Liner Programmering 1 Liner programmering Matematisk kvantitativ metode

Lineær Programmering 1

Lineær programmering Matematisk, kvantitativ metode, til at 1. Sikre ”det bedst mulige resultat”, altså optimere erhvervsøkonomisk beslutning • Maksimere (profit, produktion etc. ) • Minimere (omkostninger, risiko etc. ) 2. Med en række kriterier og begrænsninger 3. Der kan formuleres lineært Og hvad betyder det så? 2

Hvad har vi egentlig gang i? • Nogle af de tidligste formuleringer af lineær programmering blev udført i 1930 erne i Sovjetunionen af Kantorovich. • Og senere under 2. verdenskrig løste Dantzig forskellige transportproblemer for den amerikanske hær. • Det viste sig, at begge formuleringer havde samme matematiske opbygning og struktur. • I 1951 blev der afholdt en konference ledet af Koopmans med overskriften: ”Activity Analysis of Production and Allocation” Blandt emnerne var: 1) Transportplanlægning 2) Allokering af ressourcer i produktion 3) … 3

Hvad har vi egentlig gang i? • Efter 1951 har den pågældende konference sat sine spor i de tilstødende problemstillinger, som har givet brugbare løsningsforslag i mange forskellige typer af virksomheder. • I 1975 modtog Kantorovich og Koopmans Nobel prisen i økonomi for deres arbejde med ressource allokering 4

Nogle eksempler på anvendelse af Lineær programmering Afsætningsøkonomi Reklamesammensætning Produktplacering Detailsalg Investering og Finansiering Valutahandel Evaluering af investeringsprojekter Porteføljesammensætning Økonomistyring Budgetplanlægning Human Resources Diet planlægning Arbejdstidsplanlægning Driftsøkonomi Logistik Produktionsplanlægning Projektplanlægning 5

Lineær programmering er et meget anvendeligt kvantitativt analyse- og beslutningsværktøj 6

Eksempel • Virksomheden vil maksimere sit dækningsbidrag. • Virksomheden producerer GPS’ere, henholdsvis X 1 og X 2 • Virksomheden har altså to beslutningsvariable • Der er en række begrænsninger Kriteriefunktion Begrænsninger Max Z = Begrænsninger c 1 x 1 + c 2 x 2 + …. + cnxn a 11 x 1 a 21 x 1 a 12 x 2 a 22 x 2 + …. + a 1 nxn + …. + a 2 nxn b 1 b 2 am 1 x 1 am 2 x 2 + …. + amnxn bm 0 x 1, x 2, …. xn • Vi kan lave en grafisk og en analytisk løsning 7

Eksempel Antag eksempelvis: Kriteriefunktionen: 250 DKK og 600 DKK er de respektive DB pr. enhed Maksimer Z = Begrænsninger: • Arbejde • Samlebånd • Efterspørgsel 250 X 1 + 600 X 2 2 X 1 + 6 X 1 + 4 X 2 ≤ 2 X 2 ≤ 1. 600 1. 800 350 8

Eksempel – IV g nin s æn gr Be Begrænsninger 1 Kriteriefunktion Begrænsning 2 Løsningsområdet / Mulighedsområdet Kri ter ief un kti on en Be græ nsn ing 3 9

Eksempel – V # Grafisk løsning LP Software ing nsn græ Be 2 Begrænsning 3 Kriteri e Begræ nsnin funktio n g 1 HD 1. del CBS EØ 2011 2012 Modul 4. 5 Markeds- og konkurrenceformer V 10

Analytiske informationer ü Løsningsværdi ü Slack variable ü Skyggepriser 11

Slackvariabel Slackvariablen har kun en positiv værdi når den tilhørende ressource ikke er fuldt udnyttet. Slackvariablen angiver, hvor meget kapacitet der ikke er udnyttet, dvs. værdien af en slackvariabel er lig med ledig kapacitet. 12

Grafisk fastsættelse af Slackvariabel Der bruges 6*100+2*350 = 1. 300 af begrænsning 1. Der er 1. 800 til rådighed => Slack = 1. 800 – 1. 300 = 500 Eller aflæst 83, 33 ekstra X; hver med et forbrug på 6 => 83, 33*6 = 500 ni ns æ gr Be 900 ng 1: 6 400 x + 2 y ≤ Slackvariabel GPS B (Y) Krit erie Begrænsning 3: 1 y ≤ 350 0 80 1. 350 Be græ nsn ing funk tion 100 183, 3 GPS A (X) 2: 2 x +4 y≤ 1. 6 0 0 300 800 13

Skyggepris • Skyggeprisen har kun en værdi når den tilhørende ressource er fuldt udnyttet. • Skyggeprisen angiver, hvor meget værdien af kriteriefunktionen vil ændre sig med, hvis den pågældende ressource får tilført yderligere én ekstra ressource. • Hvis skyggeprisen = 10 og begrænsningens højreside = 10. 000, betyder det, at tilføres højresiden én ekstra ressource til 10. 001, så vil værdien af kriteriefunktionen blive forøget med 10. 14

Grafisk fastsættelse af Skyggepris Før ændring var kriteriefunktionen: 235. 000; Nu er den: 50*250 + 375*600 = 237. 500; En stigning på 2. 500; eller en stigning pr. stk. på 2. 500/25 = 100 = skyggeprisen = værdien af én ekstra begrænsning 3 ni ns æ gr Be 900 ng 1: 6 400 x + 2 375 350 y ≤ GPS B (Y) 0 80 1. Begrænsning 3: 1 y ≤ 375 (+ 25) Begrænsning 3: 1 y ≤ 350 Be græ Krit erie nsn ing funk 50 100 tion GPS A (X) 300 2: 2 x +4 y≤ 1. 6 00 800 15