LMITE Y CONTINUIDAD U D 4 2 BCT
LÍMITE Y CONTINUIDAD U. D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 1
LÍMITES EN UN PUNTO Y EN EL INFINITO U. D. 4. 1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 2
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN • LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a” lím f(x) x a Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa: lím f(x) = L x xo • • • EJEMPLO: lím x 2 = 22 = 4 x 2 Sucesión de x : 1’ 9, 1’ 999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’ 96, 3’ 98, 3’ 99, … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 3
FUNCIONES SEGÚN EL LÍMITE • Una función que tiene límite se llama función CONVERGENTE. • • Una función que no tiene límite se llama función DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. • Una función que presenta dos límites diferentes se llama función OSCILANTE. • • EJEMPLOS: lím (3. x 2 +1) / x 2 = 3 FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo x oo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x 1 lím (- 1)n = +/- 1 FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N n oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 4
PROPIEDADES OPERATIVAS • • • • • a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma/resta de funciones es la suma/resta de los límites: lím (f(x) +/- g(x)) = lím f(x) +/- lím g(x) x a x a d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x). g(x)) = lím f(x). lím g(x) x a x a e) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) x a x a f) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) x a x a g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) x a b b x a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 5
LÍMITES LATERALES • • • En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’ 1, 2’ 001, 2’ 00001, … 1’ 9, 1’ 999, 1’ 99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L 1 x xo+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L 2 x xo-Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 6
LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO • • • Si representamos la función y = x /(x – 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. x 3 lím ‑‑‑‑ = ----- = + oo x 3+ x - 3 +0 pues x vale algo más de 3. x 3 lím ‑‑‑‑ = ----- = - oo x 3 - x - 3 -0 pues x vale algo menos de 3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. Y 1 0 3 x 7
• • Otro ejemplo: Si representamos la función y = x / ( x 2 - 4) vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x 1= 2 y otra en x 2= - 2. • • x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x 2+ x 2 - 4 +0 pues x vale algo más de 2 y x 2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑ = ------ = - oo x 2 - x 2 - 4 -0 pues x vale algo menos de 2 y x 2 < 4 • • x -2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x - 2+ x 2 - 4 -0 pues x vale algo más de – 2 y x 2 < 4 x -2 lím ‑‑‑‑ = ----- = - oo x - 2 - x 2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y x 2 > 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. Y -2 0 2 x 8
LIMITES EN EL INFINITO • • • LIMITES EN EL INFINITO El límite de una función f, cuando x tiendo a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a 00, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L x ± oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. Ejemplo: y = x/( x-3) del ejemplo anterior Para x = 1000 y = 1000/997 = 1, 003 Para x=10000 y = 10000/9997 = 1, 0003 Para x = 100000 y = 1, 00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 9
ASÍNTOTAS VERTICALES • • ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: • • • Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. • • • EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2 -2) = 3 / 0 = oo x 2 • x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 10
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • • • ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. • • • Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x ± oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 11
ASÍNTOTAS OBLICUAS • • • ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m. x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m. x ] = n x ± oo x x ± oo • En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. • • • Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / x f(x) x 2– 3 m = Lím -------- = 1 ; n = Lím [ f(x) – m. x ] = 0 x oo x 2 x oo La recta y = 1. x + 0 y = x es una asíntota oblicua. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 12
Y • Gráfica Ejemplo 1 • • x 2 – 3 f(x) = -------x Límite por la derecha de 0: • • x 2 – 3 ‑‑‑‑ = ----- = - • lím oo x 0+ • pues x vale algo más de 0. • Límite por la izquierda de 0: • • • lím oo x 0 - 1 x +0 0 3 x x 2 – 3 ‑‑‑‑ = ----- = + x @ Angel Prieto Benito -0 Matemáticas 2º Bach. C. T. 13
• • Gráfica Ejemplo 2 (Variación del Ejemplo 1) • • x 2 + 3 f(x) = -------x Límite por la derecha de 0: • • x 2 + 3 +3 ‑‑‑‑ = ----- = + Y • lím oo x 0+ • pues x vale algo más de 0. • Límite por la izquierda de 0: • • • lím oo x 0 - x Mín +0 0 3 x Max x 2 + 3 ‑‑‑‑ = ----- = x @ Angel Prieto Benito -0 Matemáticas 2º Bach. C. T. 14
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