Lineare Regression Gliederung Kriterium und Prdiktor Methode der

Lineare Regression Gliederung • Kriterium und Prädiktor • Methode der kleinsten Quadrate • Voraussetzungen der linearen Regression • Varianzzerlegung • Der Standardschätzfehler • Konfidenzintervalle • Kreuzvalidierung • Regression zur Mitte • Die lineare Regression in SPSS 10_regression 1

Lineare Regression • Das Ziel einer linearen Regression ist die Vorhersage einer Variablen y durch eine Variable x. • Eine solche Vorhersage ist nur möglich, wenn x und y miteinander korrelieren. • Die vorherzusagende Variable (y) heißt Kriteriumsvariable. • Die zur Vorhersage verwendete Variable (x) heißt Prädiktorvariable. 10_regression 2

Lineare Regression • Es wird eine Gerade gesucht, die eine möglichst geringe Abweichung zu allen Punkten hat. • Mit einer solchen Gerade kann zu jedem Wert von x ein Wert von y vorausgesagt werden. – x=120 y=30 – x=80 10_regression y=13 3

Lineare Regression Herleitung der Linearen Regression • Allgemeine Funktion für eine Gerade: • wobei b für die Steigung und a für den y-Achsen-Abschitt steht. • Bei der Regression schreibt man: 10_regression 4

Lineare Regression Methode der kleinsten Quadrate • Für einen Datensatz (eine Punktewolke) werden a und b so gewählt, dass der Vorhersagefehler über alle Probanden minimal ist. • Der Vorhersagefehler bezeichnet die Abweichung der vorhergesagten y-Werte von den tatsächlichen y-Werten. Der Vorhersagefehler für diese Person beträgt also 10. (Das Vorzeichen der Differenz wird nicht berücksichtigt) 10_regression 5

Lineare Regression Methode der kleinsten Quadrate • Für die Ermittlung der Regressionsgleichung wird die Differenz der tatsächlichen von den vorhergesagten y-Werten quadriert. Diese hat zwei Vorteile: (1) Abeichungswerte sind dann immer positiv. (2) Große Abweichungen werden stärker berücksichtigt als kleine Abweichungen. • Folgende Formel wird also verwendet: 10_regression 6

Lineare Regression Beispiel 1 • Aus der Abiturnote soll die Abschlussnote eines Studierenden vorhergesagt werden. 10_regression 7

Lineare Regression Beispiel 1 • Mithilfe der resultierenden Gleichung können für beliebige x. Werte die y-Werte geschätzt werden. • Für Studienanfänger mit den Abiturnoten 1, 2, 3 und 4 würden z. B. folgende Studienabschlussnoten geschätzt: 10_regression 8

Lineare Regression Beispiel 2 • Aus der Arbeitsmotivation soll vorhergesagt werden, wie lange ein Arbeiter zur Fertigung eines Bauteils benötigt. 10_regression 9

Lineare Regression Beispiel 2 • Aus der Arbeitsmotivation soll vorhergesagt werden, wie lange ein Arbeiter zur Fertigung eines Bauteils benötigt. • Für Studienanfänger mit den Abiturnoten 1, 2, 3 und 4 würden z. B. folgende Studienabschlussnoten geschätzt: 10_regression 10

Voraussetzungen der linearen Regression Folgende Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit eine lineare Regressionsanalyse berechnet werden darf: (1) Die Variablen x und y müssen intervallskaliert sein (2) Die Variablen x und y müssen normalverteilt sein. (3) Die Homoskedastizität der Variablen muss gegeben sein. 10_regression 11

Güte der Vorhersage • Bei einer Vorhersage ist natürlich nicht nur der vorhergesagte Wert sondern auch die Qualität der Vorhersage wichtig. • Der „wahre“ Wert der Variable y setzt sich aus dem vorhergesagten Wert und einem Residuum („Fehler“) zusammen: bzw. • Dies gilt auch für die Mittewerte: 10_regression 12

Varianzzerlegung • Nach dem Varianzadditionssatz gilt: • Für die Regression ergibt sich: • Residuen und vorhergesagte Werte sind unkorreliert, also zerlegt sich die Varianz von y folgendermaßen: aufgeklärte Varianz 10_regression nicht-erklärbare Varianz 13

Der Standardschätzfehler • Weiter gilt: • Also: aufgeklärte Varianz 10_regression nicht-erklärbare Varianz 14

Der Standardschätzfehler • Die Standardabweichung der Residuen wird als Standardschätzfehler bezeichnet. • Der Standardschätzfehler ist die Wurzel der nicht aufgeklärten Varianz: • Als Populationsschätzer: 10_regression 15

Der Standardschätzfehler Wovon hängt der Standardschätzfehler ab? • Je größer die Streuung des Kriteriums, desto größer der Standardschätzfehler. • Je größer die Streuung des Prädiktors, desto kleiner der Standardschätzfehler. • Je größer die Korrelation zwischen Prädiktor und Kriterium, desto kleiner ist der Standardschätzfehler. 10_regression 16

