Linern algebra Vektor Skalr slo bez rozmru a

Lineární algebra

Vektor • Skalár – číslo bez rozměru a směru • Vektor ve fyzice – veličina mající velikost, směr, působiště • Vektor v matematice – určuje posunutí Každou uspořádanou n - tici čísel (a 1, a 2, …. . an) nazveme n - rozměrným (aritmetickým) vektorem. Čísla a 1, a 2, …. an nazveme souřadnice vektoru Označení a = (a 1, a 2, …. an)

Pravidla pro počítání vektory a = (a 1, a 2, …, an), b = (b 1, b 2, . . . , bn), k R a) b) c) d) e) a = b (a 1 = b 1, a 2 = b 2, …. an = bn) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …. an + bn) k. a = (ka 1, ka 2, …. kan) Nulový vektor 0 = (0, 0, . . . , 0) Opačný vektor -a = (-a 1, -a 2, …, -an)

Skalární součin vektorů Skalárním součinem vektorů a = (a 1, a 2, …. . an), b = (b 1, b 2, …. . bn) nazýváme číslo a. b = a 1. b 1 + a 2. b 2 + an. bn Příklad: Určete skalární součin vektorů a = (1, 2, 1), b = (1, 4, 3) a. b = 1. 1 + 2. 4 + 1. 3 = 12

Vektorový prostor Množinu všech uspořádaných n-tic (a 1, a 2, …, an) spolu s operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem, pro něž platí řada běžně splnitelných podmínek, nazýváme n- rozměrným vektorovým prostorem. Značí se Vn= (V, S, +, *), kde V je množina vektorů, S je množina skalárů a + a * jsou operace s nimi.

Lineárně nezávislé vektory Nechť a 1, a 2, . . . , am Vn, c 1. . . , cm R • Vektory a 1, a 2, …, am jsou lineárně nezávislé když c 1. a 1 + c 2. a 2 + cm. am = 0 jen pro c 1 = c 2 = cm = 0 • Je- li alespoň jedno z čísel ci 0, nazýváme tyto vektory lineárně závislé. • Vektor b Vn se nazývá lineární kombinací vektorů a 1, a 2, …. am, existují-li čísla c 1, …, cm taková, že platí b = c 1. a 1 +. . . + cm. am.

Báze vektorového prostoru • Množina [a 1, a 2, …. ah] se nazývá báze vektorového prostoru, – jsou-li její vektory lineárně nezávislé a každý ostatní vektorového prostoru je jejich lineární kombinací. • Hodnost (dimenze) vektorového prostoru – je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů, počtu vektorů v bázi. .

Příklad báze Kanonická báze j 1 = (1, 0, …, 0) j 2 = (0, 1, …, 0) … jn = (0, 0, …, 1) Vektory j 1, …, jn jsou lineárně nezávislé.

Souřadnice vektoru Nechť B je = [a 1, a 2, …. an] je bází vektorového prostoru, pak každý vektor v = 1 a 1 + 2 a 2 + … + n an a koeficienty 1, 2, …, n jsou souřadnice vektoru v vzhledem k bázi B. Příklad B = [a 1, a 2] = [(1, 0, 1), (1, 1, 0)], v = (5, 2, 3) v = 3 a 1 + 2 a 2

Matice Maticí A typu (m, n) nazýváme strukturu reálných čísel o m řádcích a n sloupcích. Je-li m = n , mluvíme o čtvercové matici. Označujeme A [aik]. Hodnost matice A typu (m, n) je rovna počtu lineárně nezávislých řádků (nebo sloupců) matice.

Základní pojmy • Diagonála matice – je tvořena prvky a 11, a 22 , . . . arr , kde r = min(m, n) • Nulová matice – všechny prvky matice jsou nulové • Trojúhelníková matice – všechny prvky pod diagonálou jsou nulové • Jednotková matice – čtvercová matice, která má všechny prvky na diagonále rovny 1. Značíme E.

