Linear Programing Pendekatan Riset Operasi Untuk Memecahkan Masalah

Linear Programing

Pendekatan Riset Operasi Untuk Memecahkan Masalah 1. • 2. • 3. • • Pengamatan (Observasi) Identifikasi masalah Definisi Masalah Menjelaskan tujuan organisasi Pembuatan Model (Konstruksi Model) Variabel-variabel Variabel dependen dan independen Parameter Data

Pendekatan Riset Operasi Untuk Memecahkan Masalah • Hubungan fungsional • Model • Fungsi tujuan pembatas • Variabel Keputusan 4. Pemecahan Model • Model Solusi • Informasi untuk membantu membuat keputusan • Hasil-hasil deskriptif

Pendekatan Riset Operasi Untuk Memecahkan Masalah 5. Pelaksanaan Hasil Pemecahan • Mendorong penggunaan hasil manajemen • Umpan balik model sains

Macam Data Kualitatif : Data yang wujudnya kategori/atribut, atau data yang tidak berujud angka, kalaupun berwujud angka, angka tersebut hanya sekedar pengganti kategori. Data Kualitatif dibedakan atas: Ø Data Kualitatif Nominal (Kategorinya Setara). Ø Data Kualitatif Ordinal (Kategorinya Bertingkat). 1. 2. Data Kuantitatif : Data yang wujudnya angka atau numeris, dan angka-angka itu bisa dilakukan operasi matematika. Data Kuantitatif dibedakan atas : Data Kuantitatif Interval dan Data Kuantitatif Rasio.

LINEAR PROGRAMING v Adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa semua parameter model diasumsikan diketahui dengan pasti. v Sasaran Riset Operasi, khususnya teknik linear programming adalah mencapai hasil (output) yang optimum dengan memperhatikan input (men, money, material, time) yang tersedianya terbatas. v Linear programming merupakan metode matematis/alternatif pemecahan untuk mencari maximum profit and minimum cost of production. v Yang dapat digunakan bagi manajer dalam pengambilan keputusan

Prosedur Penyelesaian v Pembuatan Model Matematis (Logika Matematis), merupakan faktor kunci/utama dalam permasalahan linier programming v Perhitungan bisa diselesaikan dengan cara manual (metode grafik, metode simplex, konsep dualitas) maupun dengan Komputer. v Analisis hasil hitungan, sebagai salah satu alat alternatif keputusan dan pengambilan keputusan.

Tahapan Pembuatan Model Matematis v v Identifikasi Masalah : Masalah Maksimisasi (berkaitan dengan Profit/Revenue) atau Masalah Minimisasi (berkaitan dengan Cost/biaya) Penentuan Variabel Masalah : 1) Variabel Keputusan (Variabel yang menyebabkan tujuan maksimal atau minimal) 2) Fungsi Tujuan (Objective Function) Z maks. atau min. 3) Fungsi Kendala (Constraint Function) Identifikasi dan merumuskan fungsi kendala yang ada

Pembuatan Model 1. Variabel keputusan, yaitu faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tujuan. 2. Tujuan, yaitu suatu fungsi atau persamaan yang menghubungkan variabel dan membentuk kesatuan tentang apa yang ingin dicapai. Mencari nilai-nilai variabel yang akan meminimumkan memaksimumkan fungsi tujuan. 3. Kendala, yaitu sekumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang membatasi harga suatu variabel.

Simbol-simbol LP • m = macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia • n = macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut • i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i = 1, 2, 3, …, m) • j = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (i = 1, 2, 3, …, n) • xj = tingkat kegiatan ke j (j = 1, 2, 3, …, n)

Simbol-simbol LP • aij = banyaknya sumber I yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran (output) kegiatan j. (i = 1, 2, 3, …, m; (j = 1, 2, 3, …, n) • bi = banyaknya sumber (fasilitas) I yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i= 1, 2, 3, …, m) • Z = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum) • Cj = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (xj) dengan satuan (unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z.

Tabel standar LP :

Susunan model LP berdasarkan tabel

Fungsi Batasan a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi batasan sebanyak m. b. Fungsi batasan non negatif, yaitu fungsi batasan yang dinyatakan dengan Xi ≥ 0.

Masalah-masalah dalam praktek LP 1. 2. 3. 4. Masalah minimisasi Dimana seseorang dituntut untuk menentukan kombinasi (output) yang dapat diminimumkan, Dalam hal ini, fungsi tujuan dinyatakan sbb : Minimumkan Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + … + Cn. Xn Fungsi batasan memiliki tanda matematis ≥ Apabila dirumuskan terlihat sbb : ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + ai 3 x 3 … + ainxn ≥ bi Fungsi batasan memiliki tanda matematis = Apabila dirumuskan terlihat sbb : ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + ai 3 x 3 … + ainxn = bi Fungsi batasan non negatif tidak ada atau tidak terbatas

Asumsi-asumsi dasar LP 1. Proportionality Berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (propotional) dengan perubahan tingkat kegiatan. 2. Additivity Berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.

Asumsi-asumsi dasar LP 3. Divisibility Menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatam dapat berupa bilangan pecahan, demikian nilai Z yang dihasilkan. 4. Deterministic (Certainty) Menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi, Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.

