LINEAR PROGRAMING Bagian 3 Oleh Junaidi Fakultas Ekonomi

LINEAR PROGRAMING (Bagian 3) Oleh : Junaidi Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Jambi

Contoh Kasus Minimisasi • Sebuah perusahaan memproduksi meja & kursi. Biaya untuk memproduksi meja 20 perunitnya dan untuk kursi 8 perunitnya. • Untuk memproduksi meja dan kursi tsb dibutuhkan proses perakitan dan pemolesan, dengan rincian waktu sbb: Meja/unit Kursi/unit Total jam ersedia Perakitan 4 2 60 Pemolesan 2 4 48 • Waktu yg tersedia untuk perakitan 60 jam dan pemolesan 48 jam. • Perusahaan tersebut juga telah menjanjikan pada pelanggannya akan membuat paling tidak 2 meja dan paling tidak 4 kursi • Dalam menghadapi batasan-batasan tersebut, berapakah meja dan kursi yang harus dibuat dengan tujuan untuk meminimumkan biaya

Persoalan tsb dapat kita rumuskan : Minimumkan Z = 20 X 1 + 2 X 2 Dengan kendala 4 X 1 + 2 X 2 60 2 X 1 + 4 X 2 48 X 1 2 X 2 4 Dimana : X 1 = meja dan X 2 = kursi

Sebelum pemecahan dengan metode simpleks ketidaksamaan dalam fungsi kendala dijadikan persamaan (tidak perlu dilakukan jika menggunakan program QSB, karena secara otomatis program akan merubah sendiri) sebagai berikut: Z = 20 X 1 + 2 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 +MA 3 + 0 S 4 + MA 4 dengan kendala 4 X 1 + 2 X 2 + S 1 = 60 2 X 1 + 4 X 2 + S 2 = 48 X 1 - S 3 + A 3 = 2 X 2 – S 4 + A 4 = 4

Berikut ini adalah tampilan hasil program QSB+ dengan uraian perhitungan dan interpretasi

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Kolom basis (kolom program) Kolom ini berisi variabel-variabel sj, ai dan/atau xj yg menentukan kesimpulan penyelesaian. Pada tabel awal, kolom ini berisi semua variabel slack dan artifisial, tetapi hanya yang memiliki koefisien positif. Ini menyebabkan S 3 dan S 4 tidak masuk didalamnya

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Kolom C(j) (kolom tujuan) Kolom ini berisi koefisien variabel-variabel di dlm fungsi tujuan sesuai dgn yg tercantum di kolom basis. Pada tabel awal ini, koefisien variabel slack untuk S 1 dan S 2 adalah 0 dan untuk artifisial A 3 dan A 4 adalah M

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Kolom X 1 – S 4 (Kolom-kolom Variabel) Kolom ini berisi koefisien variabel-variabel di dlm model. Koefisien koefisien yg terdapat dlm fungsi tujuan diletakkan di bagian atas, sedangkan koefisien yg terdapat didalam fungsi kendala diletakkan disebelah bawah

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Kolom B(i) (Kolom Kuantitas) Kolom ini mencerminkan kuantitas masing-masing variabel yg tercantum di kolom basis pada tahap penyelesaian yang bersangkutan. Pada tabel awal, kolom ini berisi konstanta-konstanta yang terdapat di ruas kanan persamaan-persamaan kendala (batasan)

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Kolom B(i)/A(i, j) (Kolom Rasio Kuantitas) Kolom ini berisikan rasio kuantitas yg merupakan hasil bagi antara unsur kolom B(i) atau kolom kuantitas dengan unsur yang bersesu-. aian pd kolom kunci. Pada tabel awal, LP memberikan nilai 0 pada semua unsur pada kolom ini.

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Baris C(j) – Z(j) Baris ini merupakan indikator optimalitas penyelesaian, berisi selisih antara cj dan zj. c(j) yang dimaksud adalah jumlah hasil kali unsur pada kolom c(j) atau kolom tujuan dengan unsur-unsur pada kolom yang bersesuaian. z(j) adalah koefisien fungsi tujuan yang diletakkan di bagian baris atas.

Initial tableau -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│ 0 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│ 0 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ 0 │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000│ 0 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │ 0│ 0│6. 000│ │ ------------------------------------- Baris Big M Pada tabel awal, nilai pada baris Big M dibiarkan dengan angka 0, kecuali pada baris yang berpotongan dengan B(i). Dalam kasus kita angkanya sebesar 6 (atau 6 M), yang merupakan hasil perkalian antara C(j) dengan B(i)

Iterasi 1 -------------------------------------│ │ │M │K │S 1 │S 2 │S 3 │A 3 │S 4 │A 4 │ │ B(i) │ -------------------------------------│Basis│C(j) │20. 00│8. 000│ 0│ M │B(i) │A(i, j)│ -------------------------------------│S 1 │ 0│4. 000│2. 000│1. 000│ 0│60. 00│30. 00 │ │ │ │S 2 │ 0│2. 000│4. 000│ 0│1. 000│ 0│ 0│48. 00│12. 00 │ │ │ │A 3 │ M │1. 000│ 0│-1. 00│1. 000│ 0│ 0│2. 000│ --- │ │ │ │A 4 │ M │ 0│1. 000│ 0│ 0│-1. 00│1. 000│4. 000 │ -------------------------------------│ C(j)-Z(j) │20. 00│8. 000│ 0│ │ │ * Big M │-1. 00│ 0│ 0│1. 000│ 0│6. 000│ │ -------------------------------------Current objective function value (Min. ) = 0 + ( 6 Big M) < Highlighted variable is the entering or leaving variable > Entering: K Leaving: A 4 Kolom X 2 merupakan kolom kunci karena nilai negatif ((Cj – Zj) nya terbesar yaitu sebesar 8 -M (pada maksimisasi kita cari nilai positif terbesar) dan X 2 menjadi variabel pendatang (entering). Baris A 4 merupakan baris kunci karena rasio kuantitasnya non-negatif terkecil, dan A 4 menjadi variabel perantau (leaving).

Untuk Tahap-Tahap Selanjutnya Sama dengan Proses yang dilakukan dalam Metode Maksimisasi