limit Matematika SMA Semester Genap Topik Bahasan Penggunaan

limit

Matematika SMA ( Semester Genap ) Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi dalam Pemecahan Masalah Sasaran : Kelas XI Durasi Sajian : 3 x 45 Menit

Standar Kompetensi § Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar § Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik terhingga dan tak terhingga; § Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

Tujuan Pembelajaran § Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga dan tak terhingga; § Dapat menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri; § Dapat menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu limit fungsi aljabar dan trigonometri.

? Mengapa Belajar Limit § Penting untuk bernalar matematis; § Sangat membantu dalam memahami bidang kajian lain seperti fisika, kimia, biologi, teknik, ekonomi, dan lain-lain.

Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda. y= f(x) L Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka: X x= c Ditulis limf(x) = L x® c : Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x); Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c; Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan L;

Y f(x ) limf (x) = L x® c L Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L. Seberapa dekat? 0 X c Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh: = Û lim f (x) L lim- f (x) = L dan lim+ f (x) = L x® c Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.

Grafik fungsi. Y x 2 - 9 f (x) = x- 3 Contoh 1: x 2 - 9 lim Tentukan nilai dari x® 3 x - 3 Penyelesaian: 6 x 2 - 9 Fungsif (x) = x- 3 terdefinisi pada tidak 0 0 x = 3, karena diperoleh bentuk tentu). 0 3 Dengan cara aljabar: x 2 - 9 (x + 3)(x - 3) = lim x® 3 x - 3 x® 3 x- 3 = lim(x + 3) = 6 x® 3 X (tak Ambil beberapa nilai x yang x mendekati 3 dari x mendekati 3 3 dari kiri maupun dari mendekati dari kanan. 2, 99 3, 00 3, 0 x 2, 5 f(x ) 5, 5 9 9 5, 99 9 f(x) mendekati 6 . . . 3 . . . 6 . . . 1 1 6, 00 1 6, 0 1 3, 5 6, 5 f(x) mendekati 6

Grafik fungsi Y x 2 + 9 f (x) = x- 3 Contoh 2: x 2 + 9 Tentukan nilai dari lim x® 3 x - 3 Penyelesaian: x 2 + 9 Fungsif (x) = x- 3 terdefinisi pada 40 20 tidak 0 0 x = 3, karena diperoleh bentuk tentu). 0 2 4 -20 X (tak x mendekati 3 dari kiri Lakukan pendekatan seperti pada kanan contoh 1. 2, 999. . . 3, 001 3, 01 x 2 4 f(x) 13 1794, 01 17994. . . ? . . . 18006 1806, 01 25 f(x) mendekati bilangan positif yang negatif yang sangat kecil sangat besar -40 x=3 Asimtot Tegak

Grafik fungsi Y Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga. x 2 + 9 = -¥ lim® x 3 x 2 + 9 f (x) = x- 3 40 20 0 2 4 -20 X Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga. x 2 + 9 = +¥ lim+ x® 3 x - 3 Karena x 2 + 9 ¹ lim+ limx® 3 x - 3 maka nilai dari: -40 x=3 Asimtot Tegak x 2 + 9 lim tidakada ® x 3 x- 3

Y Contoh 3: 1 x® ¥ x ( 10 (0 0 0 ; 0(, 1 1, 000. 00 0, ; 0 1 0 0, ( 0000 0)0 01 010 1. 0 ; ) 0, . 000 )00 00 010 ; 00. )0 01 00 ) ; Bagaimana dengan lim -∞ Penyelesaian: X +∞ Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafik. Kita peroleh nilai: (- 1. 0 ( -0 00 1. ( - , 00 01 0. 0 ( - , 00. 0 00001 ; ( - 100, 00 00 ; ) 10 0 000 1; ) , ; 0, 0 ; 001 1 -) 01 - ) ) 0 x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x -∞ f(x) 0 ? 1 lim = 0 x® ¥ x x mendekati bilangan positif yang sangat besar . . . -1. 000 -100 1. 000 100. 000 1. 000. . . -0, 000001 -0, 01 0, 001 0, 00001 0, 000001. . . f(x) semakin mendekati nol (0) +∞ 0

lim f (x) Flowchart untuk menghitung nilai: x®¥ Start Rasiona l? Tida k Ya Bagi dengan pangkat tertinggi Hasil Rasionalkan/ kalikan akar sekawan kemudian bagi pangkat tertinggi lim f (x) Flowchart untuk menghitung. Start nilai: x®c Substitusi x = c Bentuk tak tentu? Tida k Ya Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan bentuk akar Stop Hasil Stop Lanjutkan Hitung