METODE GRAFIK • Langkah-langkah menggunakan metode grafik : 1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis. 2. Mengidentifikasikan batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam bentuk matematis. 3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y 4. Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan.

Contoh Soal • Sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, yaitu Barang A dan Barang B. Perusahaan selama ini menggunakan dua macam bahan baku (BB) yaitu Bahan Baku I (BB I) dan Bahan Baku II (BB II). Untuk membuat satu unit Barang A diperlukan BB I sebanyak 4 unit dan BB II sebanyak 3 unit. Sedangkan untuk membuat Barang B diperlukan BB I sebanyak 2 unit dan BB II sebanyak 4 unit. Jumlah BB I tersedia 100 unit dan BB II tersedia 120 unit. Harga jual Barang A Rp 5000 per unit dan harga jual Barang B Rp 6000 per unit. Berapa unit Barang A dan Barang B harus dihasilkan agar perusahaan memperoleh penerimaan maksimal (tentunya dengan memperhatikan kendala yang ada) ? Dan berapa besarnya keuntungan maksimalnya ?

Data Tersebut dalam tabel Produk Barang A Sumber Barang B Kapasitas Bahan Baku 1 4 2 100 Bahan Baku 2 3 4 120 Harga jual 5000 6000 Untuk formulasi masalah diatas maka pertama-tama tentukan simbol-simbol yang akan dipakai : X = barang A yang akan dibuat Y = barang B yang akan dibuat Z = jumlah sumbangan seluruh produk A dan produk B yang akan diperoleh

Memformulasikannya dalam bentuk matematika • • • – Identifikasi Masalah -> Masalah Maksimisasi (Mencari keuntungan maksimal) – Mentukan Variabel X = Barang A dan Y = Barang B – Menentukan Kendala 1. 4 X + 2 Y ≤ 100 2. 3 X + 4 Y ≤ 120 X, Y ≥ 0 – Menentukan Fungsi Tujuan Max Z = 5000 X + 6000 Y

Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y • Batasan 1 • 4 x + 2 y ≤ 100 • Misal : x = 0 maka 4. 0 + 2 y = 100/2 y = 50 • Misal : y = 0 maka 4 x + 2. 0 = 100 4 x = 100/4 x = 25

Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y • Batasan 2 • 3 x + 4 y ≤ 120 • Misal : x = 0 maka 3. 0 + 4 y = 120/4 y = 30 • Misal : y = 0 maka 3 x + 4. 0 = 120 3 x = 120/3 x = 40

Gambar Grafiknya

Penyelesaian • Menggunakan Metode Eliminasi 4 x + 2 y ≤ 100 (x 2) 3 x + 4 y ≤ 120 (x 1) 8 x + 4 y = 200 3 x + 4 y = 120 5 x = 80/5 x = 16 • Menggunakan Metode Substitusi 4 x + 2 y = 100 4(16) + 2 y = 100 64 + 2 y = 100 – 64 2 y = 36 y = 18

Membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif Titik A (0, 30) X = 0, Y = 30 Z = 5000 X + 6000 Y = 5000(0) + 6000(30) = 0 + 180000 = 180000 Titik B (25, 0) X = 25, Y = 0 Z = 5000 X + 6000 Y = 5000(25) + 6000(0) = 125000 + 0 = 125000 Titik C (16, 18) X = 16, Y = 18 Z = 5000 X + 6000 Y = 5000(16) + 6000(18) = 80000 + 108000 = 188000

Kesimpulan • Dari penyelesaian di atas dapat disimpulkan bahwa perusahaan harus membuat barang A sebanyak 16 unit dan barang B sebanyak 18 unit dengan alokasi keuntungan sebesar Rp 188. 000, 00

Latihan 1 • Seorang pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan pembunuh serangga, yaitu jenis superior (C 1) dan jenis standar (C 2). Kedua jenis cairan ini dibuat dari 2 macam bahan yang sama, yaitu bahan A dan bahan B dengan komposisi yang berbeda. Setiap liter cairan superior dibuat dari campuran 1 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan jenis standar dibuat dari campuran 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya dapat memperoleh 20 unit bahan A dan 20 unit bahan B. Untuk setiap liter cairan superior dijual, ia akan memperoleh keuntungan sebesar 30. 000 dan untuk cairan standar memperoleh keuntungan 20. 000. Jika diasumsikan bahwa semua cairan laku terjual, berapa liter masing-masing cairan yang harus diproduksi tiap harinya agar keuntungan yang didapat maksimum?

Latihan 2 • Sebuah perusahaan industri mempunya berturut-turut 260 kg, 380 kg, dan 200 kg bahan yaitu kayu, plastik, dan baja. Perusahaan tersebut akan membuat dua macam produk yaitu meja dan kursi yang berturut-turut memerlukan bahan-bahan (dalam kg) sbb : Bahan yang diperlukan Produk Kayu Plastik Baja Meja 3 5 4 Kursi 5 6 3 • Harga jual tiap produk meja Rp 140. 000 /unit dan kursi Rp 180. 000 /unit. Berapa banyak produk meja dan kursi yang harus diproduksi untuk memaksimumkan laba, dengan biaya variabel produk meja Rp 80. 000/unit dan produk kursi Rp 100. 000/unit

Terima Kasih. . .