LINEAR PROGRAMING Bagian 1 Oleh Junaidi Fakultas Ekonomi

LINEAR PROGRAMING (Bagian 1) Oleh : Junaidi Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Jambi

Pengertian • Semua organisasi harus membuat keputusan bagaimana mengalokasikan sumber 2 nya yg langka untuk mencapai tujuan tertentu (hasil maksimum atau biaya minimum) • Linear Programing (LP) merupakan teknik matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi • Linearitas bersifat proporsionalitas & aditivitas • Proporsionalitas mengharuskan kontribusi setiap variabel (sumberdaya) harus proporsional secara langsung ke fungsi tujuan • Aditivitas mengharuskan bahwa fungsi tujuan adalah jumlah langsung dari kontribusi individual dari variabel -variabel dalam model

Pengembangan Model Matematis • Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab tiga pertanyaan berikut : • Apa yang diusahakan untuk ditentukan oleh model tersebut ? Dengan kata lain, apa variabel (yang tidak diketahui) dari masalah tersebut ? • Apa batasan yang harus dikenakan atas variabel untuk memenuhi batasan sistem yang dimodel tersebut ? • Apa tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum (terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut

Contoh Pengembangan Model Sebuah pabrik cat menghasilkan cat eksterior & interior. Untuk memproduksi cat tersebut dibutuhkan bahan mentah A dan B. Ketersediaan bahan A maksimum 6 ton dan B 8 ton perhari. Kebutuhan harian bahan mentah perton cat interior dan eksterior sbb: Bahan Ton bahan mentah per ton cat Ketersediaan maksimum (ton) Mentah Eksterior Interior A 1 2 6 B 2 1 8

Selanjutnya berdasarkan survey pasar diketahui permintaan harian cat interior tidak lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan cat eksterior Survey tsb memperlihatkan bahwa permintaan maksimum cat interior terbatas pada 2 ton perhari. Harga grosir perton Rp 30 juta untuk cat Eksterior dan Rp 20 juta untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan cat eksterior yg harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor ?

Pengembangan Model (dari kasus) Variabel. Menentukan jumlah cat interior dan eksterior yang harus diproduksi, variabel dalam model dapat didefinisikan : Xe = jumlah ton cat eksterior yg diproduksi perhari Xi = jumlah ton cat interior yg diproduksi setiap hari Fungsi tujuan. Memperhatikan harga jual cat eksterior dan interior (dlm jutaan) fungsi tujuan dapat ditulis secara matematis: Z = 30 Xe + 20 Xi. Sasarannya menentukan nilai Xe dan Xi yg akan memaksimumkan kriteria ini.

Batasan Penggunaan bahan mentah dibatasi dgn rumusan Xe + 2 Xi 6 ( Bahan Mentah A) 2 Xe + Xi 8 (Bahan Mentah B) Permintaan dibatasi dgn rumusan : Xi – Xe 1 (kelebihan cat interior dibandingkan eksterior) Xi 2 (permintaan maksimum cat interior) Non Negativitas Xi 0 Xe 0

Metode Analisis Persoalan LP • Metode Grafis Menggambarkan perpotongan fungsi kendala yg ada. Visualisasi hanya dpt dilakukan dlm dua dimensi, karenanya metode grafis hanya dpt digunakan untuk persoalan dgn dua variabel dasar • Metode Aljabar Menggunakan metode substitusi dan eliminasi. Tidak efisien, karena untuk menemukan pemecahan dasar yg layak dgn n variabel dasar, harus memecahkan n 2 persamaan.

Metode Analisis Persoalan LP • Metode simplex Metode yg secara sistimatis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang feasible ke pemecahan dasar yg feasible lainnya dan ini dilakukan berulang-berulang (dengan jumlah ulangan terbatas) sehingga tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya

Pemecahan Grafik dari Model LP Mari kita pecahkan kasus terdahulu dengan menggunakan metode grafik. Untuk mengingatnya, kita tampilkan model lengkap dari kasus tersebut sbb: Tentukan jumlah ton cat interior dan eksterior, Xi dan Xe, yang harus diproduksi untuk: Maksimumkan z = 30 Xe + 20 Xi (fungsi tujuan) Dengan batasan Xe + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xi 0 , Xe 0

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi 5 8 2 1 2 3 4 5 6 4 2 -1 0 X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 3 3 1 Batasan Tahap 1. Gambarkan batasan Persoalan LP 6 1 Daerah Layak 4 6 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Batasan X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 E 1 0 F A D 1 2 3 4 5 6 Dari penggambaran batasan 2 tadi, kita mendapatkan daerah layak dgn sudut A, B, C, D, E, F C B 4 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Xe = 0, Xi = 0 Z = 30(0) + 20 (0) = 0 E 1 0 F A D Batasan X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 1 2 3 4 5 6 Tahap 2. Hitung nilai fungsi tujuan pada masing-masing sudut C B 4 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Batasan Xe = 4, Xi = 0 Z = 30(4) + 20 (0) = 120 E 1 0 F A D X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 1 2 3 4 5 6 C B 4 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Perpotongan (1) dan (2) Xe = 3, 3 Xi = 1, 3 Z = 30(3, 3) + 20(1, 3)= 125 E 1 0 F A D Batasan X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 1 2 3 4 5 6 C B 4 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Perpotongan (1) dan (4) Xe = 2, Xi = 2 Z = 30(2) + 20 (2) = 100 E 1 0 F A D Batasan X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 1 2 3 4 5 6 C B 4 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Perpotongan (3) dan (4) Xe = 1, Xi = 2 Z = 30(1) + 20(2) = 70 E 1 0 F A D Batasan X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 1 2 3 4 5 6 C B 4 Xe