Contoh 4: Tentukan nilai dari: x 3 - 1 a) lim x® 1 x - 1 x b) lim x® 0 2 - 4 - x 3 x 2 + 4 x - 1 c) lim 2 x® ¥ 2 x - x + 3 d) lim (x- x 2 + 4 x) x® ¥ Penyelesaian: Untuk soal (a) dan (b) jika dilakukan 0 substitusi akan diperoleh bentuk tak 0 tentu Sehingg a, a) Lakukan pemfaktoran x 3 - 1 (x- 1)(x 2 + x + 1) = lim x® 1 x - 1 x® 1 (x - 1) = lim x 2 + x + 1 x® 1 2 = 1 +1+1 = 3 x 3 - 1 lim =3 x® 1 x - 1 Kalikan akar b) Rasionalkan bentuk + 4 - x x x 2 sekawan akar = lim ´ lim x® 0 2 - 4 - x 2 + 4 - x x(2 + 4 - x) = lim x® 0 4 + 2 4 - x - (4 - x) x(2 + 4 - x) = lim x® 0 4 - 4 + x x® 0 x = lim 2 + 4 - x = 2 + 4 - 0 = 4 x® 0 x lim =4 x® 0 2 - 4 - x

3 x 2 + 4 x - 1 adalah fungsi c) lim 2 x® ¥ 2 x - x + 3 Mengapa? rasional. Karena fungsi rasional maka (x 2 ) tertinggi langsung bagi pangkat 2 3 x + 4 x - 1 2 2 2 3 x 2 + 4 x - 1 = lim x 2 x x lim 2 x® ¥ 2 x - x + 3 x® ¥ 2 x 2 - x 2 + 32 x = lim x x 3 + 4 x - x 12 x® ¥ 2 - 1 x + 32 x 3+ 0 - 0 3 = = 2 - 0 + 0 2 3 x 2 + 4 x- 1 3 lim 2 = x® ¥ 2 x - x + 3 2 d) lim (x- x + 4 x) bukan fungsi Mengapa? x® ¥ rasional. 2 Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi. 2 akar lim (x- x + 4 x) = L Kalikan sekawan x® ¥ x+ x 2 + 4 x = lim (x- x + 4 x)´ x® ¥ x+ x 2 + 4 x 2 - 4 x x 2 - (x 2 + 4 x) = lim x® ¥ x + x 2 + 4 x = lim x® ¥ x + x = - 4 xx x 2 + 4 x x 2 -4 x® ¥ 1 + 4 x = lim -4 = -2 1+ 1+ 0 lim (x - x 2 + 4 x) = -2 x® ¥

Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka: diman a: ; utk n genap Kita lihat contoh penerapannya!

Contoh 5: Tentukan nilai dari: a) lim(7 x - 4) x® 1 æ x 2 + 3 x - 2 ö ÷÷ b) limçç 2 ® x 2è 2 x + 1 ø lim(f (x)± g(x)) = lim f (x)± lim g(x) x® c a em r o Te Penyelesaian: a) lim(7 x - 4)= lim 7 x - lim 4 x® 1 = 7 lim x- lim 4 x® 1 = 7(1)- 4 =3 x® 1 ma e r eo T x® c limkf(x) = k lim f (x) x® c

lim(x 2 + 3 x - 2) Teorema limæç f (x) ö÷ = æ x + 3 x - 2 ö x® 2 ÷÷ = b) limçç 2 x® 2è lim 2 x 2 + 1 2 x + 1 ø 2 x® 2 2 x® cè g(x) ø lim f (x) x® c lim g(x) x® c ; lim g(x) ¹ 0 x® c Teorema lim(f (x)± g(x)) = lim f (x)± lim g(x) lim x + lim 3 x - lim 2 x® c ® 2 ® 2 x x x = Teorema lim n f (x) = n lim f (x) lim(2 x 2 + 1) x® c x® 2 lim x 2 + lim 3 x - lim 2 = x® 2 2 lim 2 x + lim 1 x® 2 22 + 3(2)- 2 = 2(2)2 + 1 4+ 6 - 2 8 +1 8 = 3 = x® 2

