 + 1 / (x) 9

Funciones irracionales • • Las funciones irracionales o radicales presentan la forma: n Sea f(x) = √g(x), siendo g(x) una función cualquiera. Asigna a cada imagen la raíz de índice n del valor de f(x) Dom f(x) = R si n es impar. Dom f(x) = {V x / g(x) ≥ 0 } si n es par. Img f(x) = R si n es impar y Img f(x) = R+ si n es par • • Para n=2 y g(x)=P(x) Dom f(x) = {Conjunto de valores de x tal que P(x) ≥ 0 } Img f(x) = R+ • • • Ejemplo 1: Sea la función y=√x Dom f(x) = [0, +oo ), Img f(x) = [0, +oo ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS f (x) = √ x 0 1 x Dom f(x) = (0, oo) Img f(x) = R+ 10

• • • Ejemplo 2: Sea la función y = √ (4 – x) Dom f(x) = (– oo , 4], Img f(x) = [0 , oo) • Ejemplo 3: • • • Sea la función y = √ (4 – x 2) Se debe cumplir que (4 – x 2) ≥ 0 |x| ≤ 2. Dom f(x) = [– 2, 2], Img f(x) = [0 , oo) • • • Ejemplo 4 Sea la función y=√–x Está claro que x no puede tomar valores positivos para que haya imagen, e y nunca va a tomar valores negativos. Dom f(x) = (– oo, 0], Img f(x) = [0, +oo) = R+ • • • Ejemplo 5: Sea la función Al ser una raíz de índice impar, habrá imagen para todo x real. La imagen podrá ser positiva, negativa o cero, con signo contrario al valor del radical. Dom f(x) = R, Img f(x) = R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 11

• • • Ejemplo 6 Sea la función y = – 1 / √ (4. x – x 2 ) Está claro que 4. x – x 2 > 0. El dominio de esta función es pues Dom f(x) = {x / (4. x – x 2 ) > 0} Resolveremos la inecuación: 4. x – x 2 > 0 x. (4 – x) > 0 x. (x – 4) < 0 • • • -oo x (x – 4) • • • Solución: 0 4 +oo - + + + - + Dom f(x) = (0, 4) En las proximidades de x = 0 y x=4 el radical presenta su mínimo valor y por tanto su inversa presentará el máximo valor negativo. En el punto medio (x=2) radical presenta su máximo valor y por tanto su inversa presentará el mínimo valor negativo. Luego Img = (– oo, f(2)] = (– oo, – 1 / √ (4. 2 – 22 )] = (– oo, – ½ ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 12

Función exponencial • • • Las funciones exponenciales presentan la forma: f (x) = k. ag(x), donde g(x) es una función cualquiera y a > 0 siempre. Las más usuales son: f (x) = a. P(x) , donde P(x) es un polinomio y a >0. Si P(x) = 0 f(x) = a 0 = 1. Si P(x) > 0 f(x) = número real positivo. Si P(x) < 0 f(x) = una potencia de exponente negativo, cuyo resultado sabemos que será siempre positivo, aunque muy pequeño. El valor de f(x), de y, no puede ser nunca 0. El domino será: Dom f(x) = R El recorrido es: Img f(x) = R+ – { 0 } @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS y f (x) = e x 1 0 x y f (x) = 3– x 1 0 x 13

Función logarítmica • • • Las funciones logarítmicas presentan la forma: y f (x) = k. loga g(x), donde g(x) es una Dom f(x) = (0, oo) función cualquiera y a > 0 siempre. Img f(x) = R Las más usuales son: f (x) = log P(x) , y f(x) = Ln P(x), f (x) = log x donde P(x) es un polinomio y la base, a, de los logaritmos valen 10 y 0 1 x e respectivamente. Si P(x) < 0 No existe imagen. Si P(x) = 0 No existe imagen. y Si 0 < P(x) < 1 Imagen real f (x) = ln (x – 2) negativa. Si P(x) > 1 Imagen real positiva. Dom f(x) = (2, oo) Por lo tanto. Img f(x) = R Dom f(x) = {x / P(x)>0} – { 0 } 0 1 2 3 4 x Img f(x) = R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 14