Limite di una successione Successione convergente PRIMA DOMANDA

Limite di una successione Successione convergente PRIMA DOMANDA: Verso che valore si avvicinano i termini di una successione quando n assume valori molto grandi?

n a(n)=1/n 1 1 10 0, 1 20 0, 05 30 0, 033333… 40 0, 025 50 0, 02 60 0, 016666…. 70 0, 014286 80 0, 0125 90 0, 011111…. . 100 0, 01 …. . ……

a(n) Grafico della successione N

SECONDA DOMANDA: l’avvicinamento a zero, avrà mai termine? • Es. prendiamo a 50=…. . Esistono termini più vicini a zero? Tutti quelli dall’indice 51 in poi! • Prendiamo a 1000=…. . Esistono termini più vicini a zero? Tutti quelli dall’indice 1001 in poi!

Grafico della successione TERZA DOMANDA: Fisso una distanza “piccola” da zero; Quali sono i termini della successione che hanno una distanza ancora più piccola? = 0, 025 n>40

Grafico della successione = 0, 015 n>66

Grafico della successione = 0, 01 n>100

SINTESI • =0, 025 |a(n) – 0 | < per ogni n > 40 • =0, 015 |a(n) – 0 | < per ogni n > 66 • =0, 01 |a(n) – 0 | < per ogni n > 100 Qualsiasi distanza (0. 025, 0. 01…) dal limite (in questo caso 0) venga fissata , esiste sempre un indice (40, 66, 100 …. ) tale che da quell’indice in poi tutti i termini della successione corrispondenti hanno una distanza dal limite minore della distanza fissata a piacere. Nota bene: ü l’indice (40, 66, 100 …) dipende dalla distanza che scelgo üpiù scelgo una distanza piccola più l’indice si sposta avanti

Definizione di successione convergente: Una successione an converge ad un limite L se e solo se fissata una distanza piccola a piacere esiste un indice dipendente da tale che da quell’indice in poi tutti i termini della successione hanno distanza da limite più piccola di .