Licenciatura en Contadura Modelos de Optimizacin Redes Vernica

Licenciatura en Contaduría Modelos de Optimización Redes Verónica Ramírez Cortés octubre, 2017

Índice Introducción. Justificación. 1. Terminología básica. 2. Notación de redes. 3. Método CPM y PERT. Conclusiones. Bibliografía.

Introducción El objetivo central es facilitar a alumnos la comprensión de los temas derivados de la unidad de aprendizaje de Modelos de Optimización abordando aspectos básicos de la unidad de competencia cinco Técnicas de revisión y evaluación de proyectos, así como, Ruta Crítica. En el plan de estudios de la licenciatura en Contaduría la unidad de aprendizaje es obligatoria dentro del núcleo integral a través de un curso teórico-práctico con 7 créditos, considerada en el área de matemáticas.

Se integra por tres temáticas, en la primera y segunda se identifican la terminología básica, así como, la notación de redes. En la tres, se ejemplifica la realización de una red a través de método CPM y PERT identificando la ruta crítica, tiempos de holgura, costos marginales y la optimización del tiempo y recursos con el mínimo costo. Los temas se deben reforzar con otros ejercicios y con la visita a empresas para ejecutar en la medida de lo posible los conocimientos en situaciones reales.

Justificación Se pretende que alumnos del Centro Universitario UAEM Valle de Teotihuacán tengan una referencia de las temáticas actuales que corresponden a la optimización de recursos, minimización de tiempos y costos, así como, lograr el máximo beneficio sin sacrificar la calidad. Ante las adversidades que enfrentan los mercados globales, es prioritario precisar los tiempos de entrega, y sobre todo dar certeza de la calidad y tiempos a los clientes a través de la correcta toma de decisiones.

1. Terminología de redes. Una red consta de un conjunto de nodos unidos por arcos o ramas. La notación para describir una red es (N, A) en donde N es el conjunto y A es el conjunto de arcos. 3 1 5 Arco o rama 2 4 Arco o rama N= 1, 2, 3, 4, 5 N= (1, 3) (1, 2) (3, 5) (3, 4) (4, 5) (2, 3) (2, 4) Nodos

Ruta Es una secuencia de ramas distintas que unen a dos nodos sin que importe la dirección del flujo de cada rama. Una ruta forma un lazo o ciclo si conecta un nodo consigo mismo. 3 1 2 5 4 Lazo dirigido o circuito Es un círculo en el cual todas las ramas están orientadas en la misma dirección. Red conectada Es aquella en la cual dos nodos se encuentran unidos, por lo menos, con una ruta.

Un árbol es una red conectada que puede incluir sólo un subconjunto de todos los nodos de la red. 1 2 3 Un árbol de expansión une todos los nodos sin permitir ningún lazo entre ellos. 1 2 4 5 6 3

Por lo tanto, se realiza una red para realizar la representación gráfica de un proyecto; las actividades que se desarrollan en ella se simbolizan mediante círculos (nodos), mientras que las relaciones de secuencia entre actividades con segmentos dirigidos (aristas). No obstante, se presenta un problema respecto a la identificación de la ruta más corta, es decir, determina la distancia menor entre un punto de origen y un punto de destino, representando las diferentes situaciones. Existen dos algoritmos que se utilizan para resolver las redes críticas y acríticas: Dijkstra Floyd

El algoritmo de Dikjstra es útil para determinar la ruta más corta entre el nodo del punto de origen y cada uno de los otros nodos de la red. Los cálculos avanzan de un nodo i a un nodo siguiente j, por medio de un procedimiento especial de clasificación. El algoritmo del Floyd es más general porque permite determinar la ruta más corta entre cualquier par de nodos de la red.

2. Notación de Redes. El método CPM (Critical Path Method) o Método de la Ruta Crítica y PERT (Project Evaluation and Review Techniques) o Técnica de Evaluación y Revisión de proyectos, son métodos que se basan en redes diseñadas para ayudar en la planificación, programación y control de proyectos. Un proyecto se define como un conjunto de actividades interrelacionadas en la que cada una requiere tiempo y recursos. Objetivo: proporcionar medios analíticos para programar actividades identificando momentos críticos.