Konfidenzintervalle • Der Standardschätzfehler ist ein Maß dafür, wie stark die wahren y-Werte von den vorhergesagten Werten abweichen. • Mit Hilfe des Standardschätzfehlers kann ein Vertrauensintervall um einen vorhergesagten Wert berechnet werden (s. u. ). 10_regression 17

Konfidenzintervalle • Ein Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) ist ein Bereich, in dem ein wahrer Wert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt. • Mit Hilfe der Standardnormalverteilung wird zunächst der z-Wert für die gewählte Wahrscheinlichkeit (p =. 95) bestimmt. Aus der Tabelle: z(p=0. 025) = -1. 96 z(p=0. 975)= 1. 96 10_regression 18

Konfidenzintervalle • Bei einer normalverteilten Variablen liegen also 95% aller Werte in einem Bereich von Mittelwert ± 1. 96 Standardabweichungen. • Weil die Standardabweichung der Residuen bekannt ist (der „Standardschätzfehler“), kann nun Konfidenzintervall berechnet werden: bzw. 10_regression 19

Konfidenzintervalle Beispiel 1 – Fortsetzung Standardschätzfehler: 10_regression 20

Konfidenzintervalle Beispiel 1 – Fortsetzung Für N=50 ergibt sich ein Populationsschätzer von: 10_regression 21

Konfidenzintervalle Beispiel 1 – Fortsetzung Das 95%-Konfidenzintervall berechnet sich als: Damit ergibt sich für folgende Konfidenzintervalle: 10_regression 22

Konfidenzintervalle Beispiel 2 – Fortsetzung Standardschätzfehler: 10_regression 23

Konfidenzintervalle Beispiel 2 – Fortsetzung Für N=20 ergibt sich ein Populationsschätzer von: 10_regression 24

Konfidenzintervalle Beispiel 2 – Fortsetzung Das 95%-Konfidenzintervall berechnet sich als: Damit ergibt sich für folgende Konfidenzintervalle: 10_regression 25

Kreuzvalidierung • Die Regressionsgleichung wird immer mit Hilfe einer Stichprobe erstellt, von denen die Prädiktoren und die Kriterien bekannt sind. • Es stellt sich jedoch die Frage nach der Generalisierbarkeit („externe Validität“), d. h. ob eine Vorhersage des Kriteriums anhand der Regressionsgleichung auch für Personen gültig ist, die nicht zu der ursprünglichen Stichprobe gehörten. • Die externe Validität einer Regressionsanalyse kann mit der so genannten Kreuzvalidierung erfolgen 10_regression 26

Kreuzvalidierung • Definition: Die Kreuzvalidierung ist ein Verfahren zur Überprüfung der „externen“ Validität einer Regressionsgleichung. Es wird dabei die Gültigkeit der Gleichung für eine Stichprobe überprüft, die nicht zur Ermittlung dieser Gleichung verwendet wurde. • Es werden also zwei Stichproben benötigt! – Entweder werden zwei getrennte Stichproben S 1 und S 2 erhoben – Oder es wird nur eine Stichprobe erhoben, die zufällig in zwei Teilstichproben aufgeteilt wird. 10_regression 27

Kreuzvalidierung Vorgehen: (1) Berechnung der Regressionsgleichung R 1 anhand der Stichprobe S 1. (2) Anwendung der Regressiongleichung R 1 auf die zweite Stichprobe S 2. (3) Vergleich der vorhergesagten Kriteriumswerte mit den wahren Kriteriumswerten in S 2. Das gleiche Verfahren kann natürlich auch umgekehrt durchgeführt werden; dann wird die Gleichung aus S 2 auf S 1 angewendet (daher „Kreuzvalidierung“). 10_regression 28

Kreuzvalidierung • Kreuzvalidierungen sind wichtig, da Regressionskoeffizienten häufig stichprobenabhängig sind. • Die Entscheidung, welche Abweichung noch zu tolerieren ist, ist jedoch nicht eindeutig festgelegt. • Abhilfe liefern multivariate Strukturgleichungsmodelle (z. B. die Auswertungssoftware AMOS), die in dieser Veranstaltung jedoch nicht besprochen werden. 10_regression 29

Regression zur Mitte • Für eine Prognose wird oft die aktuelle Ausprägung eines Merkmals zum Zeitpunkt (t 0) verwendet, um die künftige Ausprägung des selben Merkmals zu einem späteren Zeitpunkt (t 1) vorherzusagen („Autoregression“) • Es findet also eine Messwiederholung statt. Beispiele: • Schulleitung zum Ende der 4. Klasse und Noten im Gymnasium • Depressivität am Beginn und am Ende einer Therapie 10_regression 30