Bukti untuk sifat Y B 1 O x A D C X (I) Misalkan: 0 < x < p 2 jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan panjang, BOA = x ∆OAB dan ∆OCB adalah segitiga AB AB siku-siku. = = Þ AB= sinx OB 1 BC BC = Þ BC= tanx = OB 1 Panjangbusur. BD= x Beberapa sifat yang sering dipakai: sinx =1 lim x® 0 x x =1 lim ® x 0 sinx cosx =1 lim x® 0 x x =0 lim x® 0 cosx tanx =1 lim x® 0 x x =1 lim ® x 0 tanx

Bukti untuk sifat Y B 1 O x A D C X (I) Misalkan: 0 < x < p 2 jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan panjang, BOA = x ∆OAB dan ∆OCB adalah segitiga AB AB siku-siku. = = Þ AB= sinx OB 1 BC BC = Þ BC= tanx = OB 1 Panjangbusur. BD= x AB < BD < BC sin x < x (dibagi sin <<tanx x < 1 Þ cosx < sinx < 1 x) 1 sinx cosx x p p < x< 0 < x< (II) Untuk 0 maka 2 2 sinx sin x < < Þ < <1 cosx 1 cos x x x ìcos x = cosx karen í îsin x = sinx a: sinx Þ cosx < < 1 Þ cosx < <1 x x Dari bentuk (I) dan (II) p p maka: sinx <1 ; < x< cosx < 2 2 x sinx < lim 1 lim cosx < lim x® 0 x x® 0 lim cosx = cos 0 = 1 sinx x® 0 =1 lim = lim 1 1 x® 0 x x® 0

Contoh 6: Tentukan nilai dari: sin 3 x a) lim x® 0 2 x 1 - cos 2 x 1 - (1 - 2 sin 2 x) = lim b) lim 2 x® 0 x x 2 2 sin 2 x = lim 2 x® 0 x 1 - cos 2 x x® 0 x 2 b) lim sin 2 x = 2 lim 2 x® 0 x Penyelesaian: sin 3 x 3 = lim × x® 0 2 x x® 0 3 x 2 3 sin 3 x = lim 2 x® 0 3 x 3 = × 1 2 3 = 2 sin 3 x 3 lim = x® 0 2 x 2 sinx ö = 2 limæç ÷ x® 0è x ø a) lim = 2× 12 =2 1 - cos 2 x =2 2 x® 0 x lim 2

“Klik pada tombol untuk memilih soal”

x 2 - 1 1. lim =. . x® -1 x + 1 -2 -1 0 2 x 2 - 1 (x+ 1)(x- 1) = lim x® -1 x + 1 x® -1 x+ 1 = lim (x - 1) x® -1 = -1 - 1 = -2 ¥ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x 2 - 1 lim = -2 x® -1 x + 1

x 2 + x- 6 =. . 2. lim ® x 2 x- 2 2 3 4 5 6 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x 2 + x- 6 (x- 2)(x + 3) = lim x® 2 x - 2 x® 2 x- 2 = lim(x+ 3) x® 2 = 2+ 3 =5 x 2 + x - 6 lim =5 x® 2 x - 2

x 2 - 16 =. . 3. lim x® 4 x - 4 -4 -3 0 3 4 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x 2 - 16 x - 4 = lim ´ lim x® 4 x - 4 x- 4 Rasionalk an bentuk akar (x 2 - 16) x- 4 = lim x® 4 x- 4 (x + 4)(x - 4) x - 4 x® 4 x- 4 = lim(x + 4) x - 4 x® 4 = (4 + 4) 4 - 4 = 8× 0 =0 x 2 - 16 lim =0 x® 4 x - 4

