Linear Programming MINGGU II Linear Programming n Tujuan

Linear Programming MINGGU II

Linear Programming n Tujuan dari bisnis umumnya adalah untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan cost (biaya) n Linear Programming adalah model yang berisi hubungan linear yang menggambarkan keputusan perusahaan yang memberikan tujuan dan batasan sumber daya.

Model Formulation n Decision variable adalah simbol matematika yang menggambarkan level aktivitas. n Objective function adalah hubungan relasi yang merefleksikan tujuan operasi n Constraint adalah hubungan linear yang menggambarkan batasan dalam pengambilan keputusan n Model Linear programming berisi decision variable, objective function dan constraint.

Kebutuhan sumber daya 2 produk untuk produksi dan profit per item yang diproduksi Resource Requirements Product Pekerja Clay Profit (HR/UNIT) (LB/UNIT) ($/UNIT) Mangkok 1 4 40 Mug 2 3 50

Objective Function n Tujuan perusahaan untuk memaksimalkan total profit. n Keuntungan perusahaan adalah jumlah dari keuntungan dari masing-masing mangkok dan mug. n Profit dari mangkok yang ditentukan oleh perkalian keuntungan unit dengan $40 (x 1) dan perkalian keuntungan unit mug dengan $50 (x 2)

Objective Function n Jadi total profit Z, dapat diekspresikan dengan model matematika sebagai $40 x 1 + 50 x 2 Maximize Z = $40 x 1 + 50 x 2 n Dimana n n Z = Total Profit per hari $40 x 1 = keuntungan mangkok 50 x 2 = keuntungan mug

Decision Variable n X 1 = jumlah mangkok yang diproduksi n X 2 = jumlah mug yang diproduksi

Model Constraint n Dalam masalah ini 2 sumber daya diigunakan yaitu labor dan clay dimana keduanya dibatasi. n Untuk masing-masing mangkok, dibutuhkan 1 jam tenaga kerja (1 x 1 jam) n Masing-masing mug dibutuhkan 2 jam kerja (2 x 2 jam). Total tenaga yng dibutukan untuk perusahaan untuk menghasilkan masing-masing produk = n n 1 x 1 + 2 x 2 Karena dibatasi hanya 40 jam/hari, maka persamaan menjadi 1 x 1 + 2 x 2 ≤ 40 jam n Untuk clay diformulasikan sama dengan labor, yaitu n 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 lb (dibatasi 120 pound/hari)

Non negative constraint n Membatasi decision variable bernilai 0 atau positive, dimana x 1≥ 0, x 2≥ 0 n Model linear programming yang lengkap menjadi sbb: Maximize Z = $40 x 1 + 50 x 2 n Subject to n 1 x 1 + 2 x 2 ≤ 40 n 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 n x 1≥ 0, x 2≥ 0 n

n Solusi untuk model ini akan menghasilkan nilai x 1 dan x 2 n n n n dengan maksimum profit Z. Satu solusi yang mungkin, beri nilai x 1=5 mangkok dan x 2=10 mug. Substitusikan kedalam persamaan 1 x 1 + 2 x 2 ≤ 40 1(5) + 2(10) ≤ 40 25 ≤ 40 Dan 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 4(5) + 3(10) ≤ 120 50 ≤ 120 Bila dimasukkan kedalam Z = $40 x 1 + 50 x 2, , maka didapatkan Z= 40(5) + 50(10) = $700. Tetapi kita tidak tahu apakah $700 adalah maksimum Cobalah dengan nilai x 1=10, x 2=20, didapat Z=$1400, tetapi infeasible solution karena 1(10) + 2(20) ≤ 40

Solusi dengan Grafik Maximize Z = $40 x 1 + 50 x 2 n Subject to n 1 x 1 + 2 x 2 ≤ 40 n 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 n x 1≥ 0, x 2≥ 0 n Dimana x 1=jumlah mangkok yang diproduksi x 2=jumlah mug yang diproduksi n

Solusi dengan grafik n Pikirkan x 1 + 2 x 2 = 40, bila x 1=0, maka x 2=20 Bila x 2=0, maka x 1=40 n Jadi gambar persamaan diatas adalah x 1 Bila kita ambil x 1=10 dan x 2=10, dihasilkan 30, dimana 30 ≤ 40 adalah benar 40 30 20 Maka x 1 + 2 x 2 ≤ 40 10 10 20 30 40 x 1

Dilakukan hal yang sama untuk persamaan 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 Untuk X 1 = 0, didapatkan 3 x 2=120, maka x 2=40 Untuk X 2 = 0, didapatkan 4 x 1=120, maka x 1=30 Sehingga dapat digambarkan grafiknya adalah x 1 Bila kita ambil x 1=10 dan x 2=10, dihasilkan 70, dimana 70 ≤ 120 adalah benar 40 30 20 Maka 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 10 10 20 30 40 x 1

Grafik Gabungan x 1 Karena x 1=10 dan x 2=10, memenuhi ke-2 persamaan yaitu x 1 + 2 x 2 ≤ 40 dan 40 30 T S 20 10 4 x 1+3 x 2 ≤ 120, maka daerahnya yang memenuhi adalah seperti yang ditunjukkan panah. R 10 20 30 40 x 1 Untuk mengetes daerah yang memenuhi, sebaiknya dites harga untuk 3 daerah R, S, T

Batasan solusi yang mungkin x 1 40 4 x 1 + 3 x 2 ≤ 120 30 S T 20 10 R x 1 + 2 x 2 ≤ 40 10 20 30 40 x 1

Garis fungsi obyektif $800 x 1 40 800=40 x 1+50 x 2 30 Bila diinginkan menghasilkan profit $800 dari penjualan 40 mangkok dan 50 mug 800=40 x 1+50 x 2 20 10 10 20 30 40 x 1

Alternatif garis fungsi objective untuk $800, $1200 dan $1600 x 1 40 800=40 x 1+50 x 2 30 20 10 1200=40 x 1+50 x 2 1600=40 x 1+50 x 2 10 20 30 40 x 1

Optimal Solution x 1 Optiomal solution adalah solusi yang mungkin dan terbaik 40 30 20 Optimal Point 10 10 20 30 40 x 1

Optimal Solution n Optimal Solution adalah poin terakhir fungsi objective yang menyentuh optimum area solusi yang layak. n Constraint equation diselesaikan secara simultan pada extreme point yang optimal untuk menentukan nilai-nilai solusi variabel.