LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ BISEKCIJA DOLOANJE

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ BISEKCIJA - DOLOČANJE NIČEL ZVEZNIH FUNKCIJ 3 4. 67 5. 25 4. 80 4. 76 6 4. 85 4. 5 Ničla je ≈ 4. 78 MATEMATIKA 1 1

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ Enačbo x=e-x reši na dve decimalki natančno. y=e-x y=x Prevedemo na: x-e-x=0 y=x-e-x MATEMATIKA 1 2

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ Iščemo ničlo funkcije f(x)=x-e-x f(0)=-1, f(0)=1 -1/e≈0. 63, torej ima f ničlo na intervalu [0, 1] f(0. 5)=-0. 106, zato nadaljujemo na intervalu [0. 5, 1] f(0. 75)=0. 277, zato nadaljujemo na intervalu [0. 5, 0. 75] f(0. 62)=0. 082, zato nadaljujemo na intervalu [0. 5, 0. 62] (ker iščemo rešitev na dve decimalki natančno, ni potrebno računati f(0. 625)) f(0. 56)=-0. 011, zato nadaljujemo na intervalu [0. 56, 0. 62] f(0. 59)=0. 035, zato nadaljujemo na intervalu [0. 56, 0. 59] f(0. 57)=0. 004, zato nadaljujemo na intervalu [0. 56, 0. 57] Prvi dve decimalki vseh števil na intervalu [0. 56, 0. 57] se ujemata, zato lahko postopek bisekcije ustavimo in za približno rešitev vzamemo x=0. 56. (natančnejša rešitev je x = 0. 5671432986 – računanje z bisekcijo bi zahtevalo še dodatnih 25 korakov) MATEMATIKA 1 3

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ Ekstrem na polodprtem intervalu a b’ b Funkcija je navzgor neomejena, zato nima maksimuma. Minimum na intervalu [a, b’] obstaja zaradi zveznosti in je obenem minimum na [a, b ). MATEMATIKA 1 4

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ Ekstrem na neomejenem intervalu Funkcija nima maksimuma, minimum na [a, b] pa je obenem globalni minimum. a b Polinom sode stopnje ima vedno en globalni ekstrem: minimum, če je vodilni koeficient pozitiven, oz. maksimum, če je vodilni koeficient negativen. MATEMATIKA 1 5

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ Ekstrem in asimptota Funkcija, ki ima vodoravno asimptoto, zavzame vsaj enega izmed ekstremov. MATEMATIKA 1 6

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ EKSTREMI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK n območja, za katera vsaka zvezna funkcija n Ali so tudi v � spremenljivk f : A ��zavzame minimum in maksimum? n je zaprta, če vsebuje vse svoje robne točke. A �� a je robna točka A če so v njeni bližini točke, ki so v A in točke, ki niso v A. robna točka n je omejena, če je vsebovana v nekem dovolj velikem krogu. A �� omejena MATEMATIKA 1 neomejena 7

LIMITE IN ZVEZNOST zaprta in omejena, ni zaprta MATEMATIKA 1 LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ zaprta, ni omejena ni zaprta, ni omejena 8

LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ n Presek zaporedja vedno manjših zaprtih in omejenih množic v � je ena točka. Podobno kot za funkcije ene spremenljivke premislimo, da je zvezna funkcija n omejena. Dodatno f : A �� , definirana na zaprti in omejeni množici A �� ugotovimo, da zavzame natančno zgornjo in spodnjo mejo. Zvezna funkcija na omejeni in zaprti množici zavzame maksimum in minimum. Funkcija f zavzame minimum. MATEMATIKA 1 9