1+ x - 1 - x =. . 4. lim x® 0 x -3 -2 -1 0 1 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 1+ x - 1 - x =. . Kalikan akar ® x 0 x sekawan 1+ x - 1 - x 1+ x + 1 - x = lim ´ x® 0 x 1+ x + 1 - x lim (1 + x)- (1 - x) = lim x® 0 x( 1 + x + 1 - x) 2 x = lim x® 0 x( 1 + x + 1 - x) 2 = lim x® 0 1 + x + 1 - x = lim x® 0 2 2 = =1 1+ 0 + 1 - 0 2 1+ x - 1 - x =1 x

x+ h - x =. . 5. lim h® 0 h 1 2 x 1 3 x 2 x 2 x Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x+ h - x =. . Kalikan akar lim h® 0 h sekawan x+ h - x x+ h + x = lim ´ h® 0 h x+ h + x (x+ h)- x = lim h® 0 h( x + h + x) h h® 0 h( x + h + x) 1 = lim h® 0 x + h + x = lim = lim h® 0 1 1 1 = = x+ 0 + x x+ x 2 x x+ h- x 1 = h 2 x

cosx - sinx =. . x® 4 cos 2 x 6. limp 1 2 3 cosx- sinx x® 4 (cosx + sinx)(cosx - sinx) = limp 1 2 cosx - sinx cosx- sinx = limp 2 lim 2 x® p 4 x® 4 cos x - sin x cos 2 x 3 2 3 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 1 x® 4 cosx + sinx = limp = 1 cosp 4 + sinp 4 =1 2 + 12 2 1 2 cosx- sinx 1 limp = x® 4 cos 2 x 2 =

tan 5 x =. . ® x 0 sin 3 x 7. lim -5 tan 5 x 3 x 5 ö = limæç × × ÷ x® 0 sin 3 x x® 0è 5 x sin 3 x 3 ø lim -3 = - 53 5 æ tan 5 x × 3 x ö limç ÷ ® x 0 è 3 5 x sin 3 x ø 5 = × 1× 1 3 5 = Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 5 3 tan 5 x 5 = ® x 0 sin 3 x 3 lim

sin 3 2 x 8. lim 3 1 =. . x® 0 tan x 2 10 12 32 37 64 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban æ sin 2 x ö sin 3 2 x lim 3 1 = limçç 1 ÷÷ x® 0 tan x x® 0è tan 2 x ø 2 3 æ sin 2 x 12 x ö ç = limç × 1 × 4 ÷÷ x® 0è 2 x tan 2 x ø 3 æ sin 2 x 12 x ö 3 = 4 limçç × 1 ÷÷ x® 0è 2 x tan 2 x ø = 64(1× 1)3 = 64 sin 3 2 x lim 3 = 64 x® 0 tan 1 x 2 3

1 - cosx =. . x® 0 xsinx 9. lim 0 1 - cosx æ 1 - cosx´ 1 + cosx ö = limç ÷ x® 0 xsinx x® 0è xsinx 1 + cosx ø æ 1 - cos 2 x ö ÷÷ = limçç x® 0è xsinx(1 + cosx) ø 1 4 1 2 æ ö sin 2 x ÷÷ = limçç x® 0è xsinx(1 + cosx) ø 1 æ sin 2 x x 1 ö ÷÷ = limçç 2 × × x® 0è x sinx 1 + cosx ø 2 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban sinx ö 2 x 1 æ = limç × ÷ × x® 0è x ø sinx 1 + cosx = 12 × 1× 1 - cosx 1 = ® x 0 xsinx 2 lim 1 1 = + 1 1 2

(x 2 - 1)sin 6 x =. . 10. lim 3 2 x® 0 x + 3 x + 2 x -8 (x 2 - 1)sin 6 x (x+ 1)(x- 1)sin 6 x = lim 3 lim 2 2 x® 0 x + 3 x + 2 x x® 0 (x + 1)(x + 2 x) -3 (x - 1)sin 6 x 2 x® 0 x + 2 x 6(x - 1) sin 6 x = lim × x® 0 x + 2 6 x -1 = 6(0 - 1) × 1 0+ 2 = -6 × 1 2 -6 -5 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban = lim = -3 (x 2 - 1)sin 6 x lim 3 = -3 2 ® x 0 x + 3 x + 2 x