Pemecahan Grafik dari Model LP Xi Batasan Xe = 0, Xi = 1 Z = 30(0) + 20(1) = 20 E 1 0 F A D X e + 2 Xi 6 2 Xe + Xi 8 -Xe + Xi 1 Xi 2 Xe 0 Xi 0 1 2 3 4 5 6 C B 4 Xe

Berikut ini perbandingan nilai fungsi tujuan pada masing-masing sudut Xe = 0, Xi = 0 Z = 30(0) + 20 (0) = 0 Perpotongan (1) dan (2) Xe = 3, 3 Xi = 1, 3 Z = 30(3, 3) + 20(1, 3)= 125 Perpotongan (3) dan (4) Xe = 1, Xi = 2 Z = 30(1) + 20(2) = 70 Xe = 4, Xi = 0 Z = 30(4) + 20 (0) = 120 Perpotongan (1) dan (4) Xe = 2, Xi = 2 Z = 30(2) + 20 (2) = 100 Xe = 0, Xi = 1 Z = 30(0) + 20(1) = 20

Metode Aljabar dlm Pemecahan Persoalan LP Contoh : Maksimumkan nilai z = 15 Xa + 20 Xb dengan kendala Xa + 2 Xb 16 2 Xa + Xb 18 Xa 0 Xb 0

Pemecahan : Tahap 1. Mengubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan Catatan : 1. 2. 3. 4. Untuk mengubah setiap ketidaksamaan menjadi kesamaan dgn menambahkan variabel slack untuk batasan dan mengurangkan variabel surplus dari batasan Tambahkan variabel artifisial untuk semua batasan yg awalnya ketidaksamaan atau kesamaan. Berikan koefisien tujuan pada variabel artifisial +M untuk persoalan minimisasi dan –M dalam persoalan maksimisasi Dalam kasus kita, batasan 1 dan 2 adalah batasan , maka tambahkan variabel slack, dan tidak perlu memberikan variabel artifisial M pada koefisien tujuan. Dengan demikian model LP menjadi :

Pemecahan : Tahap 1. Mengubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan z = 15 Xa + 20 Xb + 0 Xs 1 + 0 Xs 2 Xa + 2 Xb + Xs 1 = 16 2 Xa + Xb + Xs 2 = 18 maksimum Tahap 2. Pencarian nilai variabel dan pengujian optimalitas Jika Xa = 0 , Xb = 0 Jika Xa = 0 , Xs 1 = 0 Jika Xa = 0 , Xs 2 = 0 Jika Xb = 0 , Xs 1 = 0 Jika Xb = 0 , Xs 2 = 0 Jika Xs 1= 0 , Xs 2 = 0 maka Xs 1 = 16, Xs 2 = 18 maka Xb = 8, Xs 2 = 10 maka Xb = 18, Xs 1 = -20 maka Xa = 16, Xs 2 = -14 maka Xa = 9, Xs 1 = 7 maka Xb = 4, 7, Xa = 6, 7 z=0 z = 160 tdk layak z = 135 z = 194, 5

Kasus : Kebijakan Kredit Perbankan • Bank Pembangunan Daerah (BPD) di suatu kabupaten dlm proses merumuskan kebijakan pemberian kredit pada usaha kecil & menengah (UKM) dengan total uang senilai 12 Milyar. Berdasarkan pengalaman masa lalu, diestimasi probabilita kredit macet (tidak tertagih) dari UKM menurut sektor ekonomi yaitu Pertanian 10%; Industri 7%; Konstruksi 3%; Perdagangan 5%; Jasa-Jasa Lainnya 2% • Bank tsb diharuskan mengalokasikan paling banyak 30 persen dari dana total untuk sektor perdagangan dan jasa-jasa lainnya. Untuk usaha konstruksi paling banyak sama dgn 20 % dari total kredit pada sektor pertanian, industri dan konstruksi. • Bank tersebut juga memiliki kebijakan total kredit macet tidak boleh lebih besar dari 0, 05 (5 %) dari total pemberian kredit. • Tentukan alokasi kredit, dgn tujuan untuk memaksimumkan pengembalian kredit.

Kasus : Kebijakan Pemasaran • Sebuah perusahaan dapat mengiklankan produknya dengan menggunakan radio lokal dan stasiun TV. Maksimal anggaran periklanannya adalah Rp 8, 5 juta perbulan. Biaya setiap menit iklan radio Rp 60 rb, dan TV adalah Rp 850 rb. • Perusahaan ingin menggunakan iklan radio setidaknya dua kali lebih banyak daripada TV • Pengalaman masa lalu memperlihatkan bahwa setiap menit iklam TV biasanya menghasilkan 25 kali lebih banyak penjualan daripada setiap menit iklan radio. • Tentukan alokasi kredit optimum dari anggaran bulanan untuk iklan radio dan TV yang menghasilan penjualan maksimum

Kasus : Alternatif Investasi • Seorang eksekutif bisnis memiliki pilihan untuk menginvestasikan uangnya pada dua rencana. Rencana A menjamin bahwa setiap Rp yang diinvestasikan akan memperoleh 70 sen dalam satu tahun kemudian. Rencana B menjamin bahwa setiap Rp yang diinvestasikan akan memperoleh Rp 2 dalam dua tahun kemudian. Dalam rencana B, periode investasi yang diijinkan adalah kelipatan 2 tahun. • Bagaimana sebaiknya eksekutif tersebut menginvestasikan uangnya ?