Regression zur Mitte • In diesem Fällen kommt es zum Effekt der „Regression zur Mitte“ (regression to the average). • Der Effekt sagt vorher, dass viele Probanden, die zum Zeitpunkt t 0 besonders extreme Merkmalsausprägungen hatten, zum Zeitpunkt t 1 durchschnittlichere Ausprägungen aufweisen. • Daher besteht für Probanden … mit hohen Werten zu t 0 eine erhöhte Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Merkmalsausprägung bis t 1 verringert. mit niedrigen Werten zu t 0 eine erhöhte Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Merkmalsausprägung bis t 1 erhöht. 10_regression 31

Regression zur Mitte 10_regression 32

Regression zur Mitte • Wenn nun aus dem Wert y 1 die Veränderung Δy vorhergesagt werden soll, ergibt sich daher in der Regel ein negatives Regressionsgewicht, z. B. : • Dies wird als Regression zur Mitte bezeichnet. • Das negative Regressionsgewicht kann jedoch ein rein methodisches „Artefakt“ sein und sollte daher nicht inhaltlich interpretiert werden. 10_regression 33

Regression zur Mitte • Der Effekt der Regression zur Mitte muss auch dann berücksichtigt werden, wenn für eine Mehrfachmessung Personen ausgewählt werden, deren Werte zu Zeitpunkt 1 auffällig hoch oder gering sind. • Beispiel: – Für Schüler mit auffällig niedrigen Werten in einem Test zur sozialen Kompetenz (Vorhermessung) wird ein entsprechendes Training durchgeführt. – Nach 6 Monaten wird das Training evaluiert (Nachhermessung). – Allein aufgrund statistischer Effekte ist zu erwarten, dass die auffälligen Schüler in der Nachhermessung besser abschneiden als in der Vorhermessung. 10_regression 34

Die lineare Regression in SPSS 10_regression 35

Die lineare Regression in SPSS 10_regression 36

Die lineare Regression in SPSS • Lineare Regression im Syntax: regression /dependent stat /method enter stat_k. 10_regression 37

Die lineare Regression in SPSS Modellzusammenfassung Korrigiertes RStandardfehler Modell R R-Quadrat des Schätzers 1 , 342 a , 117 , 108 2, 98178 a. Einflußvariablen : (Konstante), Kenntnisse in der Statistik 10_regression 38

Die lineare Regression in SPSS • Der „globale“ Signifikanztest: ANOVA = Analysis of Variance = Varianzanalyse • Diese Ausgabe wird erst im Sommersemester besprochen! Modell 1 Quadratsum me Regression 112, 924 Residuen 853, 535 Gesamt 966, 459 ANOVAb df Mittel der Quadrate 1 112, 924 96 8, 891 F Signifikanz 12, 701 , 001 a 97 a. Einflußvariablen : (Konstante), Kenntnisse in der Statistik b. Abhängige Variable: stat 10_regression 39

Die lineare Regression in SPSS Signifikanztests für die einzelnen Parameter („Test gegen 0“) Additive Konstante (y-Achsen-Abschnitt) Modell 1 (Konstante) Koeffizientena Nicht standardisierte Standardisierte Koeffizienten Standardf B ehler Beta T Signifikanz 15, 145 , 489 30, 943 , 000 Kenntnisse in der Statistik a. Abhängige Variable: stat , 054 , 015 , 342 3, 564 , 001 Regressionsgewicht 10_regression 40

Zusammenfassung • Ziel einer linearen Regression ist die Vorhersage eines Kriteriums durch einen Prädiktor. • Dazu wird eine Gerade gesucht, die zu allen Punkten einer Punktewolke eine möglichst geringe (vertikale) Distanz hat. • Eine Regressionsgleichung ist durch das Regressionsgewicht (b) und den Achsenabschnitt (a) definiert. • Zur Schätzung dieser beiden Parameter wird die Methode der kleinsten Quadrate verwendet. • Voraussetzungen für einer Regressionsanalyse sind Intervallskalenniveau und Normalverteilung der beteiligten Variablen, sowie deren Homoskedastizität. • Die Güte der Vorhersage wird durch den Standardschätzfehler angegeben. 10_regression 41

Zusammenfassung • Der Standardschätzfehler ist klein, wenn ein Kriterium mit geringer Varianz hoch mit einem Prädiktor mit großer Varianz korreliert ist. • Aus dem Standardschätzfehler kann ein Konfidenzintervall für die wahren Kriteriumswerte berechnet werden. • Die externe Validität gibt an, ob die Ergebnisse aus einer Stichprobe auf eine Population generalisiert werden können. Sie kann durch eine Kreuzvalidierung überprüft werden. • Der Effekt der Regression zur Mitte führt zu einer negativen Korrelation einer Merkmalsausprägung zur Veränderung der Merkmalsausprägung über die Zeit. 10_regression 42