1. lim ( x 2 + 3 x - x) =. . x® ¥ 2 3 3 2 4 3 7 4 2 lim ( x + 3 x - x) =. . x® ¥ = lim ( x 2 + 3 x - x)´ x® ¥ x 2 + 3 x - x 2 = lim x® ¥ x 2 + 3 x + x 3 x = lim x® ¥ x 2 + 3 x + x = lim x® ¥ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban = lim x® ¥ = x + 3 x + x x 2 + 3 x + x 3 x x Bagi pangkat 2 x + 3 x + x tertinggi 2 2 x x x 3 1 + 3 x + 1 3 3 = 1+ 0 +1 2 lim ( x 2 + 3 x - x) = x® ¥ Kalikan akar sekawan 2 3 2

2. lim ( x 2 - 4 x - x 2 + 2 x) =. . x® ¥ lim ( x 2 - 4 x - x 2 + 2 x) =. . x® ¥ -6 -4 -3 -2 -1 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x 2 - 4 x + x 2 + 2 x = lim ( x - 4 x - x + 2 x)´ x® ¥ x 2 - 4 x + x 2 + 2 x 2 2 Kalikan akar + 2 x) sekawan (x - 4 x)- (x x® ¥ x 2 - 4 x + x 2 + 2 x - 6 x = lim x® ¥ x 2 - 4 x + x 2 + 2 x = lim x® ¥ -6 x x Bagi pangkat x 2 - 4 x + x 2 + 2 x tertinggi x 2 x 2 -6 x® ¥ 1 - 4 + 1 + 2 x x -6 -6 = = = -3 1 - 0 + 1+ 0 2 = lim lim ( x 2 - 4 x - x 2 + 2 x) = -3 x® ¥

3. lim x( x 2 + 1 - x) =. . x® ¥ lim x( x 2 + 1 - x) =. . x® ¥ 0 1 4 1 3 1 2 2 = lim x( x 2 + 1 - x)´ x® ¥ Kalikan akar 2 sekawan x +1 + x x 2 + 1 + x x(x 2 + 1 - x 2 ) = lim x® ¥ x 2 + 1 + x x = lim x® ¥ x 2 + 1 + x = lim x® ¥ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x x x 2 2 x = lim x® ¥ = + 1 x 2 + Bagi pangkat x tertinggi x 1 1 + 12 + 1 x 1 1 = 1+ 0 +1 2 lim x( x 2 + 1 - x) = x® ¥ 1 2

æ 3 x - 2 x ö = 4. lim ç ÷. . x® ¥ è x - 1 x + 1 ø 1 2 3 9 ¥ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban æ 3 x - 2 x ö = lim ç ÷. . x® ¥ è x - 1 x + 1 ø 3 x(x + 1)- 2 x(x- 1) x® ¥ (x- 1)(x + 1) 3 x 2 + 3 x - 2 x 2 + 2 x = lim x® ¥ x 2 - 1 x 2 + 5 x = lim 2 x® ¥ x - 1 x 2 + 5 x 2 2 pangkat = lim x 2 x Bagi tertinggi x® ¥ x 2 - 12 = lim x = x 1 + 5 x 1 + 0 = =1 lim 1 x® ¥ 1 - 2 1 - 0 x 3 x 2 x ö lim æç ÷ =1 ® ¥ x è x-1 x+ 1 ø

3 x 4 - 2 x 3 + 6 =. . 5. lim 3 2 ® ¥ x x + x - x+ 2 -3 -2 -1 0 ¥ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 3 x 4 - 2 x 3 + 6 =. . lim 3 2 x® ¥ x + x - x + 2 = lim 3 x 4 3 x® ¥ x 4 x = lim 1 + 3 - 2 x 4 + 6 x x 4 x 2 - x + 2 x 4 x 4 Bagi pangkat tertinggi 3 - 2 x + x 64 x® ¥ x + 12 - 13 + 24 x x x 3 - 0+ 0 = 0+ 0 - 0+ 0 3 = =¥ 0 3 x 4 - 2 x 3 + 6 lim 3 2 (tidakada) x® ¥ x + x - x + 2

1 + x 2 1 1. y = lim x® 0 x Jik buktikan bahwa nilai a dari sin 2 x + cosxsin 2 x =1 lim 1 3 sin x ® + x (y 2 ) tanx 2 cos x 1 + x 2 1 y = lim x® 0 x 1 + x 2 1 1 + x 2 +1 = lim ´ x® 0 x 1 + x 2 +1 1 + x 2 1 = lim x® 0 x( 1 + x 2 + 1) x(1 + x) = lim x® 0 x( 1 + x 2 + 1) 1+ x = lim x® 0 1 + x 2 + 1 1+ 0 1 = = 1 + 02 + 1 2 y = 12