Operace s maticemi Nechť A, B jsou matice obě typu (m, n) • Rovnost matic A = B jsou-li téhož typu (m, n) a aik = bik • Součet matic A + B = [aik+bik] • Násobek matice skalárem . A = [. aik] • Součin matic A typu (m, n) a B typu (n, p) je matice A. B = C =[cik] typu (m, p), kde cik je skalární součin i - tého řádku matice A a k - tého sloupce matice B

Elementární operace • Elementární operace – Součet řádků – Násobení řádků skalárem – Výměna řádků – Vynechání řádku

Inverzní matice • Čtvercová matice A řádu n je regulární h = n • Čtvercová matice A řádu n je singulární h < n Nechť A je regulární čtvercová matice n - tého řádu. Matici X, pro kterou platí A. X = X. A = E, kde E je jednotková matice n - tého řádu, nazveme inverzní maticí k matici A a označíme A-1.

Výpočet inverzní matice • Provedeme elementární operace na matici (A|E) s cílem vytvořit z matice A matici jednotkovou, z matice E pak vznikne matice inverzní.

Hodnost matice • Hodnost matice se nezmění – – zaměníme-li pořadí řádků vynásobíme-li řádky nenulovým číslem přičteme-li k řádku lineární kombinaci řádků ostatních vynecháme-li řádek, který je lineární kombinací řádků ostatních – zaměníme-li pořadí sloupců • Určení hodnosti matice - matici převedeme pomocí elementárních operací na trojúhelníkový tvar

Soustava lineárních rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + …. + a 1 n xn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + …. + a 2 n xn = b 2 … am 1 x 1 + am 2 x 2 + am 3 x 3 + …. + amnxn = bm A = (aij), i =1, …, m, j=1, . . . , n jsou koeficienty proměnných b = (bi) i =1, …, m je sloupec pravých stran a x = (x 1, x 2, x 3, …. xn) jsou proměnné Soustavu je možno zapsat v maticovém tvaru A x = b

Frobeniova věta • Nehomogenní soustava je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost. • Je-li n = h existuje právě jedno řešení • Je-li n h existuje nekonečně mnoho řešení závislých na n - h parametrech

Gaussova eliminační metoda • Vytvoříme rozšířenou matici soustavy – Matice koeficientů proměnných a vektor pravých stran • Upravíme tuto matici na trojúhelníkový tvar – Pomocí elementárních operací s řádky (sloupci) – Elementárními úpravami dostáváme ekvivalentní soustavy rovnic – mají stejná řešení • Dopočítáme proměnné x 1, x 2, … xn. – Ve čtvercové soustavě je možno jednu proměnnou určit okamžitě, ostatní postupným dosazováním – V soustavě s více proměnnými než rovnicemi položíme proměnné, které neodpovídají trojúhelníkovému tvaru soustavy, rovny nule, ostatní dopočítáme

Gaussova eliminační metoda x 1 + 2 x 2 + x 3 = 3 2 x 1 + x 2 + x 3 = 6 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2 Matice soustavy x 1 + 2 x 2 + x 3 = 3 -3 x 2 - x 3 = 0 -x 3 = -3 Z toho x 3 = 3 x 2 = -1 x 1 = 2

Jordanova eliminační metoda • Vytvoříme rozšířenou matici soustavy – Matice koeficientů proměnných a vektor pravých stran • Upravíme tuto matici na diagonální tvar – Na diagonále jedničky, ostatní prvky ve sloupcích rovny nule – Pomocí vybraných elementárních operací s řádky (sloupci) • Vybereme řídící prvek (pivot) – budoucí řídící jedničku • Vybraný řídící řádek pivotem vydělíme • K ostatním řádkům přičítámš vhodný násobek řídícího řádku • Hodnoty proměnných x 1, x 2, … xn odpovídajících diagonále (bázických) jsou ve vektoru pravých stran

Jordanova eliminační metoda x 1 + 2 x 2 + x 3 - x 4 = 2 2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 = 1 4 x 1 + 7 x 2 + x 3 =5 x 1 = -4 x 2 = 3 x 1 = -4 +5 p - 7 q x 3 = x 4 = 0 x 2 = 3 - 3 p + 4 q x 3 = p x 4 = q