1) Se definen las actividades del proyecto, sus relaciones de procedencia y sus requerimientos de tiempo. 2) El proyecto se traduce a una red que muestra las relaciones de procedencia entre las actividades. 3) Por último, se hacen cálculos específicos de red que faciliten el desarrollo del programa de tiempo del proyecto. A continuación se muestra una red, las actividades a realizar, y la información que se debe colocar en la misma.

Se coloca el tiempo agregado de las actividades anteriores. Nombre de la actividad 3 5 9 4 Se coloca el resultado de 5+4 Se coloca la duración de la actividad. D 7 3 Duración del proyecto Se coloca el menor valor de las tres flechas que inician. El retroceso permite analizar los puntos críticos. Para facilitar el proceso se identifican las flechas que inician, no se consideran las que llegan. Se evalúan las que inician y se coloca el número menor.

Sin tener conocimiento del proyecto se puede analizar a través de la red, se identifica el eslabonamiento entre las actividades. Se observa en al red que tienen solo una dirección en los arcos, es decir, tiene un sentido unidireccional. En los nodos se coloca información relevante y de manera ordenada lo que permite leer de mejor manera la red e identificar los puntos críticos. Permite identificar el término del proyecto, así como, su posible reducción en tiempos. El siguiente ejemplo permite entender la importancia de esta herramienta.

Ejercicio. Una empresa esta preparando un presupuesto para el lanzamiento de un producto nuevo. La tabla siguiente muestra las actividades asociadas y la duración de tiempo de cada una. Actividad Pronosticar volumen de ventas Estudiar el mercado de competencia Diseñar el artículo y las instalaciones Preparar el programa de producción Estimar el costo de producción Establecer el prescio de venta Preparar el presupuesto Reunir el capital necesario Clave de actividad A Seguimiento de actividades 1, 2 Semanas de duración 5 B 1, 3 4 C 1, 4 8 D 2, 3 2 E F G H 2, 4 2, 5 3, 4 4, 5 6 9 3 4 A continuación se muestra el procedimiento para realizar una red.

Primero, se deben considerar nodos, arcos, dirección de la ruta. En cada nodo se estará describiendo la actividad. La actividad A, B, y C inician desde la primer semana; para realizar la actividad D, E, y F se requiere haber concluido la actividad A, sin embargo, para ejecutar la G, es necesario concluir B y D. Se podrá efectuar la actividad H, siempre y cuando se hayan realizado las actividades C, E y G. Para

Paso 2, en la parte inferior de cada nodo se colocará la duración de cada actividad, según corresponda, como se muestra en la red. La actividad A tiene una duración de 5 semanas, la B tarda 4 semanas en realizarse, la C se realizará en 8 semanas, así, consecutivamente.

Paso 3, abajo de la actividad se coloca el total de semanas que durará el proyecto sumando aquellas que están vinculadas, del lado izquierdo se coloca la semana de inicio, del derecho la semana de término. 5 +6 En la red se muestra el tiempo de duración total de proyecto. La actividad A, B y C inician, del lado derecho se marca el tiempo final, el cual, se suma con la duración de la siguiente actividad. La actividad H inicia en la semana 11, se debe concluir previamente la actividad C, G y E como se muestra en la red, la de mayor duración es la E. El resto de actividades que no tienen consecuencia se unen al fin F y H, la duración total del proyecto son 15 semanas.

A través de la red se identifica la duración del proyecto, se muestra que, la actividad G depende para su realización de 3 actividades previas C, H y E, mientras que, para realizar la actividad G se debe concluir con la actividad B y D. Paso 4. Implica identificar la ruta crítica y los tiempos de holgura. Se inicia colocando la duración máxima del proyecto a aquellas actividades que se conectan con el final (F y H).

El regreso de la red implica colocar el número menor en la parte inferior del nodo en que se inicia la actividad posterior y restarle el número de semanas que dura la actividad con la finalidad de identificar la ruta crítica y tiempo de holgura. 15 – 4= 11 En la actividad H se coloca 15, es la duración máxima del proyecto (15 -4) = 11. En la actividad G, se coloca el 11 de la actividad posterior H (11 -3) = 8, se identifica una hora de holgura. En la actividad D, se coloca el 8, es la duración de la actividad posterior (G) (8 -2)= 6. Es un caso especial la actividad A, puesto que tienen tres salidas de actividades (F, E y D. En este caso se colocará el número menor, en este caso, es el 5.