1 + x 2 1 1. y = lim x® 0 x Jik buktikan bahwa nilai a dari sin 2 x + cosxsin 2 x =1 lim 1 3 sin x ® + x (y 2 ) tanx 2 cos x sin 2 x + cosxsin 2 x lim x®( y 12 ) tanx + 3 sin 2 x cos x sin 2 x + cosxsin 2 x x® 0 tanx + 3 sin 2 x = lim cos x sin 2 x(1 + cosx) x® 0 tanx (1 + 3 ) cosx = lim sin 2 x x 1 + cosx × lim x® 0 2 x x® 0 tanx x® 0 1 + 3 cosx = 2× lim = 2× 1× 1× 1 + cos 0 2 = × =1 2 3 1 + cos 0 4

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: æ 2 - 2 x+ 3 ö a. limç ÷ ® x 2è 3 x + 1 x ø b. lim(x+ 4)(2 x- 5) x® 5 2. Jika lim f (x) = 3 dan lim g(x) = -1 x® c buktikan dengan teorema limit bahwa: 2 a. lim f (x)+ g 2 (x) = 10 x® c b. lim[f (x)+ (x - c)g(x)] = 3 x® c c. lim 3 g(x)[f (x)+ 3] = -6 x® c æ 2 - 2 x+ 3 ö = 1 a. limç ÷. . x® 2è 3 x + 1 x ø 2 ö æ 2 x + 3 ö = limæç ÷ limç ÷ x® 2è 3 x + 1 ø x® 2è x ø = lim 2 x® 2 lim 3 x+ 1 - lim 2 x+ 3 x® 2 lim x x® 2 2 2(2)+ 3 = + 3(2) 1 2 2 7 45 = - =7 2 14 2 2 x + 3 ö 45 limæç ÷=x® 2è 3 x + 1 x ø 14

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: æ 2 - 2 x+ 3 ö a. limç ÷ ® x 2è 3 x + 1 x ø 1 b. lim(x+ 4)(2 x- 5) =. . x® 5 = lim(x+ 4)× lim(2 x - 5) x® 5 b. lim(x+ 4)(2 x- 5) x® 5 = ( lim x+ lim 4)× ( lim 2 x- lim 5) x® 5 2. Jika lim f (x) = 3 dan lim g(x) = -1 x® c = 9× 5 = 45 x® c b. lim[f (x)+ (x - c)g(x)] = 3 x® c c. lim 3 g(x)[f (x)+ 3] = -6 x® 5 = (5 + 4)× (2× 5 - 5) x® c buktikan dengan teorema limit bahwa: 2 a. lim f (x)+ g 2 (x) = 10 x® c x® 5 lim(x + 4)(2 x - 5) = 45 x® 5

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: æ 2 - 2 x+ 3 ö a. limç ÷ ® x 2è 3 x + 1 x ø b. lim(x+ 4)(2 x- 5) x® c = lim f 2 (x)+ lim g 2 (x) x® 5 x® c 2. Jika lim f (x) = 3 dan lim g(x) = -1 x® c Bukti : 2 a. lim f 2 (x)+ g 2 (x) =. . x® c buktikan dengan teorema limit bahwa: 2 a. lim f (x)+ g 2 (x) = 10 x® c b. lim[f (x)+ (x - c)g(x)] = 3 x® c = [ lim f (x)]2 + [ lim g(x)]2 x® c = 32 + [-1]2 = 9+1 = 10 c. lim 3 g(x)[f (x)+ 3] = -6 x® c (terbukt i) lim f 2 (x)+ g 2 (x) = 10 x® c

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: æ 2 - 2 x+ 3 ö a. limç ÷ x® 2è 3 x + 1 x ø b. lim(x+ 4)(2 x- 5) x® c 2. Jika lim f (x) = 3 dan lim g(x) = -1 x® c buktikan dengan teorema limit bahwa: 2 a. lim f (x)+ g 2 (x) = 10 x® c b. lim[f (x)+ (x - c)g(x)] = 3 x® c c. lim 3 g(x)[f (x)+ 3] = -6 x® c = lim f (x)+ lim(x - c)× lim g(x) x® 5 x® c Bukti : 2 b. lim[f (x)+ (x - c)g(x)] =. . x® c = 3 + (c - c)× (-1) = 3 + 0 × (-1) =3 (terbukt i) lim[f (x)+ (x- c)g(x)] = 3 x® c

