LINEARE GLEICHUNGSS YSTEME Einsetzungs Gleichsetzungs und Additionsverfahren WAS

LINEARE GLEICHUNGSS YSTEME Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren

WAS IST ÜBERHAUPT EIN LINEARES GLEICHUNGSSY STEM?

I: y = 2 x + 4 II: y = -x + 1 Was steckt eigentlich hinter diesen Gleichungen? Die Gleichungssysteme, die wir kennen, bestehen aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die zwei Geraden f und g mit f(x) = 2 x + 4 und g(x) = -x +1

WAS MACHE ICH ÜBERHAUPT MIT EINEM LINEAREN GLEICHUNGSSYST EM?

I: y = 2 x + 4 II: y = -x + 1 Das Ziel ist es die beiden Unbekannten zu bestimmen, also die Werte für x und y herauszufinden. x = ? ? y = ? ?

I: y = 2 x + 4 II: y = -x + 1 Graphisch gesehen soll überprüft werden, in welchem Punkt (x|y) sich die beiden Geraden schneiden.

WIE LÖSE ICH SO EIN LINEARES GLEICHUNGSSY STEM?

Hierfür gibt es drei Möglichkeiten: 1. Das Einsetzungsverfahren 2. Das Gleichsetzungsverfahren 3. Das Additionsverfahren

1. Das Einsetzungsverfahren Dieses Verfahren bietet sich an, wenn eine der beiden Gleichungen entweder bereits nach x oder y umgeformt ist oder sich leicht nach einer Variablen umformen lässt: Gleichung I lässt sich leicht nach y umformen I: 5 x - y = 2 | +y II: 3 x +2 y = 9 I: 5 x Term für y in Gleichung II für y einsetzen =2+y 5 x - 2 = y y in II: 3 x + 2(5 x - 2) = 9 Wert für x in die nach y umgeformte Gleichung einsetzen x=1 x in I: 5 - 2 = 3 = y | -2

I: 5 x - y = 2 II: 3 x +2 y = 9 Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich für x = 1 und y = 3 lösen. ODER Der Schnittpunkt der zwei Geraden hat die Koordinaten (1|3).

2. Das Gleichsetzungsverfahren Dieses Verfahren bietet sich an, wenn in beiden Gleichungen der gleiche Ausdruck für eine der beiden Unbekannten vorkommt. Beide Gleichungen nach dem gleichen Ausdruck umstellen. Gleichsetzen I: 5 x - y = 2 II: -6 + 2 y = 5 x I: 5 x = 2 + y I = II Nach y auflösen. -6 + 2 y = 2 + y Den Wert für y in eine der umgeformten Gleichungen einsetzen. y=8 y in II: -6 +16 = 10 = 5 x x=2 | +y

I: 5 x - y = 2 II: -6 + 2 y = 5 x Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich für x = 2 und y = 8 lösen. ODER Der Schnittpunkt der zwei Geraden hat die Koordinaten (2|8).

3. Das Additionsverfahren Dieses Verfahren bietet sich an, wenn in beiden Gleichungen entweder gleiche Ausdruck für eine der beiden Unbekannten vorkommt oder sich ein gemeinsames Vielfaches davon leicht bestimmen lässt. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6 Durch Subtrahieren verschwindet die Unbekannte t I: 4 s + 3 t = 2 |· 2 II: 5 s + 2 t = -8 |· 3 I: 8 s +6 t = 4 II: 15 s +6 t = -24 I-II: -7 s = 28 Den Wert für s in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen s = -4 s in I: -16 + 3 t = 2 t=6

WELCHE LÖSUNGEN KANN SO EIN LINEARES GLEICHUNGSSYSTE M HABEN?

Wenn beim Lösen der Gleichungen… … ein Wert für x und ein Wert für y raus kommt, so schneiden sich die beiden Geraden (wie in den Beispielen eben) im Punkt (x|y). … die Unbekannte wegfällt und eine falsche Aussage wie beispielsweise „ 1 = 3“ auftritt, so gibt es keine Lösung für das Gleichungssystem und somit keinen Schnittpunkt der beiden Geraden. Sie verlaufen parallel. … die Unbekannte wegfällt und eine wahre Aussage wie beispielsweise „ 0 = 0“ auftritt, so gibt es unendlich viele Lösung für das Gleichungssystem und somit unendlich viele Schnittpunkte der beiden Geraden. Sie sind identisch.

WIE NOTIERE ICH DIE VERSCHIEDENE N LÖSUNGSMENG EN?

Eine Lösung: Unendlich viele Lösungen: Keine Lösung:

WIE FUNKTIONIERT DAS JETZT MIT DEN SACHAUFGABEN ?

Buch S. 142, Nr. 5 1. Variablen vergeben: x: Anzahl Käfer y: Anzahl Spinnen 2. Aufstellen der Gleichungen: 18 Tiere insgesamt I: x + y = 18 II: 6 x + 8 y = 120 Käfer haben 6 Beine und Spinnen 8. 120 Beine insgesamt 3. Lösen des Gleichungssystem: Lösungsverfahren nach Kriterien (oder Vorliebe) auswählen 4. Lösung angeben: x = 12, y = 6 Antwort: Es sind 12 Käfer und 6 Spinnen.

Üben, üben… Buch S. 149, Runde 2 Weitere Übungen: Buch S. 149, Runde 1, Nr. 4 + 5