Ruta crítica= A - E- H. Se debe tener cuidado con esas actividades, de lo contrario, podría generar incumplimiento en la duración del proyecto. Tiempos de Holgura B=4 horas, C=3 horas, D= 1 hora, F=1 horas, G= 1 horas. En el resto de actividades, ejemplo la B, esta programada iniciarse en la semana de inicio, sin embargo, se puede iniciar hasta la semana 4 evitando contrataciones tempranas. Existe flexibilidad en los tiempos de término.

3. Método CPM. Ejercicio La empresa CICSA planea someterse a un concurso sobre un proyecto de una carretera en un municipio del Estado de México. Le piden entregue una estimación en tiempos normales y otra en urgentes. Los datos que reportan son los siguientes.

Encuentre la duración y el costo del proyecto, señala si existe ruta crítica. El Presidente municipal ha notificado que es necesario se programe el proyecto con un periodo de término de 25 semanas, posterior a este tiempo habrá una penalización de $1, 000 por semana. Solución. 1. Hacer la red. Fin

2. Se colocan las semanas de duración de cada actividad en tiempos normales y se van sumando según lo indique la red. El proyecto en tiempos normales se terminará en 30 semanas, solo en la actividad G, tiene dos actividades antecedentes, se tomará como referencia la que dura más tiempo E.

3. Se valoran los tiempos de regreso para identificar la ruta crítica. Duración de proyecto: 30 semanas. Tiempos normales. Ruta crítica B - E- G Con base a los arcos se van restando las horas de cada actividad según corresponda. Solo en el caso de la actividad B se debe considerar el menor valor entre la actividad D y E, se considera el valor 10. Actividades con tiempos de holgura: A = 2 horas D = 5 horas C = 2 horas F = 9 horas

4. Se realiza el mismo procedimiento, ahora, en tiempos intensivos Duración de proyecto: 20 semanas. Tiempos intensivos. Ruta crítica B – D – F Tiempo de Holgura: Actividad A = 1 hora. Actividad C = 1 hora. Actividad E = 4 horas. Actividad G = 1 hora.

Con base a las condiciones descritas en el proyecto, en tiempos normales se tendría que pagar penalización y un costo total de $ 69, 000. 00, sin embargo, en tiempos intensivos son 20 semanas de duración con un costo total de $ 93, 500. El siguiente paso es identificar si se pueden contratar tiempos especiales con pagos extras en algunas actividades para tratar de reducir los costos. Se identifica el costo margina por hora de cada actividad con la siguiente fórmula: Costo marginal = costo intensivo – costo normales semanas normales – semanas intensivas

Tiempos normales Tiempos intensivos Costos marginales Semanas Costo 5 $ 10, 000. 00 3 $ 14, 000. 00 2, 000. 00 Actividad Seguimiento A --- B --- 10 18, 000. 00 7 24, 000. 00 2, 000. 00 C A 11 15, 000. 00 8 18, 000. 00 1, 000. 00 D B 6 5, 000. 00 5 6, 500. 00 1, 500. 00 E B 8 3, 000. 00 4 7, 000. 00 1, 000. 00 F D 9 12, 000. 00 8 15, 000. 00 3, 000. 00 G E 12 6, 000. 00 8 9, 000. 00 750. 00 $ 69, 000. 00 $ 93, 500. 00 Costo total de proyecto según el tiempo de duración Se puede observar que la actividad es conveniente hacer en lugar de pagar penalización, lo máximo que se puede reducir esta actividad son 4 semanas, es decir, en lugar de 12 semanas se contratarán tiempos especiales para realizarla en 8. La actividad A, B, D y F no es pertinente contratarlas, es mejor pagar la penalización. La actividades C y F tienen el mismo costo que la penalización, se evita la contratación de estas para evitar riesgos de error en su realización.

El proyecto se puede terminar en 26 semanas, sin afectar el resto de la red, y la actividad F se termina en la semana 25 sin afectar la duración de la red.