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: æ 2 - 2 x+ 3 ö a. limç ÷ ® x 2è 3 x + 1 x ø b. lim(x+ 4)(2 x- 5) x® c = lim 3 g(x)× lim[f (x)+ 3] x® 5 x® c 2. Jika lim f (x) = 3 dan lim g(x) = -1 x® c Bukti : 2 c. lim 3 g(x)[f (x)+ 3] =. . x® c = 3 lim g(x)× é lim f (x)+ lim 3ù êë x®c û x® c ú buktikan dengan teorema limit bahwa: 2 a. lim f (x)+ g 2 (x) = 10 = 3 - 1 × [3 + 3] b. lim[f (x)+ (x - c)g(x)] = 3 = -6 x® c c. lim 3 g(x)[f (x)+ 3] = -6 x® c = -1× [6] (terbukt i) lim 3 g(x)[f (x)+ 3] = -6 x® c

f (t + h)- f (t ) Gunakan lim h® 0 h rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t 2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t 4. 2. = Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500 t 2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0, 1 t 2— 0, 05 t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 1. Jarak: s(t)= t 2+2. Maka kecepatan sesaat pada t = 4 adalah: [(4 + h)2 + 2] - [42 + 2] = lim h® 0 h [16 + 8 h+ h 2 + 2] - [16 + 2] = lim h® 0 h h 2 + 8 h+ 18 - 18 = lim h® 0 h 2 h + 8 h h(h+ 8) = lim h® 0 h h = lim(h+ 8) = 8 h® 0 Jadi, kecepatan sesaat benda adalah: 8 m/detik

f (t + h)- f (t ) Gunakan lim h® 0 h rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t 2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t 4. 2. = Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500 t 2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0, 1 t 2— 0, 05 t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 2. Total untung: L(t)=1500 t 2. Maka keuntungan marjinal untuk t = 5 adalah: [1500(5 + h)2 ] - [1500(5)2 ] = lim h® 0 h [1500(25+ 10 h+ h 2 )]- [1500(25)] = lim h® 0 h [37500+ 15000 h+ 1500 h 2 ] - [37500] = lim h® 0 h 1500 h 2 + 15000 h = lim h® 0 h h(1500 h+ 15000) = lim h® 0 h = lim(1500 h+ 15000) = 15000 h® 0 Jadi, keuntungan marjinal perusahaan: 15000 dollar/tahun.

f (t + h)- f (t ) Gunakan lim h® 0 h rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t 2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t 4. 2. = Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500 t 2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0, 1 t 2— 0, 05 t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 3. Berat tumor: w(t)=0, 1 t 2— 0, 05 t. Maka laju pertumbuhan tumor untuk t = 10 adalah: [0, 1(10+ h)2 - 0, 05(10+ h)]- [0, 1(10)2 - 0, 05(10)] = lim h® 0 h [0, 1(100+ 20 h+ h 2 )- 0, 5 - 0, 05 h] - [0, 1(100)- 0, 5] = lim h® 0 h 10 + 2 h+ 0, 1 h 2 - 0, 5 - 0, 05 h- 10 + 0, 5 = lim h® 0 h 0, 1 h 2 + 1, 95 h h(0, 1 h+ 1, 95) = lim h® 0 h h = lim(0, 1 h+ 1, 95) = 0, 1(0)+ 1, 95 = 1, 95 h® 0 Jadi, laju pertumbuhan tumor adalah: 1, 95 gram/minggu.

§ Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994. § Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, Cliffs. Quick. Review. TM Calculus, Pakar Raya, Bandung, 2004. § B. K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 2 A, Erlangga, Jakarta, 2004. § Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990. § http: //www. answer. com/topik/limit-of-a-function. § http: //www. garizhdizain. com.

terima kasih, kami sampaikan kepada mereka yang telah berkontribusi dalam pembuatan multimedia pembelajaran ini