Conclusión a) El tiempo mínimo posible son 26 semanas y un costo total de $73, 000. 00 incluye, la duración del proyecto, pagos extras intensivos de tres semanas y una semana de penalización. b) El tiempo mínimo de 20 semanas es muy alto el costo y se descarta su realización en ese tiempo.

MÉTODO PERT. Ejercicio En el método PERT se incluye la probabilidad como un mecanismo de incrementar la seguridad de término en los proyectos. Un despacho contable ha planteado las siguientes actividades con sus clientes con el objetivo de tener al corriente la información que deberá presentar ante el SAT. a) Evalúa el tiempo promedio que duraran las actividades, a través del Teorema del Límite Central incrementa tres desviaciones estándar en la ruta crítica y evalúa en cuánto se incrementa su probabilidad de término.

Actividad Seguimiento A Días Ta Tm Tb --- 4 6 9 B --- 5 6 8 C A 7 7 10 D B, C 5 6 9 E C 3 6 10 F D, E 4 5 9 Ta = tiempos mínimos Tb = tiempos pésimos Tm= Tiempos medios Calcular tiempos promedios con base a la información anterior a través de la siguiente fórmula Tp= ta + 4(tm) + tb 6 Una vez obtenidos los tiempos promedios se realiza la red.

Actividad Seguimiento A B C D E F ----A B, C C D, E Ta 4 5 7 5 3 4 Días Tm 6 6 7 6 6 5 Tb 9 8 10 9 Tiempo promedio 6. 2 7. 5 6. 3 6. 2 5. 5 Se realiza el mismo procedimiento que en CPM, excepto que se estarán considerando los tiempos promedios

Ruta crítica = A – C – D – F Tiempos de holgura B = 7. 5 días E = 5. 6 días. Se calcula la desviación de la ruta crítica a través de la siguiente formula St = tb – ta N (número de actividades consideradas)

Actividad Días Seguimiento Ta Tm Tb Tiempo Desviación promedio estandar A --- 4 6 9 6. 2 B --- 5 6 8 6. 2 C A 7 7 10 7. 5 0. 50 D B, C 5 6 9 6. 3 0. 67 E C 3 6 10 6. 2 1. 17 F D, E 4 5 9 5. 5 0. 83

El propósito de calcular la varianza es para introducir la probabilidad de término en los proyectos garantiza mayor seguridad y determinar mejor toma de decisiones. Esto es posible al usar el Teorema de limite central considerando una distribución normal de los datos. Recordando lo que plantea el problema a) Evalúa el tiempo promedio que duraran las actividades. Las actividades duraran en promedio 25. 5 días. A través del Teorema del Límite Central, incrementa tres desviaciones estándar en la ruta crítica y evalúa en cuánto se incrementa su probabilidad de término. Se considera que la probabilidad máxima que puede otorgarse al proyecto de que se realice en las 25. 5 días es sólo del 50%

50% 49. 86 Incrementando lo señalado se observa que la duración del proyecto será de 29. 80 días con un probabilidad de 99. 86 % (50 + 49. 86)

Conclusiones. El uso del método PERT permite complementar el análisis y evaluación de proyectos. Sí bien es cierto, se hace uso de la tabla Z de estadística esto permite introducir la probabilidad de tener una certeza en la toma de decisiones a las que se enfrentarán los estudiantes. Por su parte, el método CPM permite evaluar los momentos críticos, donde no puede haber error para desviar las condiciones generales del proyecto. Esta unidad se debe reforzar con ejercicios y sobre todo la ejecución real en empresas, particularmente, en las micro y pequeñas, para fortalecer su generación de conocimientos y competencias. Esta actividad se debe reforzar con Solver - Excel, siendo esto objeto de otro material, que permita realizar proyectos en menor tiempo y evitando errores.

Bibliografía Hillier, F. S. , (2010) Introducción a la investigación de operaciones, Mc. Graw. Hill Interamericana, España. Muñoz R. V. , Ochoa M. B. & Morales M. (2011) Investigación de operaciones, Mc Graw Hill, México. Taha, H. A. (2004) Investigación de operaciones, Pearson, México.